1、摘要：機器人是由桿件和連接它的關節(jié)(運動副)構成。桿件是指兩個關節(jié)之間的連桿,桿件一般有串聯(lián)桿件和并聯(lián)桿件兩類。構成手臂的桿件和關節(jié)是串聯(lián)連接的,稱為串聯(lián)桿件機器人或開式鏈機器人;而并聯(lián)連接的,則稱為并聯(lián)桿件機器人或閉式鏈機器人。關鍵字：串并聯(lián)機器人特點、坐標系、運動學、逆解、正解0. 引言研究機器人正逆運動學，當已知所有的關節(jié)變量時，可用正運動學來確定機器人末端手的位姿。如果要使機器人末端手放在特定的點上并且具有特定的姿態(tài)，可用逆運動學來計算出每一關節(jié)變量的值。首先利用矩陣建立物體、位置、姿態(tài)以及運動的表示方法，然后研究直角坐標型、圓柱坐標型以及球坐標型等不同構型機器人的正逆運動學，最后利用

2、Denavit-Hartenberg(D-H)表示法來推導機器人所有可能構型的正逆運動學方程。1. 串并聯(lián)機器人特點1.1串聯(lián)機器人：在機器人發(fā)展初期，絕大部分的機器人都是以串聯(lián)式機構作為載具，將線性軸與旋轉軸組合而成，串聯(lián)式機構是一個開放的運動鏈，其所有的運動桿件并沒有形成一個封閉的結構鏈，因此機構各軸必須獨立控制，并且需搭配編碼器與傳感器用來提高機構運動時的精準度，串聯(lián)式機構優(yōu)點包括：1.工作空間大、2.運動分析較容易、3.可避免驅動軸之間的耦合（coupling）效應。簡單點說,串聯(lián)機器人就像人的一個手拿東西,而并聯(lián)機器人就相當于兩個手一起端東西.串聯(lián)機器人研究得較為成熟,具有結構簡單,

3、成本低,控制簡單,運動空間大等優(yōu)點,已成功應用于很多領域,如各種機床,裝配車間等.1.2 并聯(lián)機器人：并聯(lián)機器人的研究與串聯(lián)機器人相比起步較晚,還有很多理論問題沒有解決.但由于并聯(lián)機器人具有剛度大,承載能力強,精度高,末端件慣性小等優(yōu)點,在高速,大承載能力的場合,與串聯(lián)機器人相比具有明顯優(yōu)勢.已有很多成功應用的案例.比如運動模擬器,delta機器人等.并聯(lián)式機構運動桿件為一個封閉形式的結構鏈，其優(yōu)缺點如下：1. 不易有動態(tài)誤差，精度較高。2. 運動慣性小。3. 輸出軸大部份承受軸向應力，機器剛性高，結構穩(wěn)定。4. 為熱對稱性結構設計，熱變形量較小。5. 在位置求解上，串聯(lián)機構正解容易，反解困難

4、，而并聯(lián)機構正解困難，反解容易。6. 工作空間較小。 并聯(lián)式機構的優(yōu)點可改善串聯(lián)式機構傳統(tǒng)機器人很難突破的限制，例如：機架及運動軸重量太大導致結構彎曲變形，并聯(lián)機構可避免串聯(lián)機構所造成的驅動軸累積誤差，同時幾何誤差能有平均化效果，因此易達成高精密度。并聯(lián)式機構因結構穩(wěn)定、精度高等優(yōu)點，有很大的潛力可以克服前述困難，提供下一代機器人所需的運動機構。根據(jù)這些特點，并聯(lián)機器人在需要高剛度、高精度或者大載荷而無須很大工作空間的領域內得到了廣泛應用。并聯(lián)機構是一種閉環(huán)機構,其動平臺或稱末端執(zhí)行器通過至少2個獨立的運動鏈與機架相聯(lián)接,必備的要素如下：末端執(zhí)行器必須具有運動自由度;這種末端執(zhí)行器通過幾個相互

