1、-“囚徒困境囚徒困境” 兩個犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非兩個犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非至少一個人招人犯罪，警方并無充足證據(jù)將其至少一個人招人犯罪，警方并無充足證據(jù)將其按罪判刑按罪判刑. 警方把他們關(guān)入不同的牢室，并對他警方把他們關(guān)入不同的牢室，并對他們說明不同行動帶來的后果們說明不同行動帶來的后果. 如果兩個人都不坦如果兩個人都不坦白，將均被判為輕度犯罪，入獄一個月；如果白，將均被判為輕度犯罪，入獄一個月；如果兩人都坦白招認(rèn)，都將被判入獄兩人都坦白招認(rèn)，都將被判入獄6個月；最后，個月；最后，如果一人招認(rèn)而另一人拒不坦白，招認(rèn)的一方如果一人招認(rèn)而另一人拒不坦白，招認(rèn)的一方將馬上獲釋，而

2、另一人將判入獄將馬上獲釋，而另一人將判入獄9個月個月.博弈論經(jīng)典例子博弈論經(jīng)典例子第第1章章 完全信息靜態(tài)博弈完全信息靜態(tài)博弈( Static Games of Complete Information )第第1章章 完全信息靜態(tài)博弈完全信息靜態(tài)博弈一個博弈由三部分構(gòu)成一個博弈由三部分構(gòu)成 : : 參與者參與者 , ,參與者的參與者的 戰(zhàn)略（空間）戰(zhàn)略（空間），參與者的收益參與者的收益構(gòu)成構(gòu)成. .動動)構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合. 參與參與者的收益是參與者在博者的收益是參與者在博弈中的弈中的 參與者的戰(zhàn)略參與者的戰(zhàn)略空間是參與者可選擇空間是參與者可選擇的的戰(zhàn)戰(zhàn)略略(行行 得益得益.參與者的參與者的

3、“共同知識共同知識 ” ”. .完全信息是指完全信息是指: 所有參與者的收益函數(shù)是每個所有參與者的收益函數(shù)是每個 靜態(tài)博弈靜態(tài)博弈 是指所有參與者是指所有參與者同時同時選擇行動或戰(zhàn)選擇行動或戰(zhàn)略略. 同時同時:(彼此沒有信息交流彼此沒有信息交流). 假設(shè)每個參與者假設(shè)每個參與者選選 擇且僅選擇一次戰(zhàn)略（擇且僅選擇一次戰(zhàn)略（行動行動）. 參與者是參與者是理性理性的的. 參與者是參與者是理性理性的是指的是指 參與者參與者總是總是追求收益最大追求收益最大（參與者唯一的目標(biāo)）（參與者唯一的目標(biāo)）. 1.1A 博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述 經(jīng)典例子經(jīng)典例子；“囚徒困境囚徒困境”( (prisoner

4、,s dilemma) 囚徒囚徒1 1-6 -6-6 -60 -90 -9-9 0 -9 0 -1 -1-1 -1 沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 囚徒囚徒2 2沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 在此博弈中在此博弈中, ,每個囚徒有兩個可供選擇的每個囚徒有兩個可供選擇的戰(zhàn)略戰(zhàn)略: 坦白坦白, 沉默沉默. 在一組特定的戰(zhàn)略被選定后，兩人的收益由上表在一組特定的戰(zhàn)略被選定后，兩人的收益由上表中的數(shù)字給出，習(xí)慣上橫行代表的參與者中的數(shù)字給出，習(xí)慣上橫行代表的參與者1的收益的收益 在兩個數(shù)字中放在在兩個數(shù)字中放在前面前面，列代表的參與者，列代表的參與者2 的收益的收益放在后面放在后面 . .一般情況下，博弈的標(biāo)準(zhǔn)式包括一般情況

5、下，博弈的標(biāo)準(zhǔn)式包括 ：（1）博弈的參與者，博弈的參與者，（2）每一參與者的戰(zhàn)略集每一參與者的戰(zhàn)略集 ，（3）針對針對所有參與者可能選擇所有參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，的戰(zhàn)略組合，每一個參與者獲得的收益每一個參與者獲得的收益. 一般來講一般來講, , 我們只考慮我們只考慮n 個參與者的博弈個參與者的博弈, ,其其 中參與者從中參與者從1到到n 排序排序, , 設(shè)其中任一參與者的序號設(shè)其中任一參與者的序號 為為i , , 令令Si 代表參與者代表參與者i 可以選擇的戰(zhàn)略集合可以選擇的戰(zhàn)略集合(稱為稱為 i 的的戰(zhàn)略空間戰(zhàn)略空間),),其中任意一個特定的戰(zhàn)略用其中任意一個特定的戰(zhàn)略用si 表示表示

6、iiSs 表示戰(zhàn)略表示戰(zhàn)略si 是戰(zhàn)略集是戰(zhàn)略集Si中的要素）中的要素） ( 有時寫成有時寫成 ),(21nsss 令令后形成的后形成的戰(zhàn)戰(zhàn)略組合略組合. . 間間，表示為，表示為 .21nSSSS),(21niisssuu定義定義 在一個在一個n 人博弈的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中人博弈的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中, ,參與者參與者 的戰(zhàn)略空間為的戰(zhàn)略空間為 ,21nSSS我們用我們用 ,21nuuunnuuuSSSG,;,2121表示此博弈表示此博弈.表示每個參與者選定一個戰(zhàn)略表示每個參與者選定一個戰(zhàn)略 所有戰(zhàn)略組合所有戰(zhàn)略組合構(gòu)成構(gòu)成戰(zhàn)略組合空戰(zhàn)略組合空 iu表示表示第第i個個參與者選參與者選 擇戰(zhàn)略擇戰(zhàn)略si 時

7、，時，i 的收益函數(shù)，即的收益函數(shù)，即 ),(iiissu收益函數(shù)為收益函數(shù)為 注意注意: : 參與者參與者同時選擇戰(zhàn)略同時選擇戰(zhàn)略( (行動行動) )并不意味著并不意味著各方各方行動必須是同時的行動必須是同時的, , 只要每一個參與者在選只要每一個參與者在選擇行動時擇行動時沒有信息交流沒有信息交流即可即可. .參與者參與者永遠(yuǎn)是理性的！永遠(yuǎn)是理性的！博弈模型已經(jīng)構(gòu)建，博弈模型已經(jīng)構(gòu)建，我們的任務(wù)是我們的任務(wù)是 如何預(yù)知如何預(yù)知 博弈的結(jié)果博弈的結(jié)果(?) ,(?) , 換言之，換言之，如何尋找如何尋找博弈的解博弈的解. 11B 重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略 定義在標(biāo)準(zhǔn)式的博弈定義在標(biāo)

