1、高等數(shù)學(xué)講稿狹義的高等數(shù)學(xué)是由微積分、微分方程和無(wú)窮級(jí)數(shù)組成的。其中微積分(或者稱數(shù)學(xué)分析)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是介于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支學(xué)科，是人類歷史上經(jīng)歷2500多年之久人類思維和智力奮斗的結(jié)晶與成果。基于它深深根植于人類活動(dòng)的眾多領(lǐng)域，于是也就歷史地奠定了它在社會(huì)發(fā)展和人類進(jìn)步中強(qiáng)力地位。微積分研究的內(nèi)容屬于高等數(shù)學(xué)的范疇。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別就在于：前者研究的是變量，研究的方法是動(dòng)的、聯(lián)系的和辯證的；而后者研究的是常量，研究的方法是靜止的、孤立的。微積分在形成目前這樣一套完整理論的過(guò)程中，期間克服了多次危機(jī)(著名的有三次)，經(jīng)歷了很多磨難。微積分

2、理論建立和完善的過(guò)程，也是促進(jìn)人類文明和社會(huì)進(jìn)步的過(guò)程。而生產(chǎn)力的發(fā)展和工程科技中的技術(shù)難題也是歷代科學(xué)家在當(dāng)時(shí)的歷史條件下推進(jìn)微積分理論發(fā)展和完善的基本動(dòng)力。其中對(duì)微積分理論發(fā)展影響較大的問(wèn)題主要是以下四個(gè)方面：一是物理問(wèn)題求物體的瞬時(shí)速度，就是說(shuō)怎樣解決在時(shí)間和距離都是0時(shí)的速度、加速度問(wèn)題；二是幾何問(wèn)題求任意曲線在某點(diǎn)處的切線。古希臘人已知的圓錐曲線的切線定義已經(jīng)不適用17世紀(jì)的復(fù)雜曲線；三是求建模函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題。彈道學(xué)計(jì)算炮彈的射程，天文學(xué)計(jì)算行星和太陽(yáng)的最近、最遠(yuǎn)距離等都是要求最大值最小值問(wèn)題；四是求積累問(wèn)題，求曲線的弧長(zhǎng)，曲線所圍區(qū)域的面積，曲面所圍的體積，物體的重心等，這

3、些問(wèn)題在古希臘已開(kāi)始研究，但他們的方法不具有一般性。對(duì)微積分的學(xué)習(xí)研究，我們是從極限微分積分的基本順序展開(kāi)的。因?yàn)?，微積分研究的對(duì)象是變量、是函數(shù)，微分學(xué)、積分學(xué)的理論都是通過(guò)極限的理論作為基礎(chǔ)和工具進(jìn)行研究和建立的。但是，在微積分理論發(fā)展完善的歷程中，卻是戲劇性的和上述的順序相反，這也是在談微積分簡(jiǎn)史時(shí)為什么先談積分學(xué)，再談微分學(xué)和極限，其原因就在于此。微積分的主要課題是研究變量的變化形態(tài)，為了利用變量的變化趨勢(shì)、變化速度以及變化的積累效應(yīng)等要素刻畫(huà)變化過(guò)程的特征，人們提出并發(fā)展了極限的理論和方法。實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)是一類特殊的極限，定積分又是另一類型的極限，極限的理論和方法構(gòu)成了整個(gè)微積分的基礎(chǔ)

4、。我們就從高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象函數(shù)，和其基礎(chǔ)知識(shí)極限，談起。因此我們的第一章就是第一章 函數(shù)與極限客觀世界處在永恒的運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和變化中。對(duì)各種變化過(guò)程和變化過(guò)程中的量與量的依賴關(guān)系的研究，產(chǎn)生了函數(shù)與函數(shù)極限的概念。函數(shù)概念就是對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量的依賴關(guān)系的抽象描述，是刻劃運(yùn)動(dòng)變化中變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。并且，函數(shù)概念本身也在不斷發(fā)展中。極限是刻劃變化過(guò)程中變量的變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)模型。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，通常突出的是極限的描述性定義。微積分則必須強(qiáng)調(diào)精確的、定量的極限定義。本章將介紹函數(shù)與極限的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算，并利用極限描述函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)函數(shù)是最常見(jiàn)的一類函數(shù)，它具有一系列很好的性質(zhì)和基