5、關聯(lián)的運動鏈或分支與機架相聯(lián)接;每個分支或運動鏈由惟一的移動副或轉動副驅動。2. 坐標系2.3 機器人運動學的矩陣表示 2.3.1 空間點的表示空間點P（如圖2.1所示）可以用它的相對于參考坐標系的三個坐標來表示： (2.1)其中， 是參考坐標系中表示該點的坐標。圖2.1 空間點的表示2.3.2 空間向量的表示 向量可以由三個起始和終止的坐標來表示。如果一個向量起始于點A，終止于點B，那么它可以表示為。特殊情況下，如果一個向量起始于原點（如圖2.2所示），則有： （2.2）其中是該向量在參考坐標系中的三個分量。圖2.2 空間向量的表示 向量的三個分量也可寫成矩陣形式，如式（2.3）所示。 （2

6、.3） 這種表示法也可稍做變化：加入一個比例因子w,如果x, y, z各除以w,則得到。這時向量可以寫為： ，其中等等 （2.4） 變量w可為任意數(shù)，而且隨著它的變化，向量大小也發(fā)生變化，這與在計算機圖形學中縮放一張圖片類似。隨著w值改變，向量大小也相應地變化。如果w大于1，向量的所有分量都變大；如果w小于1，向量的所有分量都變小。這種方法也用于計算機圖形學中改變圖形與畫片的大小。2.3.3 坐標系在固定參考坐標系原點的表示 一個中心位于參考坐標系原點坐標系由三個向量表示，通常三個向量相互垂直，稱為單位向量，分別表示法線、指向和接近向量（如圖2.3所示）。每個單位向量都由它所在參考坐標系三個分

7、量表示。坐標系F可由三個向量以矩陣形式表示為： （2.5）圖2.3 坐標系在參考坐標系原點的表示2.3.4 坐標系在固定參考坐標系中的表示如果一個坐標系不再固定參考坐標系的原點，那么該坐標系的原點相對于參考坐標系的位置也必須表示出來。為此，在該坐標系原點與參考坐標系原點之間做一個向量來表示該坐標系的位置。這個向量由相對于參考坐標系的三個向量來表示。這樣，這個坐標系就可以由三個表示方向的單位向量以及第四個位置向量來表示。 （2.6）圖2.4 一個坐標系在另一個坐標系中的表示如式（2.6），前三個向量是w=0方向向量，表示該坐標系三個單位向量方向，而第四個w=1向量表示該坐標系原點相對于參考坐標系

8、位置。與單位向量不同，向量P長度十分重要，故比例因子為1。坐標系也可由一個沒有比例因子34矩陣表示。2.3.5 剛體的表示 空間坐標系可以用矩陣表示，其中坐標原點以及相對于參考坐標系的表示該坐標系姿態(tài)的三個向量也可以由該矩陣表示出來。于是有： （2.7）空間中一個點只有三個自由度，它只能沿三條參考坐標軸移動。但空間鋼體有六個自由度，它可沿著X,Y,Z三軸移動，且可繞這三個軸轉動。要定義空間以物體，需要用6條獨立信息來描述物體原點在參考坐標系中相對于三個參考坐標軸位置，及物體關于這三個坐標軸姿態(tài)。而式（2.7）給出12條信息， 9條為姿態(tài)信息，三條為位置信息。故表達式中必定存在一定約束條件將上述

9、信息數(shù)限制為6。故需用6個約束方程將12條信息減少到6條信息。這些約束條件來自于尚未利用的已知坐標系特性，即：三個向量相互垂直每個單位向量的長度必須為1圖2.5 空間物體的表示我們可以將其轉換為以下六個約束方程：（1） （2） （3） （4）（向量的長度必須為1） （2.8）（5）（6） 只有前述方程成立時，坐標系的值才能用矩陣表示。否則，坐標系將不正確。式（2.8）中前三個方程可換用如下三個向量叉積來代替： （2.9）2.4 齊次變換矩陣 為保證所表示矩陣為方陣，如在同一矩陣中既表示姿態(tài)又表示位置，那么可在矩陣中加入比例因子使之成為44矩陣。如只表示姿態(tài)，則可去掉比例因子得到33矩陣，或加入

