1、第四第五章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)在振動(dòng)系統(tǒng)中，由于激勵(lì)或參數(shù)的不確定性，振動(dòng)響應(yīng)也是不確定性的。研究不確定性振動(dòng)的科學(xué)叫隨機(jī)振動(dòng)。隨機(jī)振動(dòng)雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計(jì)的方法研究其規(guī)律性。研究隨機(jī)振動(dòng)實(shí)質(zhì)上是用統(tǒng)計(jì)與概率方法了解振動(dòng)的內(nèi)在機(jī)理及規(guī)律性。隨機(jī)振動(dòng)中的樣本是隨時(shí)間變化的，這與概率統(tǒng)計(jì)中的樣本不同。所以隨機(jī)振動(dòng)理論僅僅是以概率統(tǒng)計(jì)方法為基礎(chǔ)。本章主要介紹線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)基本概念和基本理論。在對隨機(jī)振動(dòng)有了初步了解，將從隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性入手，介紹幾種統(tǒng)計(jì)量（總體平均、自相關(guān)函數(shù)、時(shí)間平均、時(shí)間自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等）以及如何用這些統(tǒng)計(jì)量來描述隨機(jī)振動(dòng)，建立激勵(lì)與響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征之間的相互

2、聯(lián)系。最后介紹了空間譜及與時(shí)間譜的轉(zhuǎn)換。在振動(dòng)系統(tǒng)中，由于激勵(lì)或參數(shù)的不確定性，振動(dòng)響應(yīng)也是不確定性的。研究不確定性振動(dòng)的科學(xué)叫隨機(jī)振動(dòng)。隨機(jī)振動(dòng)雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計(jì)的方法研究其規(guī)律性。研究隨機(jī)振動(dòng)實(shí)質(zhì)上是用統(tǒng)計(jì)與概率方法了解振動(dòng)的內(nèi)在機(jī)理及規(guī)律性。本章主要介紹線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)基本概念和基本理論。在對隨機(jī)振動(dòng)有了初步了解，將從隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性入手，介紹幾種統(tǒng)計(jì)量（總體平均、自相關(guān)函數(shù)、時(shí)間平均、時(shí)間自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等）以及如何用這些統(tǒng)計(jì)量來描述隨機(jī)振動(dòng)，建立激勵(lì)與響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性之間的相互聯(lián)系。45.1隨機(jī)過程及統(tǒng)計(jì)特征在前面的章節(jié)中所討論的振動(dòng)，其激勵(lì)和響應(yīng)都可以以時(shí)間為

3、變量預(yù)先準(zhǔn)確描述。但在實(shí)際問題中不能以時(shí)間為參量預(yù)先準(zhǔn)確描述的振動(dòng)是普遍存在的。比如，運(yùn)行中列車轉(zhuǎn)向架的振動(dòng)、地震引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)、發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)及飛機(jī)降落時(shí)起落架的振動(dòng)等。這些振動(dòng)都無法對既定的時(shí)刻t預(yù)先給出它們準(zhǔn)確的振動(dòng)情況，更無法用前面章節(jié)中的方法解決。因此,這種具有不確定性的振動(dòng)過程稱作隨機(jī)振動(dòng)。為了探尋隨機(jī)振動(dòng)內(nèi)在的機(jī)理及規(guī)律性，通常需要對某一給定的隨機(jī)振動(dòng)反復(fù)試驗(yàn)、記錄，從而比較分析每一次的試驗(yàn)結(jié)果。例如實(shí)際生產(chǎn)中統(tǒng)計(jì)某一隨機(jī)振動(dòng)每一次試驗(yàn)中振幅的最大值即為最簡單的振動(dòng)分析。若對不確定性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)測試，對每一個(gè)測點(diǎn)，每測試一次可得一條測試曲線,測試量可以是廣義位移或廣義