5、本運(yùn)算，微分理論將以連續(xù)函數(shù)為主要對(duì)象。下面我們首先介紹函數(shù)的定義、性質(zhì)及表示方法。 1 函 數(shù)一、變量與區(qū)間1、常量與變量 我們生活在永恒運(yùn)動(dòng)著的客觀世界中，變化無(wú)處不在。諸如行星圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相對(duì)位置的改變；城市人口數(shù)逐年增減；轉(zhuǎn)爐中鋼水溫度的升降；流水線上完成產(chǎn)品的多少；國(guó)際貿(mào)易中逆差的變化，他們都可以用數(shù)學(xué)上的變量來(lái)描述。（略）2、區(qū)間與鄰域中學(xué)學(xué)過(guò)區(qū)間的概念，如有限區(qū)間：閉區(qū)間 = ，開(kāi)區(qū)間 () = ，半開(kāi)半閉區(qū)間 a , b 等；還有無(wú)限區(qū)間：( a , + ) = x a x 等。注意 只是符號(hào)不是數(shù)，+表示沿x軸正方向可以無(wú)限變大，表示沿x軸負(fù)方向可以無(wú)限變?。ɑ蛘f(shuō)其絕對(duì)值可

6、無(wú)限變大）。今后常用到形如（）的開(kāi)區(qū)間，稱為點(diǎn)0的鄰域，簡(jiǎn)記為,其中稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑，于是有（ 。 ）（ ）.O x0d x0 x0 + d O x0d x0 x0 + d 有時(shí)還用到去心鄰域，它的記法和定義是 = ， 其中 . 無(wú)需指明鄰域的半徑時(shí)，可用符號(hào)或.數(shù)學(xué)上用絕對(duì)值表示直線上兩點(diǎn)a, b之間的距離：d =ab.絕對(duì)值的性質(zhì)： ；(4)；（幾何解釋：數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離不超過(guò)a 的點(diǎn)集，見(jiàn)圖1）。 . 。 -a O a -a O a圖1 圖2(5) （幾何意義見(jiàn)圖2）；(6) 。二、函數(shù)概念人們注意到在同一個(gè)自然現(xiàn)象、生產(chǎn)實(shí)踐或科學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，往往同時(shí)有幾個(gè)變量相互聯(lián)

7、系、相互影響地變化著，這種變化遵循著一定的客觀規(guī)律。如果能用數(shù)學(xué)方式精確地描述出這些變化的因果關(guān)系，就有可能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)事物未來(lái)的進(jìn)程，提出有效的工作方案，把握事物的發(fā)展趨勢(shì)。函數(shù)就是變量變化關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)描述。函數(shù)一詞是由著名德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨首先在數(shù)學(xué)上使用的，盡管他也考慮到變量x和與x同時(shí)變化的變量y，但他只是針對(duì)某些特殊的數(shù)學(xué)公式而言的。后經(jīng)歐拉、狄里克利、戴德金等數(shù)學(xué)家的不斷修訂、擴(kuò)充才逐步形成現(xiàn)代的函數(shù)概念，直到今天，函數(shù)的概念還在不斷的發(fā)展著。在初中代數(shù)中函數(shù)概念是利用“對(duì)應(yīng)法則”直接給出的。高中代數(shù)是先用“對(duì)應(yīng)法則”、“對(duì)應(yīng)”定義映射，再用映射定義函數(shù)。它們都是用原始概念（對(duì)應(yīng)

8、法則、對(duì)應(yīng)）等來(lái)定義函數(shù)?，F(xiàn)代函數(shù)概念發(fā)展到以通常所理解的“函數(shù)的圖象”的概念作為函數(shù)定義的藍(lán)圖，用有序數(shù)對(duì)集合的語(yǔ)言來(lái)的定義。我們教材采用接近于初中的定義形式，是最容易理解的一種，不再羅嗦(見(jiàn)P3定義)。只強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1） 函數(shù)可按對(duì)應(yīng)數(shù)值的多少分為單值函數(shù)和多值函數(shù)兩類，由于多值函數(shù)可分解為一些單支分支函數(shù)，所以一般只討論單值函數(shù)的情形。（2） 雖然函數(shù)定義中出現(xiàn)了兩個(gè)變量取值于定義域的自變量x和取值于值域的因變量y,反映這兩個(gè)變量聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念就是函數(shù)關(guān)系。由定義可見(jiàn)，確定函數(shù)只有兩個(gè)要素定義域和對(duì)應(yīng)法則。兩函數(shù)相等 定義域和對(duì)應(yīng)法則相同。（3）定義域的確定：實(shí)際問(wèn)題則由實(shí)際意義確定；有