8、準(zhǔn)式的博弈nnuuuSSSG,;,2121中中, ,令令 和和 代表參與者代表參與者 的兩個可行戰(zhàn)略的兩個可行戰(zhàn)略, ,如果如果iis is對其他參與者對其他參與者每一個可能的戰(zhàn)略組合每一個可能的戰(zhàn)略組合, , 參與者參與者i 或者或者 相對與相對與 是是嚴(yán)嚴(yán) is is選擇選擇 的收益的收益都小于都小于其選擇其選擇 的收益的收益, , 則稱戰(zhàn)略則稱戰(zhàn)略 isis isis 相對于相對于 是是嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，格占優(yōu)戰(zhàn)略格占優(yōu)戰(zhàn)略，即：，即：),(1121niiiissssssu),(1121niiiissssssu ( DS )每一每一組可能的戰(zhàn)略組合組可能的戰(zhàn)略組合 都成立都成立.

9、.),(111niissss對其他參與者在其戰(zhàn)略空間對其他參與者在其戰(zhàn)略空間niiSSSS,111中的中的 理由：理由：理性的參與者不可能選擇嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，理性的參與者不可能選擇嚴(yán)格劣戰(zhàn)略， “囚徒困境囚徒困境”( (prisoner,s dilemma) 囚徒囚徒1 1-6 -6-6 -60 -90 -9-9 0 -9 0 -1 -1-1 -1 沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 囚徒囚徒2 2沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略方法解決用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略方法解決 “囚徒困境囚徒困境” 不難驗證，不難驗證，在囚徒困境中，對每一個參與者，在囚徒困境中，對每一個參與者，沉默和招認(rèn)相比是沉默和招認(rèn)相比是 嚴(yán)格

10、劣戰(zhàn)略嚴(yán)格劣戰(zhàn)略. 因此每一個囚徒都因此每一個囚徒都 會選擇招認(rèn)會選擇招認(rèn). 故故“囚徒困境囚徒困境”博弈的博弈的重復(fù)剔除嚴(yán)格劣重復(fù)剔除嚴(yán)格劣 戰(zhàn)略解是戰(zhàn)略解是 （招認(rèn)，招認(rèn)）（招認(rèn)，招認(rèn)）. 下面再看一個二人博弈的例子：下面再看一個二人博弈的例子： 參與人參與人1 2 ，00 ，10 ，30 ，1 1 ，21 ，0左左 中中 右右上上下下參與人參與人 2 圖圖1.1.1參與人參與人1 1有兩個可選戰(zhàn)略，參與人有兩個可選戰(zhàn)略，參與人2 有三個有三個 可選戰(zhàn)略可選戰(zhàn)略 S1=上上, ,下下 ，S2=左左, 中，右中，右， 如果如果2選擇左，上優(yōu)于下選擇左，上優(yōu)于下(1大于大于0)，但如果，但如果

11、2選擇右，下就會優(yōu)于上選擇右，下就會優(yōu)于上(因為因為20). 但對參與人但對參與人2來講，右嚴(yán)格劣于中來講，右嚴(yán)格劣于中(21且且10)，因此理性的參，因此理性的參與者與者2不會選擇右的不會選擇右的. 那么那么如如果果參與人參與人1 知道參與知道參與 人人2是理性的，他就可以把右是理性的，他就可以把右從參與人從參與人2的戰(zhàn)略空的戰(zhàn)略空 間中剔除掉，即如果參與人間中剔除掉，即如果參與人1知道參與人知道參與人2是理性是理性 的，他就可以把圖的，他就可以把圖1.1.1所示博弈視同為圖所示博弈視同為圖112所所 示的博弈示的博弈: :1，01，20，30，1 參與人參與人2 左左 中中參與人參與人1上

12、上 下下圖圖112在圖在圖112112中中, ,對于參與人對于參與人1 1來講，下就成了上的來講，下就成了上的嚴(yán)嚴(yán) 格劣格劣戰(zhàn)略戰(zhàn)略, ,于是如果參與人于是如果參與人1 1是理性的是理性的,(,(并且并且參與參與 人人1知道知道參與人參與人2是理性的，這樣才能把原是理性的，這樣才能把原博弈化博弈化 為圖為圖1.1.2所所示的博弈示的博弈) )，參與人，參與人1 1就可以就可以把下從參把下從參 與人與人1的戰(zhàn)略空的戰(zhàn)略空間中剔除，余下圖間中剔除，余下圖113所示博弈所示博弈. 但這時對參與人但這時對參與人2, 左又成為中的嚴(yán)格左又成為中的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，參劣戰(zhàn)略，參 與人與人2可以剔除左，得可以剔除

13、左，得博博弈的解弈的解為為 (上，中上，中).1，01，2 參與人參與人2 2左左 中中參與人參與人1 上上圖圖113上面的過程可稱為上面的過程可稱為“重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略”. .戰(zhàn)略戰(zhàn)略的原則之上，但它仍有兩個缺陷：的原則之上，但它仍有兩個缺陷：注意此過程建立在理性參與者不會選擇嚴(yán)注意此過程建立在理性參與者不會選擇嚴(yán)格劣格劣 第一第一 每一步剔除都需要參與者間相互了解每一步剔除都需要參與者間相互了解的的 意多步就需意多步就需要假定要假定“參與者是理性參與者是理性”是共同知識是共同知識. . 的還要假定所有參與的還要假定所有參與人都知道所有參與人是理性人都知道所有參與人是理性更

14、進(jìn)一更進(jìn)一步假設(shè)，如果我們要把這一過程應(yīng)用到任步假設(shè)，如果我們要把這一過程應(yīng)用到任 這意味著，我們不這意味著，我們不僅需要假定所有參與人是理性僅需要假定所有參與人是理性 的如此等等，以至無窮的如此等等，以至無窮. 第二第二 對博弈預(yù)測的結(jié)果經(jīng)常是不精確的對博弈預(yù)測的結(jié)果經(jīng)常是不精確的. .或者此方或者此方法根本不能使用法根本不能使用. . 例如：例如： 6 6，6 63 3，5 53 3，5 55 5，3 30 0，4 44 4，0 05 5，3 34 4，0 00 0，4 4左左 中中 右右上上 中中 下下 此博弈就不能用以上方法求解此博弈就不能用以上方法求解. . 由此引出由此引出納納 什