4、力,記為,如圖45.1中第一條曲線所示。為了消除不確定性影響,一般要重復(fù)多次.假設(shè)測試工作重復(fù)了次，可以得到條時(shí)間位移曲線（），如圖4.5.1所示。為隨機(jī)變量，是時(shí)間t的函數(shù)，因此叫做一個(gè)樣本函數(shù)。所有可能的樣本函數(shù)（）的集合稱為隨機(jī)過程，記作。圖45.1 隨機(jī)過程 同樣地，對道路或鐵路不平順度進(jìn)行測試時(shí)，也可以得一條以空間坐標(biāo)為參數(shù)的樣本函數(shù)，多次測量后得到以空間坐標(biāo)為參數(shù)的隨機(jī)過程。 因此，對于不確定性量的每一次試驗(yàn)或測試都可以得到一條曲線，其數(shù)值是關(guān)于某些參量（如時(shí)間、空間）的隨機(jī)變量，稱作樣本函數(shù)，每一個(gè)樣本函數(shù)是不同的。樣本函數(shù)的本質(zhì)是隨機(jī)函數(shù)，可以擁有多個(gè)參量。對于某一隨機(jī)振動(dòng)問題

5、，可以在相同的情況下重復(fù)無限多次試驗(yàn)，每一次試驗(yàn)都用同樣的參量，這些試驗(yàn)的集合構(gòu)成隨機(jī)過程。隨機(jī)振動(dòng)雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計(jì)的方法研究其規(guī)律性?？茖W(xué)試驗(yàn)中的數(shù)值顯現(xiàn)即為數(shù)據(jù)，研究隨機(jī)振動(dòng)問題就是對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、整理、分析和闡釋。,分析是指確定一些統(tǒng)計(jì)量度以描述隨機(jī)振動(dòng)的屬性；,闡釋則是指根據(jù)分析的結(jié)果去做得出結(jié)論。這些工作其本質(zhì)上都是統(tǒng)計(jì)工作。研究隨機(jī)振動(dòng)遇到的第一個(gè)問題便是如何表征或描述隨機(jī)振動(dòng)過程。隨機(jī)振動(dòng)具有不確定性，因此無法用一個(gè)振動(dòng)樣本的細(xì)節(jié)來表征。借鑒概率與統(tǒng)計(jì)理論，通常以其統(tǒng)計(jì)特征量來表征隨機(jī)振動(dòng)。隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征常用分布密度函數(shù)來描述描述，而分布密度函數(shù)一般由均值和均

6、方值來描述。對于隨機(jī)振動(dòng)，隨機(jī)變量是時(shí)間的函數(shù)，因此該隨機(jī)過程在時(shí)刻的振動(dòng)情況可用各個(gè)樣本在時(shí)刻的平均值和方差或均方值來描述。對于任意時(shí)刻，用所有樣本來求隨機(jī)過程在時(shí)刻的總體平均得到 （45.1） 式（4.5.1）中稱為隨機(jī)過程在時(shí)刻的總體平均值，簡稱均值，也稱為數(shù)學(xué)期望。均值得到后對隨機(jī)振動(dòng)在時(shí)刻振動(dòng)情況已經(jīng)有初步的了解。進(jìn)一步描述隨機(jī)振動(dòng)在時(shí)刻的振動(dòng)情況，可求出隨機(jī)變量的均方值及方差，其數(shù)學(xué)描述如下。 （4.5.2） （4.5.3）它們分別對反映了隨機(jī)變量的波動(dòng)有效值及波動(dòng)強(qiáng)弱。至此，隨機(jī)變量在 時(shí)刻的波動(dòng)幅值的期望、有效值及振動(dòng)強(qiáng)弱等基本情況已描述清楚。在概率統(tǒng)計(jì)理論中描述兩個(gè)隨機(jī)變量、

7、的相關(guān)程度可用隨機(jī)變量的協(xié)方差表示，叫作相關(guān)函數(shù)。同理也在一定程度上反映了隨機(jī)變量、的相關(guān)程度。對隨機(jī)過程各樣本，取任意時(shí)刻和值構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量和，并對隨機(jī)過程中這各樣本的這兩個(gè)變量值乘積取總體平均，得到 （4.5.4）式（4.5.4）中稱作隨機(jī)過程在和時(shí)刻的自相關(guān)函數(shù)。它表示了隨機(jī)過程不同時(shí)刻值隨機(jī)分布情況的相關(guān)程度。特別地，當(dāng)時(shí)：。 （4.5.5）顯然，此時(shí)自相關(guān)函數(shù)取極大值。以上應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的方法，求出了隨機(jī)過程某一時(shí)刻的總體均值、均方值、方差的自相關(guān)函數(shù)，了解了隨機(jī)振動(dòng)在某一時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特征。但任意時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特征還待進(jìn)一步討論。45.2 平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)過程及統(tǒng)計(jì)特征應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論，我們

