1、Chap 3 連續(xù)信號的頻域分析一.周期信號的傅里葉級數(shù) 1.公式：1110)()(2)(iiitiSinbtiCosaatfTttTttTttndttnCostfTdttnCosdttnCostfa111111)()(2)()()(1121TttTttTttndttnSintfTdttnSindttnSintfb111111)()(2)()()(1121TttdttfTa110)(2ntjnnnntjnntjnnneCeAeAeAAtftjn111121212)(10TtttjnTtttjntjnTtttjnndtetfTdteedtetfC111111111)(1)()(*Ttttjnnd

2、tetfTA111)(22. 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式：其中：3. 特殊周期信號的傅里葉級數(shù)： 奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)4. 傅里葉級數(shù)的性質(zhì)： 1） 2） 3） 4）5.周期函數(shù)的頻譜：離散性、諧波性、收斂性ntjnneFtf1)(ntjnneFtf1)(ntjntjnneeFttf101)(0ntjnneFjntf11)(ntjnnneFFttf12cos)(111ntjnnneFFttf12sin)(111ntjnnkkeFjntf11)()(3.4 非周期信號的頻譜分析 傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的特殊形式傅里葉變換的特殊形式傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義

3、傅里葉變換存在的條件傅里葉變換存在的條件一傅里葉變換)(tf：周期信號：周期信號非周期信號非周期信號 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 譜譜系系數(shù)數(shù)連續(xù)譜，幅度無限??；連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜離散譜. 引出 1T0再用再用 表示頻譜就不合適了，雖然各表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。引入頻譜密度函數(shù)。 1 nF11 2 T 譜譜線線間間隔隔0 0)( , 0111 nFTf 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 11lim1 nFTFT 22j1111d)(limTTtnTtet

4、f 連連續(xù)續(xù)， 111dnn fnFTnFnFT111111 時時，當當 1T（1） 有有界界函函數(shù)數(shù)fnF1 頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)1T 1T 單位頻帶上的頻單位頻帶上的頻譜值譜值21T 21T1n j)(tdtetf 1T 頻譜密度函數(shù)的表示)(j| )(|)( eFF .)(稱為傅里葉變換稱為傅里葉變換求求由由 Ftf 故故可可表表示示為為一一般般為為復復信信號號 , F 幅幅度度頻頻譜譜: F 相相位位頻頻譜譜: )(d)()(jtfFtetfFt 2反變換 ntnenFtf1j111)()( 2)(11lim1nFT )(11lim1 nFTFT 11)(l

5、im1 nFT 2F ,d1 1n,1時時當當 T d21jteFtf )(的的反反變變換換？應應是是 Ftf由復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)由復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)11 ，再乘以，再乘以除以除以tnnenFtf1j1)()( 3傅里葉變換對 )(d)()(jtfFtetfFt FFeFtft1jd21)( Ftf 簡簡寫寫歐拉公式歐拉公式 tetfFtd)(j ttttftfoedsinjcos)()( 二傅里葉變換的表示 tftftfo e)( 實信號實信號偶分量偶分量奇分量奇分量 00dsin)(2jdcos)(2tttftttfoe 實部實部虛部虛部 XReFFjj 實部實部虛部虛部模模相位相

6、位 0dcos)(2tttfRe 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于 0dsin)(2tttfXo 22 XRF RXtg1 tf 偶函數(shù)偶函數(shù)（奇分量為零）（奇分量為零） F R 為實函數(shù)，只有為實函數(shù)，只有 ，相位，相位 F 奇函數(shù)奇函數(shù)（偶分量為零）（偶分量為零） tf X2 為虛函數(shù)，只有為虛函數(shù)，只有 ，相位，相位的的偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于 d21)(jteFtf 三傅里葉變換的物理意義 d21j)(jteeF dsin21j dcos21 tFtF dcos10 tF tFcosd0實函數(shù)實函數(shù) jeFF 歐拉公式歐拉公式積分為積分為0 tF