9、解析式子表達(dá)的函數(shù)如不說(shuō)明，則是使其表達(dá)式有意義的自變量的全體。用一個(gè)解析式子來(lái)表示函數(shù)是最重要的表示函數(shù)的方法，但不是唯一的方法。還可以用圖象（如書(shū)上的例2），表格（如學(xué)生成績(jī)表），或語(yǔ)言敘述來(lái)表示函數(shù)。借助于圖形的直觀形象有助于掌握函數(shù)的變化規(guī)律。 v(t)例如汽車的計(jì)速器把車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度轉(zhuǎn)換為表盤(pán)上指針的相應(yīng)位置，即指示汽車的速度。畫(huà)出車速關(guān)于 時(shí)間的圖形，得到車輛起步后的速度圖（圖3）從圖中可以清晰地看到車加速和減速的全過(guò)程：起步后迅速加 0 10 40 t速，至10分鐘后又緩緩減速，直至40分鐘時(shí)停下。 圖1-3如何得到這40分鐘間汽車經(jīng)過(guò)的路程，并把它顯示在 里程表上？一般是通過(guò)

10、機(jī)械裝置的運(yùn)轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的，這個(gè)裝置的運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果實(shí)際上是計(jì)算出了圖中陰影的面積，學(xué)了積分后即可以知道這部分面積恰恰就是汽車經(jīng)過(guò)的里程。由此可見(jiàn)反映變量間依賴關(guān)系的幾何圖形對(duì)研究變量的關(guān)系起著十分重要的作用，這種圖形就是函數(shù)的圖像。 定義 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)任一xD，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，這在xO y面上就確定了一點(diǎn) (x, y)，我們稱這種有序?qū)c(diǎn)全體的集合：為f 的圖形(圖象)。 圖1-4 下面介紹幾個(gè)重要的函數(shù)： 例1 絕對(duì)值函數(shù) 其定義域是，值域是，（圖1-5）。 圖1-5例2 符號(hào)函數(shù) 其定義域是，值域是三個(gè)點(diǎn)的集合（圖1-6）。. 。.。 . 。. 。1. 。 0 -3 -2 -1 0 1 2

11、 3 . 。 -1 圖1-6 圖1-7例3 取整函數(shù) =表示不超過(guò)的最大整數(shù)。如 3.01 = 3 = = 3.99999 = 3, -3.01 = - = -3.999 = -4 = 4.其定義域是，值域是全體整數(shù)的集合，（圖1-6）。 例4 狄里克利（Dirichlet）函數(shù)表示：當(dāng)?shù)挠欣頂?shù)時(shí)1，當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)0.以上四個(gè)函數(shù)的定義域都是全體實(shí)數(shù)。它們?cè)谧鴺?biāo)平面上都有自己的圖象；但例4的圖象是畫(huà)不出來(lái)的。例2和例3中的函數(shù)在自變量的不同變化區(qū)間中，函數(shù)的表達(dá)式也不同，通常稱之為分段函數(shù)。在自然科學(xué)、工程技術(shù)社會(huì)科學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的情形。三、 函數(shù)的幾種特性1、 有界性定義2 設(shè)函數(shù)在

12、I上有定義。如果$正數(shù)M，D，則稱是在I上的有界函數(shù)，正數(shù)M稱為在I上的界。否則就稱f在I上無(wú)界。函數(shù)的有界性實(shí)際上就是它的值域集合的有界性。如都是（-，+）上的有界函數(shù)；符號(hào)函數(shù)和取整函數(shù)則是無(wú)界函數(shù)。無(wú)界函數(shù)定量性質(zhì)的數(shù)學(xué)定義的敘述？2、 單調(diào)性定義3 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I D， x1,x2 I。若x1 x2 ，則稱在區(qū)間I上單調(diào)增加；若x1 N，我們?cè)儆脤挿旱摹按嬖凇比〈罢业健?，上面的表述就變?yōu)椋捍嬖谡麛?shù)N，當(dāng)n N時(shí)，就有.現(xiàn)在我們可以從對(duì)實(shí)例的分析抽象出一般數(shù)列極限的定量性質(zhì)的定義了：定義 設(shè)有數(shù)列與常數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e（無(wú)論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得n