8、得到了計(jì)算隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征公式（4.5.1）（4.5.5）。但由于隨機(jī)變量均為時(shí)間的函數(shù)，所以得到的統(tǒng)計(jì)特征都是時(shí)間的函數(shù)。由于不同時(shí)間的統(tǒng)計(jì)特征不同，要全面了解統(tǒng)計(jì)特征，需要對不同時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算。其次，統(tǒng)計(jì)特征計(jì)算足夠多的樣本，測試工作量很大。隨機(jī)過程的研究中隨時(shí)間變化的樣本函數(shù)和大量的樣本數(shù)量這兩個(gè)基本問題增加了試驗(yàn)和計(jì)算分析的難度。因此，在保留主要因素，忽略次要因素的前提下，需要尋找一種合理、有效的參量簡化方法使描述處理方法簡單、有效。首先考慮簡化時(shí)間這個(gè)參量。假設(shè)隨機(jī)過程的總體平均和自相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計(jì)量均與時(shí)刻無關(guān)，這樣的隨機(jī)過程稱為平穩(wěn)過程。由這個(gè)假設(shè)可知，平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為一常量。

9、（(4.5.6）)而自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時(shí)差而與時(shí)刻無關(guān) （(4.5.7）)滿足以上假設(shè)隨機(jī)振動(dòng)的樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征與時(shí)間無關(guān)，。稱為平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)。 平穩(wěn)過程簡化使得隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征與時(shí)間無關(guān)，可取樣本函數(shù)中任意時(shí)刻的值進(jìn)行總體平均得到統(tǒng)計(jì)特征，大大的簡化了試驗(yàn)和分析工作量，但概率統(tǒng)計(jì)需要大量的樣本以保證分析的準(zhǔn)確性。如果隨機(jī)過程可以用任意一個(gè)樣本函數(shù)在時(shí)間序列上求得的平均值及自相關(guān)函數(shù)表征，即任選一個(gè)樣本在時(shí)間序列上求平均值及自相關(guān)函數(shù)作為總體平均的結(jié)果，這樣就可以回避獲取大量樣本及處理龐大數(shù)據(jù)問題，從而可以用一個(gè)樣本函數(shù)代表總體。為此，我們進(jìn)一步假定平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均值及自相關(guān)函數(shù)各種狀態(tài)在

10、一個(gè)樣各個(gè)樣本中都經(jīng)歷，亦即總體中隨機(jī)值的分布和樣本中按時(shí)間均勻分布時(shí)隨機(jī)值的按時(shí)間的分布是相同的，從而可以用時(shí)間平均代替總體平均。一個(gè)隨機(jī)過程中樣本函數(shù)的這種平均叫做時(shí)間平均。時(shí)間平均的數(shù)學(xué)定義為： （(4.5.8）)時(shí)間自相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)定義為： （(4.5.9）)滿足時(shí)間平均代替總體平均這個(gè)假設(shè)的隨機(jī)過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程（遍歷過程）。從而各態(tài)歷經(jīng)過程時(shí)間平均就是總體平均，有： （(4.5.10）) （(4.5.11）)對于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，可以用一個(gè)樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征來表征總體統(tǒng)計(jì)特征，使得試驗(yàn)分析時(shí)只需要一個(gè)有效的樣本函數(shù)?？傮w平均和時(shí)間平均實(shí)質(zhì)上是對同一事物的不同角度描述。由平穩(wěn)過程與各

11、態(tài)歷經(jīng)過程定義知各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程，而平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)過程。各態(tài)歷經(jīng)過程是定義在時(shí)間平均之上，僅當(dāng)隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)過程時(shí)，時(shí)間平均及其他基于時(shí)間的統(tǒng)計(jì)量才能描述總體的統(tǒng)計(jì)特征，這時(shí)時(shí)間平均才具有統(tǒng)計(jì)意義，因此若給定的隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程而不是各態(tài)歷經(jīng)過程，我們只能采用總體平均去研究。當(dāng)然，無論平穩(wěn)過程還是各態(tài)歷經(jīng)過程都只能在一定近似程度下成立，也是目前研究隨機(jī)振動(dòng)問題比較成熟的手段。它廣泛見于一般工程問題中，已經(jīng)得到較多的應(yīng)用。特別指出，一般工程隨機(jī)振動(dòng)都可認(rèn)為是各態(tài)歷經(jīng)過程，因此以后本章所討論的情形如無特殊說明都為各態(tài)歷經(jīng)過程。45.3各態(tài)歷經(jīng)過程的時(shí)間域統(tǒng)計(jì)特征均值和方差及