15、均衡什均衡的概念的概念. .納什均衡概念是納什均衡概念是博弈理論的基石博弈理論的基石! 它為博弈理它為博弈理論提供了分析框架論提供了分析框架. . 它的思想是它的思想是: :設(shè)想在博弈論預(yù)測的設(shè)想在博弈論預(yù)測的博弈結(jié)果中博弈結(jié)果中, ,給每個參與給每個參與 者選定各自的戰(zhàn)略者選定各自的戰(zhàn)略, 為使該預(yù)測是正確的，必須使為使該預(yù)測是正確的，必須使 參與者參與者自愿選擇自愿選擇理論給它推導(dǎo)出理論給它推導(dǎo)出的戰(zhàn)略的戰(zhàn)略. . 這這樣每一樣每一 個參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對個參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對其他其他參與者選擇參與者選擇 戰(zhàn)略的戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)最優(yōu)反應(yīng), 這種理論推測的結(jié)果可以這種理論推測的

16、結(jié)果可以叫做叫做 “戰(zhàn)略穩(wěn)定戰(zhàn)略穩(wěn)定”或或“自動實施自動實施”的的,因為沒有參與者愿意因為沒有參與者愿意 獨自離棄他所選定的戰(zhàn)略獨自離棄他所選定的戰(zhàn)略, , 這一狀態(tài)這一狀態(tài)稱做稱做納什均衡納什均衡 （Nash Equilibrium）. nnuuuSSSG,;,2121定義定義: :在在n 個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中中, ,如果戰(zhàn)略組合如果戰(zhàn)略組合 ),(21nsss滿足對每一個參滿足對每一個參 與與者者i , , 是是(至少不劣于至少不劣于)他針對其他他針對其他(n-1)個參與個參與 is者所者所選戰(zhàn)略選戰(zhàn)略 ),(111niissss的的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn) 略略，則稱戰(zhàn)

17、，則稱戰(zhàn)略組合略組合 ),(21nsss是該博弈的一個是該博弈的一個 納什均衡納什均衡(純戰(zhàn)純戰(zhàn)略略).).即：即：),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu對所有對所有 中的中的 都成立，都成立，isiS( NE )is亦即亦即 是以下是以下最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題 的解：的解：niiiiSssssssuii,max111關(guān)于納什均衡解求解方法的說明：關(guān)于納什均衡解求解方法的說明： 納什均衡納什均衡(純戰(zhàn)純戰(zhàn)略略) )的定義提供好了求解納什的定義提供好了求解納什均衡的思路：均衡的思路：niiiiSssssssuii,max1111. 假如最優(yōu)化問題假如最優(yōu)化問題 對每一

18、個參與者對每一個參與者i 都有都有最大值點最大值點 ,is, 2, 1ni則則 is為其他參與者選定戰(zhàn)略的函數(shù)，即為其他參與者選定戰(zhàn)略的函數(shù)，即 is),(1121niiissssss, 2, 1ni這樣就會得到這樣就會得到n 個等式或方程，個等式或方程，2. 解以上解以上n 個方程聯(lián)立的方程組，個方程聯(lián)立的方程組，3. 如果以上方程組有解如果以上方程組有解， 即得納什均衡解即得納什均衡解. 反之，反之，不是不是針對其他參與人戰(zhàn)略選針對其他參與人戰(zhàn)略選 不是博弈不是博弈 ),(21nsssSi中存在另外一個戰(zhàn)略中存在另外一個戰(zhàn)略 ),(111niissssis 使得使得 如果戰(zhàn)略組合如果戰(zhàn)略組

19、合G 的納什均衡，的納什均衡，就意味著就意味著至少存在一個參與人至少存在一個參與人 i， is參與人參與人 i 的戰(zhàn)略選擇的戰(zhàn)略選擇的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略, , 即在即在 擇擇 ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu 如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解 ),(21nsss不是納什均衡的解，不是納什均衡的解，離理論離理論的預(yù)測，的預(yù)測，則至少有一個參與者有動因偏則至少有一個參與者有動因偏 使得博弈進(jìn)行和理論預(yù)測不一致使得博弈進(jìn)行和理論預(yù)測不一致. 和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念：和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念： 如果如果參與者之間

20、要商定一個協(xié)議決定博弈如參與者之間要商定一個協(xié)議決定博弈如何何 進(jìn)行，進(jìn)行， 那么一個有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須是納那么一個有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須是納 議議. .什均衡的略組合，什均衡的略組合， 否則至少有一個參與者不遵守協(xié)否則至少有一個參與者不遵守協(xié) 看下面看下面幾個例子：幾個例子：例一例一 “ “囚徒困境囚徒困境” -1， -1 -9， 0 0， -9 -6， -6 囚徒囚徒2 沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 囚徒囚徒1 1沉默沉默招認(rèn)招認(rèn)對于囚徒對于囚徒1 1來講，如果囚徒來講，如果囚徒2 2選擇戰(zhàn)略選擇戰(zhàn)略“沉默沉默”, ,那么，囚徒那么，囚徒1選擇選擇“沉默沉默”的收益為的收益為-1,-1,

21、選擇選擇“招認(rèn)招認(rèn)” 的收益為的收益為0, 當(dāng)然當(dāng)然選擇選擇“招認(rèn)招認(rèn)”. .同理可得囚徒同理可得囚徒2的的戰(zhàn)戰(zhàn)略選擇也是略選擇也是“招認(rèn)招認(rèn)”.因此，此博弈的因此，此博弈的納什均衡納什均衡解解為為 (招認(rèn)，招認(rèn)招認(rèn)，招認(rèn)). 此時雙方的收益為此時雙方的收益為 (-6, -6), 很明顯很明顯(-1, -1) 的收益好于的收益好于(-6, -6). 但但納什均衡納什均衡 的結(jié)果是達(dá)不到的的結(jié)果是達(dá)不到的，此所謂的，此所謂的“囚徒困境囚徒困境”. . 這也正是博弈論的有趣之處這也正是博弈論的有趣之處, , 均衡均衡的結(jié)果的結(jié)果告訴我們一個很重要的結(jié)論告訴我們一個很重要的結(jié)論: : “囚徒困境囚徒

22、困境”納什納什 個體理性和集體理性的矛盾個體理性和集體理性的矛盾,每個個體都追求個體收益最優(yōu)每個個體都追求個體收益最優(yōu), 其結(jié)果可能是其結(jié)果可能是 都達(dá)不到最優(yōu)都達(dá)不到最優(yōu), ,相反相反, 集體利益可能也受到損害集體利益可能也受到損害.注注: :亞當(dāng)亞當(dāng). .斯密斯密: : 每個個體追求最優(yōu)每個個體追求最優(yōu), ,結(jié)果集體結(jié)果集體最優(yōu)最優(yōu). 影響影響.納什納什認(rèn)為亞當(dāng)認(rèn)為亞當(dāng). 斯密忽略了個體選擇時的相互斯密忽略了個體選擇時的相互 6 6 ，6 63 3 ，5 53 3 ，5 55 5 ，3 30 0 ，4 44 4 ，0 05 5 ，3 34 4 ，0 00 0 ，4 4 左左 中中 右右 上