10、第四列全為0的位置數(shù)據(jù)以保持矩陣為方陣。這種形式矩陣稱為齊次矩陣 （2.10） 2.5 變換的表示 變換定義為空間的一個運動。當空間的一個坐標系相對于固定參考坐標系運動時，這一運動可以用類似于表示坐標系的方式來表示。這是因為變換本身就是坐標系狀態(tài)的變化，因此變換可以用坐標系來表示。變換可為如下幾種形式中的一種： 純平移 繞一個軸的純旋轉 平移與旋轉的結合 為了解它們的表示方法，我們將逐一進行探討。2.5.1 純平移變換的表示 如果一坐標系在空間以不變姿態(tài)運動，那么該坐標就是純平移。在這種情況下，它的方向單位向量保持同一方向不變。所有改變只是坐標系原點相對于參考坐標系的變化，如圖2.7所示。相對

11、于固定參考坐標系的新坐標系的位置可以用原來坐標系的原點位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩陣形式，新坐標系的表示可通過坐標系左乘變換矩陣得到。由于在純平移中方向向量不改變，變換矩陣T可簡單地表示為： （2.11） 圖2.6 空間純平移變換的表示其中是純平移向量相對于參考坐標系軸三個分量。矩陣的前三列表示沒有旋轉運動（等同于單位陣），而最后一列表示平移運動。新的坐標系位置為： （2.12） 這個方程也可用符號寫為： （2.13） 2.5.2 繞軸純旋轉變換的表示假設坐標系（）位于參考坐標系（）的原點，坐標系（）繞參考坐標系的x軸旋轉一個角度，再假設旋轉坐標系（）上有一點P相對于參考坐標系的坐標

12、為，相對于運動坐標系的坐標為。當坐標系繞x軸旋轉時，坐標系上的點P也隨坐標系一起旋轉。在旋轉之前，P點在兩個坐標系中的坐標是相同的（這時兩個坐標系位置相同，并且相互平行）。旋轉后，該點坐標在旋轉坐標系（x ,y ,z）中保持不變，但在參考坐標系中卻改變了。現(xiàn)在要求找到運動坐標系旋轉后P相對于固定參考坐標系的新坐標。 由圖2.7可以看出，不隨坐標系統(tǒng)x軸的轉動而改變，而和卻改變 （2.14）寫成矩陣形式為： （2.15） 圖2.7 在坐標系旋轉前后的點的坐標圖2.8 相對于參考坐標系的點的坐標和從x軸上觀察旋轉坐標系為了得到在參考坐標系中的坐標，旋轉坐標系中的點P（或向量P）的坐標必須左乘旋轉矩

13、陣。這個旋轉矩陣只適用于繞參考坐標系的x軸做純旋轉變換的情況，它可表示為： （2.16） 注意在式（2.15）中，旋轉矩陣的第一列表示相對于x軸的位置，其值為1，0，0，它表示沿x軸的坐標沒有改變。符號C表示cos以及用S表示sin。因此，旋轉矩陣也可寫為： （2.17） 可以證明其結果為： 和 （2.18）式（2.16）也可寫為習慣的形式，以便于理解不同坐標系間的關系，為此，可將該變換表示為 uTR，將Pnoa表示為 RP（P相對于坐標系R），將Pxyz表示為 uP，式（2.16）可簡化為： （2.19） 2.5.3 復合變換的表示 復合變換是由固定參考坐標系或當前運動坐標系的一系列沿軸平移