12、相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的重要參數(shù)，由于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征與樣本和時(shí)間無關(guān)，本節(jié)只在時(shí)間域討論它們的統(tǒng)計(jì)特征及相互關(guān)系。對于隨機(jī)過程中任意一個(gè)樣本函數(shù)均值： （(4.5.12）)均方值： （(4.5.13）)標(biāo)準(zhǔn)差： （4.5.14）自相關(guān)函數(shù)為： （4.5.15） （5.15）自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)存在性？周期問題？：（1） 自相關(guān)函數(shù)是時(shí)差的偶函數(shù)，；（2） ，時(shí)差為零時(shí)的自相關(guān)函數(shù)就是均方值；（3） ，時(shí)差為零時(shí)隨機(jī)過程的自相關(guān)程度最大；（4） ，自相關(guān)函數(shù)為時(shí)差的衰減函數(shù)，當(dāng)時(shí)趨于均值的平方。均方值、方差、均值及自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系如圖5.3所示。圖4.5.2 均值、均方差與自相關(guān)函數(shù)

13、關(guān)系示意圖（5） 若樣本函數(shù)是周期為T的函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)也是周期的，周期也為T，并且在時(shí)自相關(guān)函數(shù)取極大值，所以自相關(guān)函數(shù)還能反映函數(shù)的周期性。【例1】：設(shè)若樣本函數(shù)為，求該樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。解：解：樣本函數(shù)的周期為0.1s，如圖4.5.3(a)所示，其自相關(guān)函數(shù)如圖4.5.3(b)所示，在周期和0處取得極大值。 圖4.5.3 樣本函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)更一般地，設(shè)有兩個(gè)平穩(wěn)過程和，它們之間相差時(shí)間的互相關(guān)函數(shù)定義為： （4.16）(5.16) （4.17）(5.17)式4.5.17中設(shè)可以得到下列式子： （4.18）(5.18)所以，一般情況下，互相關(guān)函數(shù)和并不相等，它們之間存在的關(guān)系為。4

14、5.34功率譜密度函數(shù)相關(guān)函數(shù)反應(yīng)了隨機(jī)變量在時(shí)間域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性，但工程分析中我們同樣關(guān)心隨機(jī)振動(dòng)在頻域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性，因?yàn)樗怯绊懝こ探Y(jié)構(gòu)的直接因素。本節(jié)將主要闡釋功率譜函數(shù)以及它的物理意義?？紤]某一電路兩端的電壓為的各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)樣本，樣本表達(dá)式為：在上述定義中，把樣本擴(kuò)展到了負(fù)半軸。若其電阻，且電路工作時(shí)間無限長，則其隨機(jī)動(dòng)樣本的平均功率雖然平均功率從電學(xué)上引出，但在力學(xué)范疇，功和能一般都可以表達(dá)為與廣義力或廣義位移的平方成正比的量，所以，對于隨機(jī)振動(dòng)，我們也需要用平均功率來了解其域特征。平均功率從時(shí)間域描述功和能，我們還需要從頻率域來描述功和能，了解能量與頻率的關(guān)系。為了建立時(shí)間域和

15、頻率域平均功率的關(guān)系，我們先介紹卷積定理及Parseval定理。對于卷積 （4.5.19）對做傅里葉正變換得到 （(4.5.20）)式中是傅里葉變換，是的共軛傅里葉變換和構(gòu)成了傅氏變換對，根據(jù)傅氏變換，有根據(jù)式（4.5.19）、（4.5.20）和上式有 （(4.5.21）)上式即為卷積定理，即二個(gè)二維連續(xù)函數(shù)在空間域中的卷積等于它們相應(yīng)的二個(gè)傅立葉變換乘積的反變換。反之，在頻域中的卷積可用它們在空間域中乘積的傅立葉變換而得。當(dāng)，考慮到，由式（4.5.21）可得特別地，當(dāng)時(shí) (4.5.22)上式即為著名的Parseval定理，它表明對于某一給定的隨機(jī)過程，對其在時(shí)域上求能量和頻域上求能量是相等的