7、tfcosd0 0 :, d1 頻頻域域范范圍圍之之和和的的連連續(xù)續(xù)余余弦弦信信號號無無窮窮多多個個振振幅幅為為無無窮窮小小 F 求和求和 振幅振幅 正弦信號正弦信號 ; : , d21 占占據(jù)據(jù)整整個個頻頻域域信信號號之之和和的的連連續(xù)續(xù)指指數(shù)數(shù)無無窮窮多多個個幅幅度度為為無無窮窮小小F解釋 tteFeFtf jjd2d21)( 四傅里葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。所有能量信號均滿足此條件。 絕絕對對可可積積即即tf )( d充充分分條條件件有有限限值值 ttf 當引入函數(shù)的概念后，允許作 變換的函數(shù)類型大大擴展了。F單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號矩形脈沖矩形脈沖直流信號直流信號符號函

8、數(shù)符號函數(shù)升余弦脈沖信號升余弦脈沖信號 dtetuEetfFtt j)(F 0 000ttEetft 一單邊指數(shù)信號 jd0j EtEet tfOtE頻譜圖 22 EF 0, 0 FEF 1tg 2,2,0, 0 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： F0 E 0 2 2 二矩形脈沖信號 22jd tEeFt22jj teEj2.222jj eeE 22sin E 2Sa E 2Sa EF 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： , 2 , 1 , 022212212240 nnnnn E0 tft2 2 12 fBB或或頻譜圖 2Sa EF 幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻寬：頻寬：

9、 F E 2O 4 2 20 4 2 F E 2O 4 2 tEtf,)(三直流信號0Et tf不滿足絕對可積不滿足絕對可積條件，不能直接條件，不能直接用定義求用定義求 FtO tf1 E EE2推導 teEFtdjlim jjlimteE jjjlim eeE sin2lim E sin2lim E E2 O E 2 F EE2 )(Salim 時域無限寬，頻帶無限窄時域無限寬，頻帶無限窄證明證明 )(Salim 減減小小。曲曲線線下下的的面面積積 , ，面面積積仍仍為為能能量量壓壓縮縮到到0, Sa 2O Sa1)Sa( t11 )sgn(tO 0, 10, 1sgn)(ttttf四符號函

10、數(shù)處理方法：處理方法： 0j0j1ddteeteeFtttt 222jj1j1 j22j22010limlim FFte te .sgn11 FFettft求求極極限限得得到到，求求 做一個雙邊函數(shù)做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對不滿足絕對可積條件可積條件 2j22jj2sgn et 頻譜圖 是偶函數(shù)是偶函數(shù) F 是奇函數(shù)是奇函數(shù) O 2 2 2 )( FO 222F 0, 2/0 , 2/02tg1 五升余弦脈沖信號 ttEtf0 cos12OtE tf 2E2 2 tetfFtdj t etEtdcos12j teeEteeEteEtttttd4d4d2jjjjj Sa2Sa2SaEEE頻譜圖 2

11、21Sa1sin EEF其頻譜比矩形脈沖更集中。其頻譜比矩形脈沖更集中。 O F E 2 E 2 3 4 小結： 非周期函數(shù)的傅里葉變換 1. 公式：傅傅立立葉葉逆逆變變換換密密度度函函數(shù)數(shù)）傅傅立立葉葉正正變變換換（頻頻譜譜dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(dtjFjdtjFtfdejFtftj)(sin)(21 )(cos)(21)( )(21)(2的的三三角角函函數(shù)數(shù)形形式式、 0)(cos)(1)(cos)(21 dtjFdtjF3、典型信號的傅里葉變換：重點：沖激信號、階躍信號3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)沖激函數(shù)沖激偶沖激偶單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)

12、 tetFtd)(j 一沖激函數(shù) Bt,01時時的矩形脈沖，的矩形脈沖，看作看作沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不不滿足絕對可積條件，不能用定義求。滿足絕對可積條件，不能用定義求。 tO 1 tf F1 O1 比較1)(t 21)(tO 1 tf F1 OO 1 F t tf 21O二沖激偶的傅里葉變換 0dftttf jj d0jj tttetettF 21 j1sgn21t三單位階躍函數(shù)0t1 tu ttusgn2121 0t210t2121 tsgn210 0 0 F j1)( tu主要內(nèi)容對稱性質(zhì)對稱性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì)奇偶虛實性尺