13、N時(shí)，恒有|-|N|-|N ”刻畫(huà)n足夠大。N的存在性是保證|-|N時(shí)|-| .2、數(shù)列極限的幾何解釋 把數(shù)列的項(xiàng)都擺在數(shù)軸上（圖-7），于是，都是數(shù)軸上的點(diǎn)。設(shè)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上跳動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的第一個(gè)位置在點(diǎn)，第二個(gè)位置在點(diǎn)x1，第個(gè)位置在點(diǎn)xn，。根據(jù)=的定義，再由 |-|0）之內(nèi)。所以，可以說(shuō)是用一個(gè)數(shù)極限數(shù)值，把握住了一系列無(wú)限多個(gè)數(shù)中除去有限個(gè)之后的所有的數(shù)，高度實(shí)現(xiàn)了由簡(jiǎn)馭繁的功效。極限問(wèn)題，是有限與無(wú)限、量變與質(zhì)變的辨證統(tǒng)一。 3、用定義證明數(shù)列極限例題例1 試證明數(shù)列的極限為1.證 |-|=|-1|=. 0,要使|-1|,只要，取自然數(shù)N為的整數(shù)部，即取N=，則當(dāng)N時(shí)，|-1|.

14、.注 用數(shù)列極限的定義來(lái)證明某個(gè)數(shù)列以某個(gè)常數(shù)為極限時(shí)（或說(shuō)用數(shù)列極限定義來(lái)驗(yàn)證已知數(shù)列和已知常數(shù)的極限關(guān)系），關(guān)鍵是證明N的存在性，找到了就證明了存在。通常是從要滿足的不等式|-|0, 要使，只要，即，取N =，則時(shí)，0,不等式|- |0 N |-|. 由例3可以得出一般性結(jié)論：恒取常值的數(shù)列，以這個(gè)常值為極限。 例4 設(shè)|q|1，證明.證 q = 0時(shí)，結(jié)論顯然成立。以下設(shè) 0|q| 0,要使，只要，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，即，取N =，取，則，. 4、收斂數(shù)列的有界性有界數(shù)列 如果$正數(shù)M， n，恒有.定理（收斂數(shù)列的有界性） 若數(shù)列收斂，則是有界數(shù)列。 分析 求證數(shù)列有界，即證明 MR+，

15、使得N | M.要從數(shù)列極限定義入手，尋找合適的常數(shù)M. 證 設(shè)=，則對(duì)于=1，N N，使得N|N| 0, X 0，xX時(shí)，恒有稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為，或A（x）yy=A+ y=Ay=A-X X x 注 對(duì)定義中的的理解完全同于數(shù)列極限定義中的。X是相應(yīng)存在的充分大的實(shí)數(shù)，用來(lái)限制自變量的范圍，以保證。幾何解釋 |-A|0，$X0，使得當(dāng)x X時(shí)，函數(shù)y = f(x)的圖形位于這兩條直線y = A與y =A + 之間（圖110）. 圖110從直觀上看，函數(shù)f(x)的圖形與直線y = A可以無(wú)限接近，稱直線y = A為函數(shù)f(x)圖形的水平漸近線。即，若，則直線y = A就是函數(shù)f(x)的圖