16、，是一種能量守恒的表現(xiàn)。根據(jù)Parseval定理，對于隨機(jī)過程中的樣本，其平均功率可寫為類比概率密度公式，其中、分別表示功率在時(shí)間維度和頻率維度上的分布密度。功率在頻率維度上的分布密度叫功率譜密度函數(shù)。把所有可能樣本的功率譜密度函數(shù)求總體平均，就得到隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。若為平穩(wěn)過程，只與時(shí)間差有關(guān)，從而令，則坐標(biāo)變換的雅閣比式為，坐標(biāo)變換如圖4.5.4所示。圖4.5.4 積分區(qū)域變換 （4.5.23）以上功率譜密度函數(shù)是用平穩(wěn)過程所有可能的樣本集合求出來的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程。然而若隨機(jī)過程為遍歷過程則功率譜密度函數(shù)則可以由一個(gè)具有代表性的樣本求出。對于各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度函數(shù)與自相

17、關(guān)函數(shù)的傅構(gòu)成里葉變換對，表示為： （(4.5.24）) （(4.5.25）)以上兩式傅里葉變換對，稱作維納-辛欽關(guān)系式。式（4.5.24）的積分存在條件為絕對可積由于自相關(guān)函數(shù)具有衰減性，自然滿足該條件。為討論功率譜密度函數(shù)與其它統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系，令，由式（4.5.15）和式（4.5.25）知當(dāng)時(shí)有如下關(guān)系 由以上兩式知 （(4.5.26）)式（4.5.14）中為的均方值，假定描述電壓，那么的均方值表示耗散在一歐姆電阻中的平均功率。類比數(shù)學(xué)概率密度公式，式（5.5.26）左端可以理解為：作為概率密度函數(shù)，在整個(gè)頻率范圍對積分給出的平均功率。正是因?yàn)橐陨显?，我們稱為的功率譜密度函數(shù)。由功率譜密度

18、函數(shù)物理意義可知隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)的功率譜密度為： (4.5.27)隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)過程的功率譜密度也稱速度功率譜密度；二階導(dǎo)數(shù)過程的功率譜密度也稱作加速度功率譜密度，這里不再證明。隨機(jī)振動(dòng)具有不同頻率，它所對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)表示不同的頻率在振動(dòng)中所占的比例，功率譜密度函數(shù)是一個(gè)連續(xù)譜，在隨機(jī)振動(dòng)中表示振動(dòng)能量在各角頻率上的分布密度。為了更為直觀地討論功率譜密度函數(shù)的物理意義，下面結(jié)合例題進(jìn)行討論，?！纠?】設(shè)某各態(tài)歷經(jīng)過程的某一樣本函數(shù)為：，由于樣本函數(shù)由三個(gè)正弦函數(shù)疊加而成，其時(shí)間曲線如圖（4.5.5（a）所示。圖中）除幅值外，很難分辨頻率成分。，其但在功率譜密度函數(shù)見圖（4.5.5

19、（b），圖中清晰的顯示只有時(shí)域沒有頻率域圖，給一個(gè)樣本、均值，相關(guān)及功率的全例出現(xiàn)由樣本函數(shù)能量主要集中在80Hz、150Hz和200Hz處。圖4.5.5 樣本函數(shù)與功率譜密度函數(shù) 根據(jù)隨機(jī)過程功率譜密度函數(shù)所包含的頻率成分的分布范圍大小，可以分為寬帶過程和窄帶過程。寬帶過程包含的頻率成分多，頻率在很大一個(gè)范圍內(nèi)變化，最為理想的情況即頻率在之間平均分布，稱作理想白噪聲；窄帶過程則頻率分布非常有局限，常局限在一定的頻率范圍內(nèi)。它們的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度函數(shù)的圖形如圖4.5.6所示圖4.5.6 寬帶隨機(jī)過程與窄帶隨機(jī)過程在理論推導(dǎo)中圓頻率功率譜較為方便，但在實(shí)際的測量中則使用赫茲頻率功率譜更為方