13、度變換性質(zhì)奇偶虛實性尺度變換性質(zhì)時移特性頻移特性時移特性頻移特性 微分性質(zhì)時域積分性質(zhì)微分性質(zhì)時域積分性質(zhì)意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求用性質(zhì)求F()；了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。)()( Ftf若若 ftF2則則 ftF2則則一對稱性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2 意義意義 tFtF )()(相相同同，形形狀狀與

14、與若若 2, )(幅幅度度差差形形狀狀相相同同，的的頻頻譜譜函函數(shù)數(shù)形形狀狀與與則則ttftF 為為偶偶函函數(shù)數(shù)若若tf例3-7-1t1即即 , 1t 21 tFt j2則則,j2)sgn( tF已知已知例3-7-2)sgn(2 )sgn(j 相移全通相移全通網(wǎng)絡網(wǎng)絡 2Sa22 EFtutuEtf tc, 2Sa2 2Sa2122tEtEtFuuEfcccccc 例3-7-3，若若02 c的的方方波波寬寬度度為為02 )()Sa(0200 Gt 則則有有 jF1 二線性性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2例例3-7-33-7-3)()(, )()(2211 FtfFtf若若為常數(shù)為常數(shù)則則2122112

15、211,)()()()(ccFcFctfctfc tu tsgn2121三奇偶虛實性在在3.43.4的的“傅里葉變換的表示傅里葉變換的表示”中曾介紹過。中曾介紹過。由定義由定義可以得到可以得到 )(d)()(j FtetftfFt )(d)(d)()(jj FueuftetftfFut)()()()( FtfFtf，則則若若證明：證明：)()()()( FtfFtf，則則若若證明證明設設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略） tetfFtd)()(j tttftttfdsinjdcos 顯然顯然 tttfXtttfRdsindcos RR 的的

16、偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于 FF FtfF已已知知 FtfF XX的的奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于 四尺度變換性質(zhì)意義意義 為為非非零零函函數(shù)數(shù)則則若若aaFaatfFtf,1),()( (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 FFtftfa , 1 )3(說明說明說明說明說明說明證明證明 atfF atfF aFaatfF 1綜合上述兩種情況綜合上述兩種情況 teatfatfFtdj 因為因為xataxtatxad1d,0 ，令，令當當xatxaaxttaatxaaad1d,1 ,0 令令，當當 aFa 1 xexfaaxd1j aFa 1 xexfaxad1j xexfaaxd1

17、j ),()( Ftf若若;)()(0j0teFttf 則則)()()( jeFF 若若 0)(j0)()(teFttf 則則五時移特性 000ttt 左左右右相相移移幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，)()( Ftf若若 abeaFabatf j1 則則 的證明過程的證明過程仿仿 taat 1時移加尺度變換證明證明 tebatfFtd)(j1 xaeexfFabxad1)(jj1 abeaFa j1 abxaabxteeee jjjj xaeexfFabxad1)(jj1 xeexfaabxad)(1jj abxaabeaFaxexfea jjj1d)(1 xa

18、tabxtxbatad1d,0 則則設設時時當當xatabxabxtxbataaad1d,0 則則設設時時當當例3-7-4（時移性質(zhì)，教材3-2）求圖求圖(a)所示三脈沖信號的所示三脈沖信號的頻譜。頻譜。 tft2 2 TT E(a)三脈沖信號的波形(a)三脈沖信號的波形解：解： ,00 Ftf信號，其頻譜函數(shù)信號，其頻譜函數(shù)表示矩形單脈沖表示矩形單脈沖令令 2Sa0 EF 2 0F EO(b)(b), 2 a 4Sa22212 EFtf例3-7-9 25j4Sa252 eEtf（向向右右）時時移移，對對255tb 的的頻頻譜譜密密度度函函數(shù)數(shù)。，求求已已知知522Sa tfEFtf 方法一：

