1、第30練雙曲線的漸近線和離心率問題題型分析·高考展望雙曲線作為圓錐曲線三大題型之一，也是高考熱點(diǎn)，其性質(zhì)是考查的重點(diǎn)，尤其是離心率與漸近線.考查形式除?？嫉慕獯痤}外，也會在填空題中考查，一般為中等難度.熟練掌握兩種性質(zhì)的求法、用法是此類問題的解題之本.?？碱}型精析題型一雙曲線的漸近線問題例1(1)(2015·重慶)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)是F，左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為_.(2)(2014·江西)如圖，已知雙曲線C：y21(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的

2、兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求雙曲線C的方程；過C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，恒為定值，并求此定值.點(diǎn)評(1)在求雙曲線的漸近線方程時(shí)要掌握其簡易求法.由y±x±00，所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.(2)已知雙曲線漸近線方程：yx，可設(shè)雙曲線方程為 (0)，求出即得雙曲線方程.變式訓(xùn)練1(2014·山東改編)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與

3、C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為_.題型二雙曲線的離心率問題例2(1)(2015·湖北改編)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b(ab)同時(shí)增加m(m>0)個(gè)單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則下列命題正確的是_.對任意的a，b，e1>e2；當(dāng)a>b時(shí)，e1>e2；當(dāng)a<b時(shí)，e1<e2；對任意的a，b，e1<e2；當(dāng)a>b時(shí)，e1<e2；當(dāng)a<b時(shí)，e1>e2.(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B

4、，若()·0，則雙曲線的離心率e為_.點(diǎn)評在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e>1.同時(shí)注意雙曲線方程中x，y的范圍問題.變式訓(xùn)練2(2014·湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e1；雙曲線C2：1的左、右焦點(diǎn)分別為F3、F4，離心率為e2.已知e1e2，且F2F41.(1)求C1，C2的方程；(2)過F1作C1的不

5、垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值.題型三雙曲線的漸近線與離心率的綜合問題例3(2014·福建)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.點(diǎn)評解決此類問題：一是利用離心率公式，漸近線方程，斜率關(guān)系等列方程組.二是數(shù)形結(jié)合，由圖

6、形中的位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)的范圍.變式訓(xùn)練3(2014·浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PAPB，則該雙曲線的離心率是_.高考題型精練1.(2015·課標(biāo)全國改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是_.2.(2015·鎮(zhèn)江模擬)已知0<<，則雙曲線C1：1與C2：1的_相等.(填序號)實(shí)軸長；虛軸長；離心率；焦距.3.已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：

7、x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_.4.以橢圓1的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線1的漸近線相切的圓的方程是_.5.已知雙曲線1(a>0，b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為_.6.(2015·鎮(zhèn)江模擬)已知雙曲線C：1 (a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為_.7.已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_.8.已知雙曲

8、線C的中心在原點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為底邊作正三角形，若雙曲線C與該正三角形兩腰的交點(diǎn)恰為兩腰的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_.9.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1 (a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是_.10.過雙曲線1 (a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線，切點(diǎn)為E，直線EF交雙曲線右支于點(diǎn)P，若()，則雙曲線的離心率是_.11.已知雙曲線1 (a>0，b>0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線

9、的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積.12.(2015·鹽城模擬)已知雙曲線1 (a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2，求雙曲線的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為，求雙曲線的離心率.答案精析第30練雙曲線的漸近線和離心率問題?？碱}型典例剖析例1(1)±1解析雙曲線1的右焦點(diǎn)F(c,0)，左，右頂點(diǎn)分別為A1(a，0)，A2(a,0)，易求B，C，則kA2C，

10、kA1B，又A1B與A2C垂直，則有kA1B·kA2C1，即·1，1，a2b2，即ab，漸近線斜率k±±1.(2)解設(shè)F(c,0)，因?yàn)閎1，所以c，直線OB的方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B(，)又直線OA的方程為yx，則A(c，)，kAB.又因?yàn)锳BOB，所以·()1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.由知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2，)；直線l與直線x的交點(diǎn)為N(，)則·.因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得·&#

11、183;，即所求定值為.變式訓(xùn)練1x±y0解析由題意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得±，.令0，解得bx±ay0，x±y0.例2(1)(2)解析(1)由題意e1 ；雙曲線C2的實(shí)半軸長為am，虛半軸長為bm，離心率e2 .因?yàn)?，且a>0，b>0，m>0，ab，所以當(dāng)a>b時(shí)，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得2>2,12>12，所以>，即e2>e1；同理，當(dāng)a<b時(shí)，<0，可

12、推得e2<e1.綜上，當(dāng)a>b時(shí)，e1<e2；當(dāng)a<b時(shí)，e1>e2.(2)如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T，由()·0可知ATOF，又A在以O(shè)F為直徑的圓上，A，又A在直線yx上，ab，e.變式訓(xùn)練2解(1)因?yàn)閑1e2，所以 ·，即a4b4a4，因此a22b2，從而F2(b,0)，F(xiàn)4(b,0)，于是bbF2F41，所以b1，a22.故C1，C2的方程分別為y21，y21.(2)因AB不垂直于y軸，且過點(diǎn)F1(1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1

13、，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中點(diǎn)為M(，)，故直線PQ的斜率為，PQ的方程為yx.由得(2m2)x24，所以2m2>0，且x2，y2，從而PQ22.設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d，所以2d.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx2y0的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)<0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而2d.又因?yàn)閨y1y2|，所以2d.故四邊形APBQ的面積S·PQ·2d2·.而0<2m22，故當(dāng)m0時(shí)，S取得最小值2.綜上所

14、述，四邊形APBQ面積的最小值為2.例3解(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，從而雙曲線E的離心率e.(2)方法一由(1)知，雙曲線E的方程為1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)lx軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OCa，AB4a.又因?yàn)镺AB的面積為8，所以·OC·AB8，因此a·4a8，解得a2，此時(shí)雙曲線E的方程為1.若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為1.以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：1也滿足條件設(shè)直線l的方程為ykxm，依題意，得k>2或k<2，則C(，0)記A(x1，y1)，

15、B(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|·|y1y2|，得|·|8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k2<0，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.方法二由(1)知，雙曲線E的方程為1.設(shè)直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得<m<.由得y1，同理，得y2.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，則C(t,0)由SOAB·OC&

16、#183;|y1y2|8，得|t|·8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m21<0，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.變式訓(xùn)練3解析雙曲線1的漸近線方程為y±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)設(shè)直線l：x3ym0(m0)，因?yàn)镻APB，所以PCl，所以kPC3，化簡得a24b2

17、.在雙曲線中，c2a2b25b2，所以e.?？碱}型精練1.解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.2解析雙曲線C1：e，雙曲線C2：e1tan2，C1，C2的離心率相等3.1解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b

18、29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4x2y210x90解析由于右焦點(diǎn)(5,0)到漸近線4x3y0的距離d4，所以所求的圓是圓心坐標(biāo)為(5,0)，半徑為4的圓即圓的方程為x2y210x90.5.或2解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則或.則e 或2.6.解析取雙曲線的漸近線yx，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則F2H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.7x21解析由y28x,2p8，p4，其準(zhǔn)線方程為x2，即雙曲線的左焦點(diǎn)為(2,0)，c2，又e2，a1，b2c2a23，故雙曲線的方程為x21.8.1解析設(shè)以F1F2為底邊的正三角形與雙曲線C的右支交于點(diǎn)M，則在RtMF1F2中，可得F1F22c，MF1c，MF2c，由雙曲線的定義有MF1MF22a，即cc2a，所以雙曲線C的離心率e1.9(2，)解析雙曲線1 (a>