23、上 中中 下下例例2 2對于參與者對于參與者1,1,如果參與者如果參與者2 2選擇左選擇左, ,則參與者則參與者1 1選擇選擇中中(4(43 30),0),此時參與者此時參與者1 1的收益為的收益為4,4,在在4下面劃下面劃 一橫線一橫線, 同理可以求出參與者同理可以求出參與者2 2選擇中選擇中、右時、右時, 1的的 選擇和收益選擇和收益. 對于參與者對于參與者2 2可用同樣的可用同樣的方法求解方法求解. 格格 子內(nèi)數(shù)字都劃線的對應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合子內(nèi)數(shù)字都劃線的對應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合(下，中下，中) 即為博弈的即為博弈的納什均衡解納什均衡解. 1 1， 2 2 0 , 0 0 ,02 2 ,

24、, 1 1 帕特帕特歌劇歌劇 拳擊拳擊克里斯克里斯歌劇歌劇 拳擊拳擊例例3性別戰(zhàn)博弈性別戰(zhàn)博弈易知此博弈有易知此博弈有兩個兩個納什均衡納什均衡, ,( (歌劇歌劇, , 歌劇歌劇); ); （拳擊（拳擊, 拳擊拳擊)結(jié)果到底是那一個呢結(jié)果到底是那一個呢? ? 不得而知不得而知. .此此 為為納什均衡解的納什均衡解的多重性，是納什多重性，是納什均衡的缺陷之一均衡的缺陷之一, , 也是博弈論的一大難題也是博弈論的一大難題.此博弈無納什均衡此博弈無納什均衡（純戰(zhàn)略）（純戰(zhàn)略）. .例例4 猜硬幣博弈猜硬幣博弈 -1 -1 ， 1 1 1 1 ，-1-11 1 ， -1-1 -1 -1 ，1 1 參與

25、人參與人2 2正面正面 反面反面參與人參與人1 1正面正面 反面反面例例5 博弈雙方博弈雙方1和和2就如何分就如何分100元錢進(jìn)行討價元錢進(jìn)行討價 還價還價. . 假設(shè)確定了以下規(guī)則：假設(shè)確定了以下規(guī)則：雙方同時提出自己的要求的數(shù)額雙方同時提出自己的要求的數(shù)額 和和 1s,2s,100,021ss如果如果 , 則博弈雙方的則博弈雙方的 10021 ss要求都能得到滿要求都能得到滿足足, 即分別得到即分別得到 和和 但如果但如果 1s,2s則該則該筆錢就被沒收筆錢就被沒收. 求該博弈的求該博弈的納什納什 ,10021ss為什么？為什么？ 均衡均衡, ,若你是其中一個博弈方若你是其中一個博弈方,

26、你會選擇什么數(shù)額你會選擇什么數(shù)額, 解解 根據(jù)題意，參與者根據(jù)題意，參與者1, 2 要求的份額分別為要求的份額分別為 ,21ss因此，參與者因此，參與者1, 2 的戰(zhàn)略空間都為的戰(zhàn)略空間都為 .1, 021 SS參與者參與者1的收益函數(shù)為的收益函數(shù)為 212111101sssssu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)因此因此, ,參與者參與者1的的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是是 ,121ss由對由對 稱性稱性2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為 ,112ss雙方的反應(yīng)函雙方的反應(yīng)函 方程方程 121 ss有無數(shù)解，有無數(shù)解， 所以該博所以該博 數(shù)完全相同，數(shù)完全相同，弈有弈有無數(shù)個純戰(zhàn)略納什均衡無數(shù)個純戰(zhàn)略納什均衡 ),(2

27、1ss21,ss其中其中121 ss解解. . 為方程為方程 另外，當(dāng)參與者另外，當(dāng)參與者1均衡解是均衡解是 11s. 1,021ss時，時，參與者參與者2 的一個的一個均衡解為均衡解為1，但是，依照題意，當(dāng)?shù)?，依照題意，當(dāng) 121ss時，時，, 02u依照納什均衡解的定義，依照納什均衡解的定義， 此時參與者此時參與者也是也是納什均衡解納什均衡解. 參與者參與者2 的收益的收益 所以，當(dāng)參與者所以，當(dāng)參與者1均衡均衡 11s時，時，2 戰(zhàn)略戰(zhàn)略 于是，于是，121 ss),(21ss, 1,021ss以及以及 ),1, 1 (解是解是 該博弈的該博弈的所有所有的所有解的所有解 如果我是其中的

28、一個參與者如果我是其中的一個參與者, ,我會選擇得到我會選擇得到50 . 因為因為在該博弈的無窮個納什均衡中在該博弈的無窮個納什均衡中, ,(50, 50)是比較是比較 稱為稱為“聚點聚點”均衡均衡. .公平容易被雙方接受的公平容易被雙方接受的.11s納什均衡解為納什均衡解為滿足方程滿足方程 例例6 考慮一個有考慮一個有 N 個人參加的游戲個人參加的游戲: :每個人可每個人可以放最多以放最多100元錢到一部可以生錢的機(jī)器里元錢到一部可以生錢的機(jī)器里, 機(jī)器機(jī)器 把所有把所有人放進(jìn)去的錢的總和增加到原來的人放進(jìn)去的錢的總和增加到原來的3倍，然倍，然 后再平均分后再平均分給這給這N 個人個人. 求

29、此博弈的納什求此博弈的納什均衡均衡. 解解: :容易得出當(dāng)容易得出當(dāng)N =1, 2 時時, ,此博弈有唯一的此博弈有唯一的納什納什 均衡均衡. 雙方都放進(jìn)雙方都放進(jìn)100元錢元錢, 即即(100, 100)為納什均衡為納什均衡. .3 , 2 , 1.)(33ipnmpnmui當(dāng)當(dāng)N =3時的情況如何時的情況如何? ? 參與者參與者i 的收益函數(shù)為的收益函數(shù)為其中其中m, n, p分別為三個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，分別為三個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)， m為參與者為參與者i 放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n, p分別為其他分別為其他 兩個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，兩個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，

