1、第三節(jié) 復(fù)變初等函數(shù)2.1 指數(shù)函數(shù)2.2 對數(shù)函數(shù)2.3 乘冪與冪函數(shù)2.4 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)2.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)2.12.1指數(shù)函數(shù)1.復(fù)變量復(fù)變量z指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義: )( 個(gè)條件個(gè)條件在復(fù)平面內(nèi)滿足以下三在復(fù)平面內(nèi)滿足以下三當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)zf;)( (1)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))sin(cosexp ,yiyezzx記為的指數(shù)函數(shù)此函數(shù)稱為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式: )(,2)(expArg,|exp|為為任任何何整

2、整數(shù)數(shù)其其中中kkyzezx . exp 來表示來表示可以用可以用指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符號的符號只是代替只是代替沒有冪的意義沒有冪的意義注意注意zez , exp ,的的周周期期性性可可以以推推出出根根據(jù)據(jù)加加法法定定理理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所所沒沒有有的的該該性性質(zhì)質(zhì)是是實(shí)實(shí)變變指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xe2. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 例例7 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解解)s

3、in(cos yiyeeexiyxz 因?yàn)橐驗(yàn)?.cos)Re( , yeeeexzxz 實(shí)部實(shí)部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz .) e2; (e ) 1 (i433i2其其輻輻角角主主值值：例例8 8. .求求出出下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)及及 yiyeeexiyxz)sin(cos )(2Arg為整數(shù)輻角為：kkyez內(nèi)的一個(gè)輻角為區(qū)間輻角主值 ez,(- arg ) 3si

4、n3(cos1232ieei3arg233232iiekArge解解: : ),4sin4(cos)2(343eei24arg ,24Arg4343iie ke 2.2 2.2 對數(shù)函數(shù). zLnw , z w )0z( ze .w記為：的對數(shù)稱為則復(fù)數(shù)即若數(shù)的反函數(shù)規(guī)定對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函1.1.定義：定義：viuviuiwieeeree z ,ivu w,rez 則令k2 v,eruZk k2 v, rlnu 即zizzwArglnLn 無窮多值函數(shù)無窮多值函數(shù))0( zz ew取對數(shù)取對數(shù). Ln ,arg Arg ArglnLn 的主值的主值稱為稱為取主值取主值中中若將若將zzzzizz

5、zizz arglnln 記為：記為：其余各支為：其余各支為：), 2, 1( k. Ln , , 的的一一個(gè)個(gè)分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)對對于于每每一一個(gè)個(gè)固固定定的的zk.lnln Ln , 0 是是實(shí)實(shí)變變量量對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x z zxyixz zarg kiz kiz iz kziz zizzw2ln2argln2arglnArglnLn 或稱主值支或稱主值支例例9 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 ,22ln2Ln ik 因?yàn)橐驗(yàn)?ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Ar

6、g1ln)1(Ln i因?yàn)橐驗(yàn)?)()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在實(shí)變函數(shù)中在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對數(shù)負(fù)數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.例例10解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例11解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21

7、ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln2. 性質(zhì)性質(zhì),LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 證明：證明： , iyxz 設(shè)設(shè),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,arglim0 zy

8、 zyarglim0處處處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)其其它它點(diǎn)點(diǎn)除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 ln ,z ln arg是單值的是單值的內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zw zezw wezzwdd1dlnd z1 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支和和其其它它的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(zz zz1)Ln(1)(ln 不存在不存在z yarglim0 在負(fù)實(shí)軸不連續(xù)在負(fù)實(shí)軸不連續(xù)z izz arglnln 2.32.3冪函數(shù) .;0 Ln的冪函數(shù)的冪函數(shù)稱為稱為為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)z a zezwzaa 說明說明

9、: :1.1.定義：定義： .;0 1ln中中的的推推廣廣在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)此此定定義義是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域中中等等式式 a xex xaa .,11 2 z z Znn na na nn根式函數(shù)根式函數(shù)及及即為已經(jīng)定義的冪函數(shù)即為已經(jīng)定義的冪函數(shù)時(shí)時(shí)且且或或當(dāng)當(dāng) 也也是是多多值值的的其其中中是是多多值值的的 z Zkkzizza , )2arg(lnLn 為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)a zez wzaa;0 Ln aikzakzizazaaeeeezw2ln)2arg(lnLn , )1(為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)a Lnzaaezw :的的如如下下三三種種特特殊殊情情形形下下面面討討論論

10、a zakaizaeeeln2ln 是是單單值值函函數(shù)數(shù)az ,0) ,( )2(時(shí)時(shí)為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)與與是是有有理理數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) pqppqa Lnzaaezw kizpqpqee 2ln 個(gè)個(gè)值值有有 p za . 1, 2 , 1 , 0212個(gè)不同值個(gè)不同值有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) p eepk p qkipq ki , )3(是是無無理理數(shù)數(shù)或或虛虛數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a 有有無無窮窮多多個(gè)個(gè)值值az,2的的所所有有的的值值各各不不相相同同iake 例例1212 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中i