19、先標度變換，再時延方法一：先標度變換，再時延 5j2Sa55 eEtft（向向右右）：時時移移對對 25j4Sa2522 eEtf：壓壓縮縮對對所所有有方法二：先時延再標度變換方法二：先時延再標度變換 相同相同3意義otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 )()(j)(* FXR 為為奇奇函函數(shù)數(shù)為為偶偶函函數(shù)數(shù) XR ,)(j)()( XRF 共共軛軛為為實實函函數(shù)數(shù)時時當當 *,FFtf * , 1 )3(FFFtftfa )()( Ftf若若 號號為為常常數(shù)數(shù)，注注意意則則 00j0j )()(

20、00 FetfFetftt2證明 1性質(zhì) 六頻移特性 teetfetftttd)()(jjj00 F tetftd)(0j 0 F七微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì))(j)()()( FtfFtf ，則則),()( Ftf若若 djd)(Fttf則則 dd)(Ftjtf nnnFtfjt dd)( 或或 nnnFtftj)(1時域微分注意注意)(j)()()( FtfFtf ，則則 )(j )( Ftfnn一般情況下一般情況下 nntfFF j)( 則則 ，若若已已知知)(tfFn :)(j)( FtfF 090j ,相位增加相位增加幅度乘幅度乘 求三角函數(shù)的頻譜密度函

21、數(shù)求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)例3-7-5o tft2 2 Eo F2 E 4 4 分析o tft2 2 E方波方波三角形函數(shù)三角形函數(shù)求導求導 o tf t2 2 E2沖激函數(shù)沖激函數(shù)方波方波求導求導 o tf t2 2 E2 E2 E4 FF22j 2j2j22421 eEEeEF tetEtEtEtfFtd22422j 2j2j2221 eeE2224j4j24sinj222 EeeE222224Sa2444sin8 EE2j2j242 eEEeE解3說明4應用 )( FOO )(0 F0 0 )(0 F0 0j,)(0 右右移移頻頻域域頻頻譜譜搬搬移移乘乘時時域域tetf0j,)(0 左左

22、移移頻頻域域頻頻譜譜搬搬移移乘乘時時域域tetf 通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。注意如果如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里變換，余下部分再用微分性質(zhì)。變換，余下部分再用微分性質(zhì)。 j1t j1)(, 1t),sgn(2121)()( 21t2222 utftftfttutfFu微微分分余余下下部部分分直直流流21ot tf11ot tuot ttftudd1 1),()( Ftf若若 djd)(Fttf則則 dd)(jFttf 或或 nnnFtft dd)(j 2頻域微分性質(zhì)或或 nnnFtftj)(推廣推廣八時域

23、積分性質(zhì) ，則則若若 Ftf jd00FfFt 時時， j0d00FFfFt 時，時，也可以記作：也可以記作： )(j1)( F證明 tefttddj tetuftddj 變上限積分用帶時移的變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表單位階躍的無限積分表示，成為示，成為 tutf ddj tetuft交換積分順序交換積分順序 ，即先求時移的單位階躍即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換 后后先先t dj1j ef常數(shù)，移到積分外常數(shù)，移到積分外為為而言而言對積分變量對積分變量 續(xù)續(xù) dj1j ef dj1j ef F j1 FFj1 j0FF 則第一項為零則第一項為零如果如果,00

24、 F j0j1dFFFft j1Ftutf續(xù)續(xù)等效脈沖寬度與等效頻帶寬度 Ot 0f tf O 0F F B 0dfttf BFF0d d21d2100jFeFftt ttfFd0 1 2 fBB等效脈沖寬等效脈沖寬度與占有的度與占有的等效帶寬成等效帶寬成反比。反比。例3-7-6（教材例3-4）已知矩形調(diào)幅信號已知矩形調(diào)幅信號 ,cos0ttGtf 試試求求其其頻頻譜譜函函數(shù)數(shù)。脈脈寬寬為為，為為為為矩矩形形脈脈沖沖，脈脈沖沖幅幅度度其其中中, EtG 為為的頻譜的頻譜已知矩形脈沖已知矩形脈沖 GtG 2Sa EG解：解：因為因為 tteetGtf00jj21 為為頻譜頻譜根據(jù)頻移性質(zhì)，根據(jù)頻