16、形的水平漸近線。例1(P17例1) 證明.證 |-0|=，若要|-0|，即要，取X=，則當(dāng)xX時(shí)，恒有|-0|. 0（x）.直線y = 0是函數(shù)y = 的一條水平漸近線。例2 試證明 = 1. 證明 因?yàn)椴环猎O(shè) x，又因?yàn)?X時(shí)，恒有.由定義知=1.證明函數(shù)存在極限與證明數(shù)列存在極限時(shí)所采用的方法與技巧完全類似函數(shù)自變量趨于無(wú)窮的方式還有以下兩種。 0且無(wú)限增大：記為. 若時(shí)，函數(shù)與定值A(chǔ)無(wú)限接近，稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以數(shù)A為極限。記為=A 或A（）.這個(gè)定義與x時(shí)函數(shù)極限的定義區(qū)別僅在于自變量的變化趨勢(shì)不同，所以只需將定義1中關(guān)于自變量變化趨勢(shì)的描述“xX ”相應(yīng)地改變?yōu)椤?xX ”，即可得時(shí)函數(shù)極限

17、的精確定義：定義1/ 設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x充分大時(shí)有定義，A為常數(shù)。若0, X 0， xX時(shí)，恒有稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為，或A（x+） x0, X 0，使得- X |-A|0，使得當(dāng)時(shí)，恒有.yy=A+ y=Ay=A-x0- x0 x0+ x 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx 0時(shí)的極限。記為=A，或 A（）. =的幾何解釋：注意到，|-A|0，$d 0，使得對(duì)于位于點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的任何，函數(shù)曲線y = f(x)的圖形位于這兩條直線 y = A與y =A + 之間。參看圖1-11。 圖1-11例3(P19例2) 證明 =.證 因?yàn)?，所以，取 d = ，當(dāng)時(shí)，就恒有，所以=. 例4(P19例3

18、) 證明 .證 = (3x-1)-2 = 3x-1.0，若要，只要3x-1，即 x-1.取 d =，則當(dāng)0x-1 0，若要，只要 x-2，取 d = ，則當(dāng)0 x-2，且趨向于，記為+ 0 .若x僅從左側(cè)趨于x0，即x0（或A0（或0, =A，對(duì)于正數(shù) A，$ d 0，當(dāng),即xU 0(x0,d)時(shí), 恒有 . 即 ， A- 0， . 從幾何上看也十分明顯。因?yàn)橛袠O限時(shí)，函數(shù)圖像必落在帶狀區(qū)域與內(nèi)，只要取得足夠小，就可使得與同號(hào)，從而f(x)與A同號(hào)。 定理2 設(shè)=A，如果在x0的某去心鄰域內(nèi)（或），則A0（或0）. 推論(局部保序性) 如果函數(shù)f (x)、g (x)在同一極限過(guò)程中有極限: =

19、A， =B.則在相應(yīng)區(qū)間有: AB時(shí)， f (x)0，$d 0，當(dāng)時(shí),|f(x)| 0，使得當(dāng)時(shí)，恒有. xx0時(shí)，f(x) - A是無(wú)窮小，表示為f(x)- A =a .定理1 若=A，則= A + a，其中a 是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小。反之，若= A +a ，其中A是常數(shù)，a 是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小，則=A.簡(jiǎn)言之，有了前面的分析后，定理的證明應(yīng)不困難，請(qǐng)自讀。這個(gè)定理表明極限存在問(wèn)題都可歸結(jié)為無(wú)窮小量問(wèn)題，可見(jiàn)無(wú)窮小在極限理論中的重要性。有必要對(duì)其性質(zhì)加以研究。性質(zhì)1 自變量同一變化趨勢(shì)下的有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小。分析 3可化為2加1，關(guān)鍵是證兩個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小。且僅以過(guò)程xx0為

20、例證明。證 設(shè) g =a+b，其中a 與b 均是xx0時(shí)的無(wú)窮小，則 0，$ d 1 0，時(shí)a 0，時(shí)b / 2，取 d= mind 1, d 2 ，則當(dāng)時(shí)，有 | g | = |a + b |a + b 0， xU 0(x0 , d 1)，恒有 f (x) M；設(shè)a 是xx0時(shí)的無(wú)窮小 0，$ d 2 0， xU 0(x0 , d 2)，恒有 |a | /M. 取d = mind 1, d 2 ，則當(dāng)時(shí)，有 f (x) a = | f (x) | |a | 0，$ X 0， |x| X f (x) M，則稱函數(shù)f (x)當(dāng)x時(shí)為無(wú)窮大量，記為或. 注 由無(wú)窮大定義知，無(wú)窮大不是數(shù)，再大的數(shù)也