14、和繞軸旋轉變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉變換。例如，為了完成所要求的變換，可以先繞x軸旋轉，再沿軸平移，最后繞y軸旋轉。在后面將會看到，這個變換順序很重要，如果顛倒兩個依次變換的順序，結果將會完全不同。 假定坐標系（）相對于參考坐標系（）依次進行了下面三個變換： （1）繞x軸旋轉度；（2）接著平移 l1 l2 l3（分別相對于x,y,z軸）；（3）最后繞y軸旋轉度。比如點固定在旋轉坐標系，開始時旋轉坐標系的原點與參考坐標系的原點重合。隨著坐標系（）相對于參考坐標系旋轉或者平移時，坐標系中的P點相對于參考坐標系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，P點相對于參考

15、坐標系的坐標可用下列方程進行計算。 （2.20） 其中，是第一次變換后該點相對于參考坐標系的坐標。第二次變換后，該點相對于參考坐標系的坐標是： 同樣，第三次變換后，該點相對于參考坐標系的坐標為： 矩陣的順序不能改變。應注意，對于相對于參考坐標系的每次變換，矩陣都是左乘的。因此，矩陣書寫的順序和進行變換的順序正好相反。3. 舉例分析逆解、正解過程3.1 焊接機器人運動學正解在對機器人進行設計時, 首先要進行運動學正解和運動學逆解, 以便對焊接機器人進行位置 和姿態(tài)分析。正解是已知電機的轉角 、幾何參數(shù), 求機器人手部的位置和姿態(tài)等。逆解是已知手部的位置和姿態(tài)、幾何參數(shù), 求電機的轉角等。3.2機

16、器人參數(shù)及其坐標系的建立圖 3-1 中基礎坐標系 0原點選取在第1關節(jié)軸線和回轉平面交點處, Z0 軸取第 1 關節(jié)軸線方向, X 0 軸取第2關節(jié)軸線方向 ,Y0 軸由右手定則確定。末端連桿坐標系 6 與坐標系 5 平行, 其中 X 6 , Y6 , Z6 分別記為 n, o, a, 表示機器人末端的姿態(tài)。O1 取Z1 軸和Z2軸公垂線與 Z2 軸交點 , O2 取 Z3 軸和 Z4軸的公垂線與Z3 軸交點,O3 取Z3 軸和Z4軸交點 ,O4 取Z4 軸和Z5 軸交點, O5 取 Z5軸和 Z6 軸交點, O4 和 O5 重合,中間坐標系的其他軸按照規(guī)則確定。圖 3-1 焊接機器人桿件坐標

17、系按照 DH 方法確定的連桿參數(shù), 見表1。對照表1,根據(jù)DH參數(shù)確定方法, 焊接機器人的偏置和連桿長度中除 d1 = 250 mm, d4 = 670 mm, a 1 = 119mm , a2 = 570 mm, a 3 = 1 20 mm 外, 其余 均為零。其連桿扭角為: 1 =3 = - 90 , 2=6= 0, 4= 5 = 90。需要說明的是, 對于運動鏈兩端, 按照習慣約定: 0 =6 = 0; a 0 = a6 = 0 。因為關節(jié)6是轉動關節(jié), 因此規(guī)定 6= 0 為連桿6的零位, 習慣約定 d6= 0。另外, 參數(shù)的設定隨坐標系設定的改變而改變。表3-1 焊接機器人連桿參數(shù)3

18、.3焊接機器人運動學正解根據(jù)建立的桿件坐標系和列出DH參數(shù)表,就可以依次求出后一連桿相對于前一連桿的位姿, 即變換矩陣ii-1T =(i=1,2,36)。將表3- 1中的DH參數(shù)帶入式( 1 ) ,得到相鄰連桿間的坐標變換矩陣:求出機器人相鄰連桿間的坐標變換矩陣,就可以求出6自由度機器人最后一個連桿相對于基坐標系的位姿,即為機器人末端位姿。其中 :nx = C1 C2 3 (C4 C5 C6 + S 4 S 6 ) - S 23 S 5 C6 +S 1 (S 4 C5 C6 - C4 S 6 )n y = S 1 C23 ( C4 C5 C6 + S 4 S 6 ) - S 23 S 5 C6