30、由由 可以看出可以看出, , i 的最優(yōu)選擇是的最優(yōu)選擇是: :iu.1000 m中的任意中的任意一個數(shù)一個數(shù). .同理可分析另外兩個參與者的同理可分析另外兩個參與者的 選擇選擇. 當(dāng)當(dāng)N=4時情況如何時情況如何? ? 因此因此博弈有無數(shù)個納什均衡博弈有無數(shù)個納什均衡.mQpnmui)(43i參與者參與者 的收益函數(shù)為的收益函數(shù)為:.41)(43mQpn其中其中m, n, p, Q 分別為四個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢分別為四個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢 數(shù)，數(shù)，m為參與者為參與者i 放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n, p, Q 分別分別 其他三個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)其他三個參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)

31、. 由于由于,041m所以參與者所以參與者i 的最優(yōu)選擇是的最優(yōu)選擇是: 所以任何一個參與者都不放錢到機(jī)器里所以任何一個參與者都不放錢到機(jī)器里. .此時此時博弈博弈).0, 0, 0, 0(m =0.有有唯一的納什均衡唯一的納什均衡: : 例例7 “智豬博弈智豬博弈” 豬圈里有兩頭豬豬圈里有兩頭豬. 一頭大豬，一頭小豬，豬圈一頭有一頭大豬，一頭小豬，豬圈一頭有一個豬食槽，另一頭安裝一個按鈕控制著豬食的供應(yīng)一個豬食槽，另一頭安裝一個按鈕控制著豬食的供應(yīng). 按按一下按鈕會有一下按鈕會有10個單位的豬食進(jìn)槽，但誰按按鈕誰需要付個單位的豬食進(jìn)槽，但誰按按鈕誰需要付出出2個單位的的成本個單位的的成本.

32、若大豬先到，大豬吃到若大豬先到，大豬吃到9個單位，小個單位，小豬只能吃到豬只能吃到1個單位；若同時到，大豬吃個單位；若同時到，大豬吃7個單位個單位,小豬吃小豬吃3個單位；若小豬先到，大豬吃個單位；若小豬先到，大豬吃6個單位，小豬吃個單位，小豬吃4個單位個單位. 求此博弈的納什均衡求此博弈的納什均衡. 解解 5，14，49，-10，0 小豬小豬 按按 等待等待大豬大豬按按等待等待此博弈的收益矩陣：此博弈的收益矩陣：容易求出此博弈的納什均衡為容易求出此博弈的納什均衡為:（按，等待按，等待）. 此此 納什均衡顯然是不合理的納什均衡顯然是不合理的. 例如：股份公司中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的例如：股份公司

33、中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的 職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從 現(xiàn)實中類似的現(xiàn)象現(xiàn)實中類似的現(xiàn)象. 監(jiān)督中得到的收益并不一樣，因監(jiān)督經(jīng)理是要有監(jiān)督中得到的收益并不一樣，因監(jiān)督經(jīng)理是要有 成本的成本的. 在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督 中得到的收益顯然小于小股東中得到的收益顯然小于小股東. 大股東類似于大股東類似于“大大 豬豬”，小股東類似于，小股東類似于“小豬小豬”. 納什均衡是納什均衡是，大股東擔(dān)當(dāng)起監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任，大股東擔(dān)當(dāng)起監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任， 小股東則小股東則搭大股東的便車搭大股東的便車. 股票市場上

34、炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場股票市場上炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場 上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此. 命題命題1 在在n個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈nnuuSSG,;,11中中, ,如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除 ),(21nsss外的所有戰(zhàn)略，那么這一戰(zhàn)略組外的所有戰(zhàn)略，那么這一戰(zhàn)略組合為該博弈的合為該博弈的唯一唯一 納什均衡納什均衡. 兩個重要的命題：兩個重要的命題：命題命題2 在在n個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈個參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，中，如果戰(zhàn)略組合如果戰(zhàn)略組合 ),(21nsss那么它那么它一定不會一定不會被重復(fù)剔除嚴(yán)

35、格劣戰(zhàn)略所剔除被重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略所剔除. nnuuSSG,;,11是一個納什均衡，是一個納什均衡，證明：證明： 首證命題首證命題2 假設(shè)戰(zhàn)略組合假設(shè)戰(zhàn)略組合 (反證法反證法). 是標(biāo)準(zhǔn)式博弈是標(biāo)準(zhǔn)式博弈 nnuuSSG,;,11),(21nsss的一個納什均衡的一個納什均衡, 且假設(shè)且假設(shè)被剔除掉了，被剔除掉了，),(21nsss該戰(zhàn)略組合中一定有該戰(zhàn)略組合中一定有 由重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略過程，由重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略過程，一個戰(zhàn)略一個戰(zhàn)略 首先首先被剔除，被剔除， 不妨假設(shè)第不妨假設(shè)第i個戰(zhàn)略個戰(zhàn)略is首先首先被被 剔除，剔除， 則在第則在第i個參與者的戰(zhàn)略空間個參與者的戰(zhàn)略空間 iS中一定存在

36、中一定存在 另一個尚未被剔除的戰(zhàn)略另一個尚未被剔除的戰(zhàn)略 is嚴(yán)格優(yōu)于嚴(yán)格優(yōu)于 . . is代如代如(DS) 公式，得到公式，得到 （111）),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu對每一個其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可能對每一個其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可能 形成的戰(zhàn)略組合形成的戰(zhàn)略組合 ),(111niissss都成立都成立.是納什均衡是納什均衡戰(zhàn)略戰(zhàn)略 is由于由于中中第一個被剔除第一個被剔除的戰(zhàn)的戰(zhàn) ),(21nsss略，略，以上納什均衡戰(zhàn)略組合以上納什均衡戰(zhàn)略組合中中其它參與人其它參與人的戰(zhàn)略尚的戰(zhàn)略尚 未被剔除，未被剔除， 于是上面不等式的于是

37、上面不等式的特例特例，下式成立，下式成立. 但是但是（112）和公式和公式（NE）顯然顯然是矛盾的是矛盾的. . ),(111niiiisssssu（112）),(111niiiisssssu根據(jù)根據(jù)(NE), 必須是針對必須是針對 的最優(yōu)的最優(yōu) is),(111niissss反應(yīng)反應(yīng), ,這一矛盾證明了原命題成立這一矛盾證明了原命題成立. .isis 那么就那么就不可能不可能存在一個戰(zhàn)略存在一個戰(zhàn)略 嚴(yán)格優(yōu)于嚴(yán)格優(yōu)于 下證命題下證命題1,1,在證命題在證命題2的過程中的過程中,實際上已證明實際上已證明了了1 1的一部分的一部分. .所需證明的只是如果重復(fù)剔除嚴(yán)格所需證明的只是如果重復(fù)剔除嚴(yán)格