21、不是無(wú)窮大。且若函數(shù)是無(wú)窮大，則函數(shù)必?zé)o極限。但為描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)的性態(tài)，也稱函數(shù)的極限是無(wú)窮大。如：x0時(shí)，是無(wú)窮大；x -1時(shí)，也是無(wú)窮大；x時(shí)，1-ln x是無(wú)窮大。顯然這些無(wú)窮大的變化趨勢(shì)不相同，隨著x， 的值非負(fù)且越來(lái)越大，而1-ln x則取負(fù)值且絕對(duì)值越來(lái)越大，在數(shù)學(xué)上加以區(qū)別就是正無(wú)窮大+與負(fù)無(wú)窮大-。將定義2中的“|x| X”相應(yīng)地改為“x-X ”即可得到x時(shí)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的定義。共有21種無(wú)窮大的定義。y y=11 x例2 證明.證 M 0，要使f (x) =M，只要| x -1|M， .注 證明無(wú)窮大的思想方法完全同于極限證明部分。 從圖形(圖1013)上看直線

22、x =1是曲線y = 的垂直漸近線。 圖1013 一般地，如果xx0時(shí)f(x)為無(wú)窮大，即若，則直線x = x0就是函數(shù)y =f(x)的圖形的一條垂直漸近線，這就是xx0時(shí)無(wú)窮大的幾何解釋。無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系：定理2 在自變量同一變化過(guò)程中，若f(x)為無(wú)窮大，則 為無(wú)窮?。环粗?，若f(x)為非零無(wú)窮小，則 為無(wú)窮大。 簡(jiǎn)言之：無(wú)窮小與無(wú)窮大是互為倒數(shù)的，但分母不得為0。證 僅就過(guò)程xx0給出證明。設(shè)，則0，對(duì)于正數(shù)M=1/，$ d 0， 0| x-x0 M = 1/， 0， ，對(duì)于 =，$ d 0，使得當(dāng)時(shí)，恒有f(x) M， .無(wú)窮大與無(wú)界的關(guān)系：由無(wú)窮大的定義知，若函數(shù)是某過(guò)程時(shí)的無(wú)窮

23、大，則它必是此變化范圍上的無(wú)界函數(shù)。反之呢？例3（P27題6） 函數(shù)f(x) = x cosx是（-，+）上的無(wú)界函數(shù)(圖1-14)： 正整數(shù)M， 都有xM = 2Mp，使得f(xM)= 2Mp cos 2Mp =2M M，f(x)是無(wú)界函數(shù)。直觀上看，對(duì)于再高的直線y = M；直線的上方都有函數(shù)的圖像。但x時(shí)它不是無(wú)窮大： 對(duì)于正整數(shù)M， X 0， $ xX =X， 使得f(xM)=cos= 00，( 0， 當(dāng) 0| x -a| 時(shí)，恒有 | f (u)- A|0，當(dāng)0x-x0 d 時(shí)，恒有 (x)-a =u-a 0時(shí)，必有 u-a 0. 0x-x0 d 時(shí)，必有0u-a . 從而就有 f

24、(u) - A . 所以. 注 Th2表明 ，即在里、外層函數(shù)的極限都存在的條件下，求復(fù)合函數(shù)的極限可轉(zhuǎn)化為求極限. 這是個(gè)很重要的等式； Th2對(duì)于極限過(guò)程也成立；且可以將Th2推廣到“，”的情形。例9 求極限 .證 令，則；又( P.21, 1 (5)，原式=. 注 熟練后不必寫(xiě)代換過(guò)程，只要里、外層函數(shù)的極限都存在，尤其是可用代入法的，則直接用代入法即可。例10 求極限 .證 x時(shí)，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”：原式 = . （有理化法） 例11 求極限 .證 原式 =. 注 反向思維理解等式，它蘊(yùn)含了“變量代換”的思想，即可用變量代換的方法求極限：設(shè)，而xx0時(shí)tt0，則有.在，則存在，且 = .證 . 例8 求極限. 解 x0時(shí)，tan x x，sin x x，所以 原式. 注 等價(jià)無(wú)窮小的替換在極限運(yùn)算中有著重要作用，應(yīng)用的前提是掌握一定量的等價(jià)無(wú)窮小，因此應(yīng)注意收集一些