1、第五章 參數估計5.1參數估計5.1.1參數估計的基本概念(1)參數估計是根據從總體中抽取的樣本估計總體分布中包含的未知參數的方法.人們常常需要根據手中的數據，分析或推斷數據反映的本質規(guī)律,即根據樣本數據如何選擇統(tǒng)計量去推斷總體的分布或數字特征等.統(tǒng)計推斷是數理統(tǒng)計研究的核心問題,所謂統(tǒng)計推斷是指根據樣本對總體分布或分布的數字特征等作出合理的推斷.(2)參數估計分為點估計和區(qū)間估計兩部分.5.1.2參數的點估計(1)點估計的基本概念點估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數，因為樣本統(tǒng)計量為數軸上某一點值，估計的結果也以一個點的數值表示，所以稱為點估計.設總體樣本的分布函數(多于一個未知參數時，可同樣

2、討論)的形式為已知，是待估參數，是總體的一個樣本，是相應的樣本值.點估計問題就是要構造一個適當的統(tǒng)計量，用它來估計未知參數，用它的觀察值作為未知參數的近似值,則稱：為的估計量；為的估計值.(2)構造估計量的兩種常用法：矩估計和最大似然估計矩估計(a)矩估計的定義利用樣本矩來估計總體中相應的參數.(b)矩估計的具體方法設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，若為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為,或為離散型隨機變量，其分布律為，其中為待估參數，設是總體的一個樣本.1、計算前階原點矩（假設都存在）:當為連續(xù)型隨機變量，當為離散型隨機變量，其中，是可能取值的范圍.2、令樣本矩等于總體矩這是一個包含個未知參數的個聯(lián)

3、立方程組.3、求解上述方程，得到的矩估計為，則為的矩估計量，為的矩估計值.【例5.1】設設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，且的均值及方差都存在，又設是總體的一個樣本，試求和的估計量.解：因為,令樣本矩估計總體矩有：，所以,.最大似然估計(a)最大似然估計的定義若已觀察到樣本的樣本值為，當在離散型的情況下，取到這一樣本值的概率為，當在連續(xù)型的情況下，落在樣本值的鄰域內的概率為，而與未知參數有關，于是參數就取使概率達到最大值時的估計量.(b)最大似然估計的具體方法設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，當為連續(xù)型隨機變量時，其概率密度的形式已知，為待估參數，為可能取值的范圍.設是總體的一個樣本,則的聯(lián)合概率

4、密度為.又設是相應于樣本的樣本值，則隨機點落在點的鄰域(邊長分別為的維立方體)內的概率近似地為.其值隨的取值而變化，但因子式不隨的取值而變，故只需考慮函數的最大值.這里稱為樣本的似然函數.若，則稱為的最大似然估計值，稱為的最大似然估計量.當為離散型隨機變量時，用分布律代替樣本的似然函數中的即可.這樣，確定最大似然估計量的問題就歸結為微分學中的求最大值的問題了.在很多情況下，和關于可微，則可以從方程或(由于與在同一處取到極值)中解得.如果的分布中含有個未知參數，則似然函數是這些參數的函數.分別令或(),解此方程組，可得各個待估參數的最大似然估計值.【例5.2】設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，為未

5、知參數，是來自總體的一個樣本值，求的最大似然估計值量.解：的概率密度為，而.解得，.因此的最大似然估計值量為，.(3)估計量的評選標準下面是評價估計量好壞的三個常用的標準.設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，是來自總體的一個樣本，是包含在分布中的待估參數，這里是的取值范圍.無偏性若估計量的數學期望存在，且對任意有，則稱是未知參數的無偏估計量.有效性設估計量與都是未知參數的無偏估計量，若對于任意，有，且至少有一個，使得此不等號成立，則稱較有效.一致性設為未知參數的估計量，若對于任意都滿足：對于任意有，則稱為的一致估計量.【例5.3】設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，在區(qū)間上服從均勻分布，是來自總體的一

6、個樣本，.()求的矩估計量和最大似然估計量；()求常數，使得,均為的無偏估計量，并比較其有效性；()應用切比雪夫不等式證明：均為的一致估計量.解：依題意的密度函數、分布函數分別為：()由于,令樣本矩等于總體矩有，所以.樣本的似然函數為：是的單調減函數，且，即要取大于的一切值，因此的最小取值為，的最大似然估計量.()由于，,所以，取,即時，為的無偏估計.由于，得的分布函數和密度函數為：，故，則，當時，,即為的無偏估計.由于，所以，則比有效.()由于且(),故根據切比雪夫不等式：對于任意，有有，即(),則稱()為的一致估計量.5.1.3參數的區(qū)間估計(1)區(qū)間估計的基本概念通過從總體中抽取的樣本，

7、根據一定的正確度與精確度的要求，構造出適當的區(qū)間，以作為總體的分布參數(或參數的函數)的真值所在范圍的估計稱為區(qū)間估計.區(qū)間估計是從點估計值和抽樣標準誤出發(fā)，按給定的概率值建立包含待估計參數的區(qū)間.其中這個給定的概率值稱為置信度或置信水平，指總體參數值落在樣本統(tǒng)計值某一區(qū)內的概率.這包含待估計參數的區(qū)間稱為置信區(qū)間,置信區(qū)間展現(xiàn)的是這個參數的真實值有一定概率落在測量結果的周圍的程度.置信區(qū)間越大，置信水平越高.劃定置信區(qū)間的兩個數值分別稱為置信下限和置信上限.(2)求置信區(qū)間的具體方法設總體所體現(xiàn)的分布的隨機變量為，是來自總體的一個樣本，的分布已知，為待估參數，求置信度為的置信區(qū)間.求一個函數，且其分布已知；確定常數使；反解不等式得等價不等式：,則是的置信度為的一個置信區(qū)間.【例5.4】有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機地取16袋，稱得重量(克)分別為：506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,