20、便，記赫茲頻率功率譜密度函數(shù)為,為實(shí)數(shù)且僅為正頻率，且為偶函數(shù)，且，展開后其虛數(shù)部分為奇函數(shù)，則赫茲頻率功率譜密度函數(shù)與圓頻率功率譜密度函數(shù)有如下關(guān)系由以上兩式得：要使上式恒等于零，則必須有 （(4.5.28）)上式給出了赫茲單邊功率譜與園頻率雙邊譜的關(guān)系。相比圓頻率功率譜密度函數(shù)，赫茲頻率功率譜密度函數(shù)具有明顯的實(shí)際意義。他可以直觀地反映出系統(tǒng)激勵(lì)（或響應(yīng)）頻率，對于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析具有明確的指導(dǎo)意義。因此，在實(shí)際中，可以根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)換功率譜密度函數(shù)的形式，以便于研究、分析。同理對于兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程和，它們的互相關(guān)功率譜定義為：和，且二者是相等，他們也與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅氏變換對： （(4.5

21、.29）) （(4.5.30）)45.45空間譜上面介紹的功率譜密度函數(shù)為時(shí)間譜，它以時(shí)間坐標(biāo)作為基本變量。在交通工程中，道路路面不平順和鐵路軌道不平順這個(gè)隨機(jī)過程是隨空間變化的，要用空間坐標(biāo)來描述，由此得到的功率譜叫空間譜。由公路道路路面不平順的得到的空間譜叫道路譜，由鐵路軌道不平順得到的空間譜叫軌道譜。道路譜和軌道譜分別為設(shè)計(jì)汽車和火車的重要荷載參數(shù)。下面介紹空間坐標(biāo)為基本參量的空間譜，以及它與時(shí)間譜之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。鐵路軌道是機(jī)車車輛行駛的基礎(chǔ)，兩根鋼軌引導(dǎo)車輪滾動(dòng)前行。由于客觀存在的鋼軌幾何位置誤差及鋼軌工作面缺陷等軌道不平順，當(dāng)列車運(yùn)行時(shí)，這些軌道不平順作為會(huì)激勵(lì)引起車輛、軌道振動(dòng)

22、，。進(jìn)行在機(jī)車車輛和軌道設(shè)計(jì)時(shí)，我們要考慮軌道不平順引起的機(jī)車車輛和軌道振動(dòng)特性，這就需要了解軌道不平順。軌道不平順分為軌道方向、高低、軌距不平順，都以里程為坐標(biāo)。通過量測我們可以得到以里程為自變量的隨機(jī)過程。類比功率譜密度函數(shù)，將時(shí)間變量轉(zhuǎn)換為里程坐標(biāo)就可得到軌道譜。從而時(shí)間量周期轉(zhuǎn)換為長度量波長，時(shí)間頻率轉(zhuǎn)換為波數(shù)或空間頻率。因此，軌道譜即為不平順軌面所產(chǎn)生的隨機(jī)激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)，它以里程坐標(biāo)（空間）作為基本變量，對于一定的軌道類型（包括設(shè)計(jì)等級、軌道現(xiàn)狀等因素），認(rèn)為其軌道譜是一定的。以上理論同樣適用于公路，相應(yīng)地公路也有道路譜，只是道路譜只有高低不平順一項(xiàng)。軌道不平順分為軌道方向、

23、高低、軌距不平順，都是都以里程的為坐標(biāo)。通過量測我們可以得到以長度里程為自變量的隨機(jī)過程。類比功率譜密度函數(shù)，將時(shí)間變量轉(zhuǎn)換為里程坐標(biāo)，就可得到軌道譜。從而時(shí)間量周期轉(zhuǎn)換為長度量波長，時(shí)間頻率轉(zhuǎn)換為波數(shù)或空間頻率。因此，軌道譜即為不平順軌面所產(chǎn)生的隨機(jī)激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)，它以里程坐標(biāo)（空間）作為基本變量，對于一定的軌道類型（包括設(shè)計(jì)等級、軌道現(xiàn)狀等因素），認(rèn)為其軌道譜是一定的。以上理論同樣適用于公路，相應(yīng)地公路也有道路譜，只是道路譜只有高低不平順一項(xiàng)證實(shí)道路譜。假設(shè)路面沿軌道方向的鋼軌某項(xiàng)不平順或道路不平順是各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，。設(shè)為路程差，則路面或路面軌面不平順對應(yīng)長度的自相關(guān)函數(shù)和功率譜