11、iieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí).3)( 5 計(jì)算計(jì)算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 2.2.冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 ; zw ) 1 (n內(nèi)處處解析是單值函數(shù)，在復(fù)平面1)( a

12、azaz;n , zw )2(n1個(gè)分支具有是多值函數(shù).) n1 na ( zw (3)a也是一個(gè)多值函數(shù)兩種情況外與除去冪函數(shù)它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析.解析的復(fù)平面內(nèi)包括原點(diǎn)在除去負(fù)實(shí)軸的各分支 zLn,e zwzLnn1n1它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析.2.4 2.4 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義,sincos yiyeiy 因?yàn)橐驗(yàn)?sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把上面余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的自變量取實(shí)現(xiàn)在把上面余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的自變量

13、取實(shí)值推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況值推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況. .2cos,2sin 的的正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)并并分分別別稱稱為為規(guī)規(guī)定定z eez ieez iziziziz ;cos , sin 1是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zzzzzzcos)cos(,sin)sin( zzzzcos)2cos(,sin)2sin( 2.2.正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)：正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)： ;2cos sin 2為周期的為周期的都是以都是以和和 zz 且且在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析和和 zz,cos sin 3zzzzsin)(cos,cos)(sin 1cossinsincoscossi

14、n)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz yixyixyixyixyixyixsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 即即三角公式仍然成立三角公式仍然成立積化和差、和差化積等積化和差、和差化積等, 5 .,cossin 6與實(shí)三角函數(shù)不同與實(shí)三角函數(shù)不同是無界的是無界的和和在復(fù)數(shù)域內(nèi)在復(fù)數(shù)域內(nèi) z z .cos ,sin , yiyiy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)( (注意：與實(shí)變函數(shù)不同注意：與實(shí)變函數(shù)不同) ) Zn nz z Zn nz z z 21 cos0sin sin 4的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為為為的根的根即即的零點(diǎn)的

15、零點(diǎn),cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù)3.3.其他復(fù)三角函數(shù)的其他復(fù)三角函數(shù)的定義定義： ; 1解析解析上使分母不為零的點(diǎn)處上使分母不為零的點(diǎn)處這四個(gè)函數(shù)都在復(fù)平面這四個(gè)函數(shù)都在復(fù)平面4.4.正切、余切、正割與余割函數(shù)的性質(zhì)：正切、余切、正割與余割函數(shù)的性質(zhì)： .2, 2 正割及余割的周期為正割及余割的周期為正切和余切的周期為正切和余切的周期為5. 雙曲函數(shù)的定義雙曲函數(shù)的定義 .2cosh,2sinh 余余弦弦函函數(shù)數(shù)的的雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和雙雙曲

16、曲并并分分別別稱稱為為規(guī)規(guī)定定z eez eez zzzz 6.6.雙曲正弦雙曲正弦( (余弦余弦) )函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)： .實(shí)實(shí)雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)的的定定義義一一致致為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，定定義義與與通通常常的的若若 z ;cosh , sinh 1是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz ;2cosh sinh 2為周期的為周期的都是以都是以和和izz 且且在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析和和 zz,cosh sinh 3zzzzsinh)(cosh,cosh)(sinh sinh2sincosh2cos , 4yiieeyi yeeyi yiz yyyy 時(shí)時(shí)為純虛數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)當(dāng) .sinhcosc

17、oshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos(yxiyxyixyxiyxyix 再結(jié)合再結(jié)合1sinhcosh 22 yy得得zzzzzzzzeeeezzzeeeezzz sinhcoshcoth coshsinhtanh 雙雙曲曲余余切切函函數(shù)數(shù)雙雙曲曲正正切切函函數(shù)數(shù)1.1.反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz 記記作作的的反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱設(shè)設(shè)2cos iwiweewz 由由012 2 iwiwzee即即1 2 zzeiw方程的根為方程的根為 1LncosArc,2 zziz i 得得再再同同乘乘兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)無窮

18、多值函數(shù)無窮多值函數(shù)為二值函數(shù)為二值函數(shù) z12 02 iwiweze 得得2.5 2.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù) 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), ,表達(dá)式為表達(dá)式為: : 21LnArcsinziziz iziziz 11Ln2Arctan2.2.反雙曲函數(shù)的定義反雙曲函數(shù)的定義)1Ln( Arsinh2 zzz反雙曲正弦反雙曲正弦)1Ln( Arcosh2 zzz反雙曲余弦反雙曲余弦).32tan(Arc .13i求函數(shù)值例 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln231arcta