38、劣戰(zhàn)略剔除了除劣戰(zhàn)略剔除了除 之外的所有戰(zhàn)略，之外的所有戰(zhàn)略，),(21nsss該戰(zhàn)略組合是納什均衡該戰(zhàn)略組合是納什均衡. 由命題由命題2任何其它納什均衡任何其它納什均衡 必定同樣未被剔除，這已證明了在該博弈中必定同樣未被剔除，這已證明了在該博弈中均衡均衡 的唯一性的唯一性. 下面只需證明余下的戰(zhàn)略組合是下面只需證明余下的戰(zhàn)略組合是納什均納什均 衡即可衡即可. 為簡單為簡單假設(shè)博弈假設(shè)博弈G 是是有限博弈有限博弈. . 用反證法用反證法 假設(shè)通過重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除假設(shè)通過重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除 ),(21nsss外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略不是納什均外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略不是納什均 衡，那么

39、一定有某一參與者衡，那么一定有某一參與者i , ,在他的戰(zhàn)略集在他的戰(zhàn)略集中存中存 is在在 使公式使公式（NE）不成立，但同時不成立，但同時 又必須是在又必須是在 is剔除過程中某一階段的嚴(yán)格剔除過程中某一階段的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略劣戰(zhàn)略. 上述兩點的正規(guī)表述為：上述兩點的正規(guī)表述為：iSis中存在中存在 使得使得 （113）),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu并且在參與者并且在參與者i 的戰(zhàn)略集中存在的戰(zhàn)略集中存在 , ,在剔除過程中在剔除過程中is的某一階段有的某一階段有 ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu（114）對所有其他參與者

40、在該階段剩余戰(zhàn)略可能的戰(zhàn)略對所有其他參與者在該階段剩余戰(zhàn)略可能的戰(zhàn)略 組合組合 ),(11niissss由于其他參與由于其他參與 都成立都成立.),(11niissss始終未被剔除，于始終未被剔除，于 是是下式下式作為作為(114)的一個特例成立的一個特例成立: ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu（1.1.5）如果如果 ,iissisis(即即 是是 的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略), 則則(115)和和(113)相互矛盾相互矛盾，此時證明結(jié)束，此時證明結(jié)束. . 如果如果,iissis由于由于 在最終被剔除掉了，則在最終被剔除掉了，則 者的戰(zhàn)略者的戰(zhàn)略一定有其

41、他戰(zhàn)略一定有其他戰(zhàn)略 在其后在其后嚴(yán)格優(yōu)于嚴(yán)格優(yōu)于 . .is is等式等式（114）和和(115)中，分別用中，分別用 isis 這樣在不這樣在不 和和后不等式仍然成立后不等式仍然成立. . isis換下?lián)Q下和和明結(jié)束，明結(jié)束，, iiss再一次，如果再一次，如果則證則證 否則還可構(gòu)建兩個相似的不等式否則還可構(gòu)建兩個相似的不等式. 是是Si中唯一未被剔除的戰(zhàn)略，中唯一未被剔除的戰(zhàn)略，is由于由于重復(fù)這一論證過程重復(fù)這一論證過程 （在一個有限的博弈中在一個有限的博弈中）最終一定能完成證明）最終一定能完成證明. 奧古斯汀奧古斯汀古諾古諾(Augustin Cournot)是是19世紀(jì)世紀(jì)著名的法

42、國經(jīng)濟(jì)學(xué)著名的法國經(jīng)濟(jì)學(xué). .法國經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)以數(shù)理方法法國經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)以數(shù)理方法對經(jīng)濟(jì)事實進(jìn)行抽象，這與傳統(tǒng)的英國學(xué)派重對經(jīng)濟(jì)事實進(jìn)行抽象，這與傳統(tǒng)的英國學(xué)派重視經(jīng)驗事實視經(jīng)驗事實, ,主張從事實中進(jìn)行歸納的經(jīng)驗論風(fēng)主張從事實中進(jìn)行歸納的經(jīng)驗論風(fēng)格迥然不同的格迥然不同的. .古諾可以說是法果經(jīng)濟(jì)學(xué)派的開古諾可以說是法果經(jīng)濟(jì)學(xué)派的開山鼻祖山鼻祖. .他在他在1838年發(fā)表的年發(fā)表的對財富理論的數(shù)學(xué)對財富理論的數(shù)學(xué)原理的研究原理的研究 (Researches into theMatheMatical Principles of the Theory of wealth), 給出了兩個給出了兩個企業(yè)的

43、博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具企業(yè)的博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具生命力生命力.（平新橋（平新橋微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)18講講167頁）頁）古諾均衡古諾均衡12 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 古諾古諾(1838)提出了納什所定義的均衡提出了納什所定義的均衡( (但只但只是是在特定的雙頭壟斷模型中在特定的雙頭壟斷模型中)，但是他并沒有從理，但是他并沒有從理論上系統(tǒng)的定義均衡的意義論上系統(tǒng)的定義均衡的意義. 古諾的研究被為是古諾的研究被為是最早的博弈論的經(jīng)典文獻(xiàn)之一最早的博弈論的經(jīng)典文獻(xiàn)之一.此模型告訴我們；此模型告訴我們； （1）如何對如何對一個問題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一一個問題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一 個

44、個博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述；博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述；（2）如何通過計算解出博弈的納什均衡；如何通過計算解出博弈的納什均衡； （3）重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的步驟重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的步驟. . 古諾的雙頭壟斷模型古諾的雙頭壟斷模型. 令令 和和 分別表示企業(yè)分別表示企業(yè)1, 2生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn)品生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn)品 1q2q的產(chǎn)的產(chǎn)量，市場中該產(chǎn)品的總供給為量，市場中該產(chǎn)品的總供給為 21qqQQaQP)(令令 表示市場的出清時的價格表示市場的出清時的價格. . 更為精確更為精確一點的表述為當(dāng)一點的表述為當(dāng) 時時, ,aQ QaQP)(當(dāng)當(dāng) 時，時，aQ , 0)(QP為為 , , iiicqqC)(產(chǎn)每單位品的邊際成本

45、為常數(shù)產(chǎn)每單位品的邊際成本為常數(shù)c，這里假設(shè)，這里假設(shè) . ac 設(shè)企業(yè)設(shè)企業(yè)i 生產(chǎn)生產(chǎn)qi 的總成本的總成本即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)根據(jù)古諾的假定，兩個企業(yè)同時進(jìn)行產(chǎn)量決根據(jù)古諾的假定，兩個企業(yè)同時進(jìn)行產(chǎn)量決 策策. 下面將此問題化為標(biāo)準(zhǔn)式博弈：下面將此問題化為標(biāo)準(zhǔn)式博弈：三個要素三個要素 （1）參與人（企業(yè)參與人（企業(yè)1 1和企業(yè)和企業(yè)2）；）；（2）參與人可以選擇的戰(zhàn)略參與人可以選擇的戰(zhàn)略,0iiqS（3）針對每一個可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組針對每一個可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組 合，合，每一個參與人的收益每一個參與人的收益. 企業(yè)企業(yè) 的收益是自己所選戰(zhàn)略與