19、 -C1 ( S 4 C5 C6 - C4 S 6 )nz = - S 23 C4 C5 S 6 - C23 S 5 C6 - S 23 S 4 S 6o x = C1 C23 (S 4 C6 - C4 C5 S 6 ) + S 23 S 5 S 6 -S 1 (S 4 C5 S 6 + C4 C6 )o y = S 1 C23 ( S 4 C6 - C4 C5 S 6 ) + S 23 S 5 S 6 +C1 ( S 4 C5 S 6 + C4 C6 )o z = S 23 C4 C5 S 6 + C23 S 5 S 6 - S 23 S 4 S 6ax = C1 (C23 C4 S 5 +

20、 S 23 C5 ) + S 1 S 4 S 5a y = S 1 ( C23 C4 S 5 + S 23 C5 ) - C1 S 4 S 5az = - C4 S 5 S 23 + C23 C5Px = C1 ( a3 C23 + a2 C2 + a1 - d4 S 23 )Py = S 1 (a 3 C23 + a2 C2 + a1 - d4 S 23 )P z = - d4 C23 - a3 S 23 - a 2 S 2 + d1 (3)變換矩陣60T把機器人位姿從關節(jié)空間變換為直角坐標空間的描述, 即為焊接機器人運動學方程。若把關節(jié)變量帶入式( 2) 就可很方便求出機器人運動學正解。校

21、驗所求運動學方程是機器人運動分析和綜合基礎, 其求解是否準確十分重要。為校核其正確性, 計算當 1 = 90 , 2= - 90 , 3 =4 = 0, 5 = 90 , 6 = - 90 時, 末端變換矩陣60T的值。計算結果為: 60T= 1000100001a1+d4a2+a3+d1000 1 （4）式( 4) 中 , 旋轉矩陣為單位陣, 說明機器人末端姿態(tài)相對于基礎坐標系沒有變化; 矩陣最后一列前 3 個元素表示機器人末端位置在基礎坐標系中沿 Y0 軸移動a1 + d4距離 , 沿 Z0軸移動a 2+ a3 + d1距離。這與圖 1 所示完全一致, 從而驗證求解運動學方程準確性。當需求

22、焊接機器人速度時,將式( 2) 兩邊同時對時間求導。再根據(jù)矩陣相對應數(shù)相等, 就可求所要求相應關節(jié)速度。當需求各自加速度時, 只需對式( 2) 兩邊同時對時間求二階導數(shù),根據(jù)求導法則求導, 再根據(jù)矩陣相等條件, 就可求出相對應的各轉角加速度。3.4焊接機器人運動學逆解3.4.1 雙變量反正切函數(shù)在機器人運動學逆解求解中 , 經常涉及反三角函數(shù)求解角度問題。通常, 使用雙變量反正切函數(shù)來解決這一問題。不能用反余弦函數(shù)來求解關節(jié)角,因為其求得角度符號是不確定的,且所求角度精度取決于該角, 即 cos= cos (- ) 和 dcos/ d| = 0。 故在求解角度時, 應該采用 雙變量反正切函數(shù)a

23、tan2 來確定角 度, 即 = atan2( y, x ) 。取值要根據(jù)角度 atan2(y , x ) 所在的象限決定 , 依據(jù) y和 x的符號判斷。 其提供兩個自變量, 即縱坐標 y 和橫坐標 x , 且其求解精度適合整個定義域。 當 -時, 用 atan2( y , x ) 反求角度時 ,要同時檢查y和x的符號來確定其所在的象限, 如圖 3-2 所示。圖 3-2 雙變 t 反正切函數(shù)符號為了便于計算, 這里引 入一元方程 aS + bC= d 的求解, 其中S和C分別為的正余弦。當 a2+ b2 d2 時, 總有兩個值。 = atan 2d, a2 + b 2 - d2 -atan 2