19、n212152ln4 ki , 2 , 1 , 0 k解解: :iziziz 11Ln2Arctan 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣的推廣, ,它既保持了后者的某些基本性質(zhì)它既保持了后者的某些基本性質(zhì), ,又有一些與又有一些與后者不同的特性后者不同的特性. .如如: :1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性指數(shù)函數(shù)具有周期性 2 i周期為周期為2. 負(fù)數(shù)無對數(shù)的結(jié)論不再成立負(fù)數(shù)無對數(shù)的結(jié)論不再成立3. 三角正弦與余弦不再具有有界性三角正弦與余弦不再具有有界性4. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)返回復(fù)變初等函數(shù)總結(jié)復(fù)變初等函數(shù)總

20、結(jié) 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同? ? 兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的, , 而且導(dǎo)數(shù)的形式、而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式. . 最大的區(qū)別是最大的區(qū)別是, , 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)中實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)中, , 正余弦函數(shù)都是有界函數(shù)正余弦函數(shù)都是有界函數(shù), , 但在復(fù)變但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中三角函數(shù)中, , . 1cos 1sin不再成立不再成立與與 zz第3 3章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念和性

21、質(zhì)3.2 柯西積分定理及其應(yīng)用3.3 柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系復(fù)習(xí)、引入baniiinx)(flimdx)x(f11( ,)lim(,)niiiniDf x y df 1( , , )lim(,)niiiinif x y z dVfV 11( ,)( ,)lim(,)(,)nniiiiiiLniiP x y dxQ x y dyPxQy 1( , )lim( ,)niiiLnif x y dsfs 1. 回憶定積分回憶定積分. 設(shè)一元函數(shù)設(shè)一元函數(shù) y = f (x) 在在a, b可積可積. niiibaxfxxf10)(limd)(則則.d)(,0)

22、(面積在幾何上表示曲邊梯形時(shí)當(dāng)baxxfxf如圖如圖0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中其中 i xi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小區(qū)表小區(qū)間間xi, xi+1的長的長, f ( i) xi表示小矩形的面積表示小矩形的面積.2.2. 二重積分的概念如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零時(shí)， 這和式的極限存在， 則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域 D 上的二重積分，記為 Ddyxf ),(，即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10.xzyoD),(yxfz i ),(ii 求曲頂柱體體積的方法：求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、分

23、割、取近似、求和、取極限。求和、取極限。求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法的方法第一型曲線積分 設(shè)有光滑曲線 , , f(x,y)是定義在 L上的連續(xù)函數(shù) . 則:Ldtttttfdsyxf)()()(),(),(22)(),(:tytxL ,t第二型曲線積分設(shè)L為光滑或按段光滑曲線 : 函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù), 則沿L的自自然方向然方向有:dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( )(),(:tytxL,t3.1 3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì) 一、 定義 設(shè)在復(fù)平面C上有

24、一條連接 Z0 及Z兩點(diǎn)的簡單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上連續(xù)的函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。0z 把曲線C用分點(diǎn) 分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn) 在曲線C上,按從 到Z的次序排列的。0121,.,nzz zz),.,2 , 1 , 0(nkzknzz0z1z1kzkkzZzn1nzCCknkkndzzfzf)()(lim11如果 是 到 的弧上任意一點(diǎn)，那么下列和式的極限(對任意分法和 的取法都存在且相同),記 kkz1kzk1kkkzzz與實(shí)函數(shù)中第二型線積分類比與實(shí)函數(shù)中第二型線積分類比 xx ttyy tC C的參數(shù)方程的參數(shù)方程

25、線積分線積分,ccF x yMx y iNx yjdrdxidyjF drMdxNdy ,Fx ty trt dt ,A xy,B xydxdycdrdz復(fù)積分復(fù)積分 ,ccfzux yivx yzxiy dzdxidyfzdzuivdxidyccu d xvd yivd xu d y ,fx ty tzt dt一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分兩個(gè)實(shí)二型線積分二、積分存在的條件及其計(jì)算方法 1) f(z)為連續(xù)函數(shù),且C是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。 tctfz dzfztztdt3)化為參變量的定積分來計(jì)算。 udyvdxivdyudxdzzfccc2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。例1 計(jì)算 其中 為以 為圓心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).C,10cnzzdz0zrn2020201110derideriderirezzdzinninncninin0,02 ,iCzzre解： 的參數(shù)方程為102,0,0,0,nci ndznzz因 此三、積分的性質(zhì) cck fz dzkfz dz（2） ;ccf z dzf z dz（1） ;cccfzg zdzfz dzg z dz（3） ccfz dzfz dsML（5）1212( )( )( )CCCCf z dzf z dzf z dz（4）