46、其它企業(yè)所的收益是自己所選戰(zhàn)略與其它企業(yè)所 i選戰(zhàn)略選戰(zhàn)略的函數(shù)的函數(shù), ,假定企業(yè)假定企業(yè) 的收益就是其利潤為的收益就是其利潤為 i,)(),(),(cqqaqqqssujiijiijii).1, 2(2, 1jiji一對戰(zhàn)略一對戰(zhàn)略 如是納什均衡如是納什均衡, ,則對每個參則對每個參與與 ),(21ss者者 ， 應(yīng)滿足應(yīng)滿足: :iis),(),(jiijiissussu（NE）),(maxjiiSsssuii),(max0jiqqqi上式對上式對 中每一個可選戰(zhàn)略中每一個可選戰(zhàn)略 都成立，這一條件都成立，這一條件 iSis等價于等價于: : 對每個參與者對每個參與者 , , 必須是下面最

47、優(yōu)化問必須是下面最優(yōu)化問 iis題的解題的解,)(max0cqqaqjiiqi最優(yōu)化問題的一階條件是對收益函數(shù)關(guān)于最優(yōu)化問題的一階條件是對收益函數(shù)關(guān)于 求求iiq導(dǎo)，并令其等于零，其解為導(dǎo)，并令其等于零，其解為 )(21cqaqji（121）那么那么, ,如果產(chǎn)量組合如果產(chǎn)量組合 要成為納什均衡，要成為納什均衡， ),(21qq企業(yè)企業(yè)產(chǎn)量選擇必須滿足：產(chǎn)量選擇必須滿足：),(2121cqaq)(2112cqaq解這一對方程組得解這一對方程組得 321caqq均衡解小于均衡解小于 , , 滿足上面的假設(shè)滿足上面的假設(shè). . 且兩個企業(yè)且兩個企業(yè) ca 的利潤為的利潤為 9221)(ca 另外，

48、每家企業(yè)當(dāng)然另外，每家企業(yè)當(dāng)然都希望成為市場的壟斷者都希望成為市場的壟斷者. .于于 是雙方是雙方有可能有可能結(jié)成聯(lián)盟！結(jié)成聯(lián)盟！事實上，該博弈的納什均衡事實上，該博弈的納什均衡未必立刻未必立刻形成！形成！那么，雙方的聯(lián)盟那么，雙方的聯(lián)盟(雙頭壟斷雙頭壟斷)能否結(jié)成呢？能否結(jié)成呢？ 設(shè)想設(shè)想兩者達(dá)成共同利潤最大化和平分市場的兩者達(dá)成共同利潤最大化和平分市場的)(QcaQ協(xié)協(xié)議議. . 容易求出容易求出利潤最大化時利潤最大化時的產(chǎn)量為：的產(chǎn)量為：設(shè)設(shè)Q 為兩者的產(chǎn)量和為兩者的產(chǎn)量和. 總利潤為總利潤為 2)(caQ此時兩個企業(yè)的此時兩個企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量最優(yōu)產(chǎn)量都為：都為：.21 qqm此時兩個企業(yè)

49、的利潤都為：此時兩個企業(yè)的利潤都為：8)(221ca,4)(21caqq已經(jīng)求出古諾模型時利潤為已經(jīng)求出古諾模型時利潤為 9)(221ca顯然，壟斷狀態(tài)時的顯然，壟斷狀態(tài)時的產(chǎn)量產(chǎn)量低于低于古諾模型時的古諾模型時的產(chǎn)量，產(chǎn)量，而而利潤利潤高于高于古諾模型時的利潤古諾模型時的利潤.但這種安排存在一個問題，但這種安排存在一個問題，有動機(jī)偏離它有動機(jī)偏離它, ,就是每家企業(yè)都就是每家企業(yè)都 因為壟斷產(chǎn)量較低因為壟斷產(chǎn)量較低, 相應(yīng)的產(chǎn)品相應(yīng)的產(chǎn)品 的市場出清價格的市場出清價格)(mqp就比較高就比較高. 在這一價格下在這一價格下, 的增加會降低市場出清價格的增加會降低市場出清價格. .每家企業(yè)都會傾

50、向于提高產(chǎn)量，每家企業(yè)都會傾向于提高產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量而不顧這種產(chǎn)量也就是說，也就是說，這種結(jié)這種結(jié) 盟不能形成！盟不能形成！前提是：前提是：雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品.因為雙方聯(lián)盟因為雙方聯(lián)盟(雙頭壟斷雙頭壟斷)能結(jié)成的能結(jié)成的雙方是否都會按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品呢？或雙方是否都會按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品呢？或者說雙方是否都會遵守協(xié)議呢？者說雙方是否都會遵守協(xié)議呢？下面分析兩者是下面分析兩者是否會遵守協(xié)議決策否會遵守協(xié)議決策, , 兩者有兩種兩者有兩種戰(zhàn)略選擇：戰(zhàn)略選擇：遵守協(xié)議遵守協(xié)議和和不遵守協(xié)議不遵守協(xié)議. . 此時，此時，雙方又要進(jìn)雙方又要進(jìn)行博弈行博弈. . 若

51、企業(yè)若企業(yè)1遵守協(xié)議遵守協(xié)議, 選擇產(chǎn)量選擇產(chǎn)量 ,4)(ca2不遵守協(xié)議不遵守協(xié)議.而企業(yè)而企業(yè) 根據(jù)利潤最大化的一階條件：根據(jù)利潤最大化的一階條件：02)4)(222qcacaq企業(yè)企業(yè)2的產(chǎn)量選擇為的產(chǎn)量選擇為 ,8)(3ca則企業(yè)則企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2 的的利潤分別為利潤分別為 和和 ; ;同理同理 32)(32ca 6492)(ca 可得企可得企業(yè)業(yè)2遵守協(xié)議而企業(yè)遵守協(xié)議而企業(yè)1不遵守協(xié)議時的利潤不遵守協(xié)議時的利潤于是可建立下列博弈模型：于是可建立下列博弈模型：博弈模型：博弈模型：遵守遵守 不遵守不遵守遵守遵守不遵守不遵守8)(,8)(22caca32)(3,64)(922caca