24、(B , a) (5 )3.4.2用反變換法求解運動學逆解6 自 由度機器人的運動學方程可以寫成:在式( 6)中, 左邊矩陣中各元素都是已知的, 而右邊的6個矩陣是未知的, 其依賴于關節(jié)變量 1 , , 6。反變換法就是用未知矩陣的逆變換逐次左乘上述矩陣方程, 以便將關節(jié)變量分離出來, 從而解出關節(jié)變量。為方便求解,令式(6) 兩邊分別為L和R ,L (i , j ) 和 R(i , j )分別表示 4 × 4 矩陣L和R的第i行和第j列的元素, i, j = 1 , 2, 3, 4。這樣分離變量的過程就可以表示為( 例如對式子兩邊左乘10T-1 ) :焊接機器人相鄰連桿間的坐標變換

25、矩陣的逆矩陣表示為3.4.3 實例求解以焊接機器人為例實現(xiàn)算法, 其 DH 參數(shù)見表 1 。( 1) 求 1用逆變換10T-1 左乘式( 6)的兩邊得:由L 1 ( 3, 4) = R 1 ( 3, 4) ,得- s1 p x + c1 p y=0。所以, 1 = atan2(p y , p x )。這樣就可以求出在 - 180 , 180 區(qū)間內的一個解。( 2) 求 2聯(lián)立等式 L 1 ( 1, 4) = R 1 (1, 4)L 1 ( 2, 4) = R 1 (2, 4)可得:- d4 s23 + a2 c2 + a3 c23 = c1 p x + s 1 p yd4 c23 + a2

26、s 2 + a3 s23 = - p x + d1 p y -(10)將式( 1 0) 進行左右變換得:- d4 s23 + a3 c23 = c1 p x + s 1 p y - a2 c2d4 c23 + a3 s 23 = - p x + d1 p y - a2 s2 (11)再將式( 11 ) 兩邊平方后相加, 可以得到只含有s 2 和c2 的方程式: (d1 p y - p x ) s 2 + ( c1 p x + s 1 p y ) c2= M (12)其中 , M = ( c1 p x + s1 p y ) 2 + ( d1 p y - p x ) 2 +a2- a23- d24

27、 /2a2 , ( M 為常數(shù))這樣, 由 式( 6) 得:2 = atan 2M ,±(d1 p y - p x ) 2 + (c1 p x + s1 p y ) 2 - M2 -atan 2 (c1 p x + s 1 p y ) , ( d1 p y - p x ) 這樣就求出 了 凡 在 - 180° , 180° 區(qū)間內的兩個解。( 3) 求 3對式( 6) 的兩邊左乘21T-1 10T-1 可得:所以, 由 等式 L 2 ( 2, 4) = R 2 (2, 4) 可以得到只含有s 3 和c3 的方程式。其中 ,N = - c 1 s 2 p x - s

28、 1 s 2 p y - c2 p z + a1 s 2 + c2 d1( N 為常數(shù))這樣, 由式( 6) 得:3 = atan 2N , a 23 + d24 - N 2 -atan 2(d4 , a3 )求出了只在 - 180° , 1 80° 區(qū)間內的兩個解。( 4) 求 4對式( 6) 的兩邊左乘32T-1 21T-1 10T-1 可得:所以, 由等式 L 3 (1, 3) = R 3 (1 , 3)L 3 (2, 3) = R 3 (2, 3)可以得到只含有s 4 s 5 和c 4 s 5 的兩個方程式:c4 s5 = c1 c23 a x + s 1 c 23 ay - s 23 azs 4 s 5 = s 1 ax - c1 ay當 sin5= 0 時, 機器人處于奇異形位, 此時機器人的第4和第6關節(jié)軸重合, 可以任意選取4 的值, 然后計算相應的6 的值。當sin5 0 時, 通過s 4 s 5