25、移性質(zhì)， Ftf 002121 GGF t tfo2 2 E(a)矩形調(diào)幅信號的波形(a)矩形調(diào)幅信號的波形頻譜圖 2Sa22Sa2 21210000 EEGGF0 二，向左、右各平移二，向左、右各平移將包絡線的頻譜一分為將包絡線的頻譜一分為 20 0 O0 2 E F( (b b) )矩矩形形調(diào)調(diào)幅幅信信號號的的頻頻譜譜例3-7-8 tftF2 解：解： ？，求求已已知知 tftFFtf2)()( FF2ddj tfttfF2 1 nntt F 21 ddj1Ft 例3-7-9解：解： 22ddjj1 Ftt nnnnnnnFt d2djddj1 ntF求求例3-7-10 1. 求單位階躍函

26、數(shù)的傅里葉變換求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 ttttud)()( 已已知知1)(t )(j11)(j1)( tu則則 2Sa)( tG 00)0Sa( F，知知由由 2Sajd tGF 2Sajd tGt)(1tG O2 2 積分的頻譜函數(shù)。積分的頻譜函數(shù)。求門函數(shù)求門函數(shù)tG . 2t)(tG O2 2 1解：解：解：解：卷積定理卷積定理卷積定理的應用卷積定理的應用一卷積定理 2211, FtfFtf若若 2121 FFtftf 則則 2211, FtfFtf若若 212121 FFtftf 則則倍。倍。各頻譜函數(shù)卷積的各頻譜函數(shù)卷積的時間函數(shù)的乘積時間函數(shù)的乘積 21 時域卷積定理時域卷積定

27、理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積頻域卷積定理頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。求系統(tǒng)的響應求系統(tǒng)的響應 的傅里葉變換。的傅里葉變換。求求 tf d tf d j0j1dFFFft 將時域求響應，轉化為頻域求響應將時域求響應，轉化為頻域求響應 tf th tg thtftg GFtgHFG1 二應用用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù)用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù) dtuf tutf 例3-8-1 . 2Sa)(111 Ftft

28、ftfEtf頻頻譜譜密密度度函函數(shù)數(shù)的的，求求已已知知 2Sa22211 EFFtfFt)(1tfO2 2 E 1F E 20 4 2 o F22 E 2 2 t tftf11 2EO 時域卷積定理的證明 tftfF21 d2121 tfftftf因此因此 2121FFtftfF 所以所以卷積卷積定義定義交換積分交換積分次序次序 dd j21 tetfft d j21 eFf時移時移性質(zhì)性質(zhì) tetfftddj21 主要內(nèi)容正弦信號的傅里葉變換正弦信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換如何由如何由F0()求求F(n1)單位沖激序列的傅氏變換單位沖激序列的傅氏變換 周期

29、矩形脈沖序列的傅氏變換周期矩形脈沖序列的傅氏變換周期信號：周期信號：非周期信號：非周期信號：周期信號的傅里葉變換如何求？周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關系？與傅里葉級數(shù)的關系？ 離離散散譜譜傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù) 1 nFtf 連連續(xù)續(xù)譜譜傅傅里里葉葉變變換換 Ftf 傅傅里里葉葉變變換換統(tǒng)統(tǒng)一一的的分分析析方方法法非非周周期期周周期期 tf引言由由歐拉公式歐拉公式由頻移性質(zhì)由頻移性質(zhì)一正弦信號的傅里葉變換 tttteeteet0000jj0jj0j21sin21cos 21 0j0j212100 ttee 000002221cos t同理同理 000jjsin t已知已知 )()(cos000 t 000jjsin t0 0 F O頻譜圖:cos0頻譜圖頻譜圖t :sin0頻頻譜譜圖圖t 0 0 F o 0 0 2 2 o由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換其傅氏變換(用定義用定義)二一般周期信號的傅里葉變換112: T設設信信號號周周期期 ntjnTenFtf11