52、9)(,9)(22caca64)(9,32)(322caca容易求出此博弈的納什均衡為：容易求出此博弈的納什均衡為： (不遵守不遵守, 不遵守不遵守). 協(xié)議無效協(xié)議無效.下面介紹推廣的古諾模型下面介紹推廣的古諾模型. . 將古諾模型推廣到將古諾模型推廣到n個企業(yè)的情形個企業(yè)的情形. . 存在存在n個企業(yè)條件下的古諾均衡個企業(yè)條件下的古諾均衡. .如果一個行業(yè)中存在如果一個行業(yè)中存在n個相同的企業(yè)，并且個相同的企業(yè)，并且 第第(n+1)個個企業(yè)會被行業(yè)有效地排斥在外，每一企業(yè)會被行業(yè)有效地排斥在外，每一 個現(xiàn)存企業(yè)的成本個現(xiàn)存企業(yè)的成本函數(shù)相同，即成本為函數(shù)相同，即成本為 )0( ),2, 1

53、()(cnjqcqCjj(1)設(shè)市場需求（函數(shù)）為設(shè)市場需求（函數(shù)）為 0,0)(1baqbapnjj(2)當(dāng)然當(dāng)然 （否則會有問題，后面可以看到）由（否則會有問題，后面可以看到）由ca (1)與與(2)兩式易知企業(yè)兩式易知企業(yè)j 的利潤為的利潤為 所謂所謂古諾均衡古諾均衡, ,便是存在一個產(chǎn)量便是存在一個產(chǎn)量 ),(21nqqq使得每個企業(yè)的利潤都達(dá)使得每個企業(yè)的利潤都達(dá)到最優(yōu)到最優(yōu).jjnjjnjqcqqbaqqq)(),(121（3）)(kjqj必須使必須使(3)式最式最 即當(dāng)所有別的即當(dāng)所有別的 kkqq企業(yè)的產(chǎn)量企業(yè)的產(chǎn)量 時，時，), 2 , 1( , 0njqjj于是有于是有02

54、1cqbbqanjkkj(4)即即., 2, 11njqbcabqnkkj(5)大化大化. 于是令于是令 將這將這n 個式子相加得個式子相加得) 1()(1nbcanqnjjnjjnjjqnbcanqb11)(行業(yè)的總產(chǎn)量為行業(yè)的總產(chǎn)量為注意到注意到(5)式在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量相等，于是式在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量相等，于是在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量為在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量為 ,) 1(bncaqj價格為價格為 ,) 1()(anbcanap每個企業(yè)的利潤每個企業(yè)的利潤 為為 j) 1()() 1()(nbcacncanajjqcp.) 1()(22nbca注意注意: :古諾均衡時古諾均衡時價格和邊

55、際成本的差為價格和邊際成本的差為：. 0limjn于是于是每個企業(yè)的利潤每個企業(yè)的利潤為零為零.也就是說，當(dāng)企業(yè)個數(shù)很大時也就是說，當(dāng)企業(yè)個數(shù)很大時, 01) 1()(ncancancacp所以所以. 0)(limcpn說明當(dāng)企業(yè)個數(shù)無窮多時，即價格會接近說明當(dāng)企業(yè)個數(shù)無窮多時，即價格會接近邊際邊際 成本，成本，也即，當(dāng)企業(yè)個數(shù)無窮多時也即，當(dāng)企業(yè)個數(shù)無窮多時, , 市場結(jié)構(gòu)會市場結(jié)構(gòu)會 趨于趨于完全競爭完全競爭. .12B 貝特蘭德的雙頭壟斷模型貝特蘭德的雙頭壟斷模型 貝特蘭德貝特蘭德(1883)提出企業(yè)在競爭時選擇提出企業(yè)在競爭時選擇的是的是產(chǎn)品價格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量產(chǎn)品價格，而古諾模

56、型中選擇產(chǎn)量. 貝特蘭德的貝特蘭德的雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個不同的模雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個不同的模型型. 體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)不同，并且兩個模型中企業(yè)的行為不同不同，并且兩個模型中企業(yè)的行為不同.考慮兩種考慮兩種同類但不同質(zhì)同類但不同質(zhì)的產(chǎn)品（古諾模型中的產(chǎn)品（古諾模型中兩個企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）兩個企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）. . 如果企業(yè)如果企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2 分別選擇價格分別選擇價格p1和和p2, 消費者對企業(yè)消費者對企業(yè)i 的產(chǎn)品的需的產(chǎn)品的需 求為求為 ,),(jijiibppappq其中其中 , 0b即只限于即

57、只限于 求函數(shù)在現(xiàn)實中并不存在，因為只要企業(yè)求函數(shù)在現(xiàn)實中并不存在，因為只要企業(yè)j的產(chǎn)品的產(chǎn)品企業(yè)企業(yè)i的產(chǎn)品為企業(yè)的產(chǎn)品為企業(yè)j產(chǎn)品的替代品的情況產(chǎn)品的替代品的情況(這個需這個需 品的需求都是正的品的需求都是正的). 下面將會看到只有在下面將會看到只有在 價格足夠高，無論企業(yè)價格足夠高，無論企業(yè)i 要多高的價格，對其產(chǎn)要多高的價格，對其產(chǎn) 時問題才有意義時問題才有意義). 2b假定企業(yè)生產(chǎn)沒假定企業(yè)生產(chǎn)沒有固定成本，有固定成本， 行動（選擇各自行動（選擇各自的價格）的價格）. ac 并且邊際成本為常數(shù)并且邊際成本為常數(shù)c，兩個企業(yè)是同時兩個企業(yè)是同時 每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間 ,

58、 0 iS為為其中企業(yè)其中企業(yè)i 的一個典型的一個典型戰(zhàn)略戰(zhàn)略si 是所選是所選 擇的價格擇的價格pi . 每個企業(yè)每個企業(yè)的收益函數(shù)等于其利潤額，的收益函數(shù)等于其利潤額，當(dāng)企業(yè)當(dāng)企業(yè) i 選擇價格選擇價格pi 時，其競爭對手選擇價格時，其競爭對手選擇價格pj 時，企業(yè)時，企業(yè)i 的利潤為：的利潤為：)(,(),(cpppqppijiijii那么，價格組合那么，價格組合 ),(jipp業(yè)業(yè)i ， ip)(cpbppaiji若是納什均衡，對每個企若是納什均衡，對每個企 應(yīng)是以下最優(yōu)化問題的解：應(yīng)是以下最優(yōu)化問題的解：),(max0jiipppi)()(max0cpbppaijipi對企業(yè)對企業(yè)i 求此最優(yōu)化問題的解是：求此最優(yōu)化問題