24、密度函數(shù)定義為 (4.5.31)（5.32） ） （45.3332）) 前者反映了軌面或路面某項(xiàng)不平順在沿里程方向上的不平順幅值的統(tǒng)計(jì)特征，后者了不平順波長的統(tǒng)計(jì)特征，從兩個(gè)方面提示揭示了道路不平順和道路軌道不平順的統(tǒng)計(jì)特性。道路譜和軌道譜都是在公路或軌道上實(shí)測不平順測量方法, 然后按路的等級分別整理并擬合成經(jīng)驗(yàn)公式共供使用。例如我國 I級鐵路軌道高低不平順功率譜(波長范圍為1m 到100m)推薦公式為： (mm2/(周/m) （(4.5.3333）)我國道路譜的經(jīng)驗(yàn)公式為： （(4.5.3434）) 其中，則根據(jù)不同等級的路面不平度做出規(guī)定。道路譜軌道譜或軌道譜道路譜可以表征一種類型路面或路

25、面軌面的不平順度，直觀地反映出該類型路面或軌面軌面或路面不平順度在各個(gè)波長范圍內(nèi)能量的分布密度。車輛工程在設(shè)計(jì)車輛時(shí)可 以以車輛主要面向的道路譜或軌道譜軌道譜或道路譜為依據(jù)，避開路面軌面或軌面路面激勵(lì)能量較大的頻率范圍，從而解決車輛路面路面共振問題，提高舒適度和車輛壽命。此外，在鐵路方面，軌道譜也可以作為火車提速、軌道設(shè)計(jì)的參考依據(jù)。道路譜與軌道譜是以里程為基本參數(shù)，而振動(dòng)分析時(shí)基本參數(shù)為時(shí)間，為了振動(dòng)應(yīng)用及分析方便，常將空間譜與時(shí)間譜進(jìn)行轉(zhuǎn)換。對于以里程為參數(shù)的道路譜及軌道譜，轉(zhuǎn)換是通過路程與時(shí)間的關(guān)系。比較成熟的是假設(shè)機(jī)車、車輛以勻速行駛，則路程或里程有關(guān)系： （4.5.3535）為了不增

26、加難度，這里沒有必要不考慮行駛的初始位置不增加難度。從而里程差不平順樣本函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的轉(zhuǎn)換為 （4.5.36） （5.37）機(jī)車、車輛的行駛通過一個(gè)波長不平順?biāo)玫臅r(shí)間就是時(shí)間周期T，顯然波長與時(shí)間周期的關(guān)系為。 （4.5.3837）同樣的，空間頻率與時(shí)間頻率關(guān)系為： （4.5.3938）)空間功率譜函數(shù)同時(shí)間功率譜函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下式自相關(guān)函數(shù) （4.5.4039）路面與軌面不平順對機(jī)車、車輛激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特征與行駛速度有關(guān)。下表給出了時(shí)間與空間域時(shí)隨機(jī)變量對比表。表1 時(shí)域量與空域量對比 隨機(jī)變量 周期 頻率 圓頻率 45.56 單自由度系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)前面已經(jīng)得到了由樣本函數(shù)求其統(tǒng)計(jì)特征的方法

27、，對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，若激勵(lì)是各態(tài)歷經(jīng)的，則響應(yīng)也是各態(tài)歷經(jīng)的；我們本可以先計(jì)算出響應(yīng)，然后計(jì)算響應(yīng)的各統(tǒng)計(jì)特征值。本節(jié)及后節(jié)我們將建立激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特征、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)和響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征之間的關(guān)系，此后，激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特征和系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)已知時(shí)，我們可以直接得出響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征；有時(shí)，知道激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特征和響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征可以求出系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)，這類問題稱作系統(tǒng)識別或參數(shù)識別。前面對隨機(jī)振動(dòng)在時(shí)間域的統(tǒng)計(jì)特征分析方法已經(jīng)作了較多介紹，本節(jié)和下節(jié)主要從頻率域介紹動(dòng)力響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征與輸入的統(tǒng)計(jì)特征以及系統(tǒng)動(dòng)力特性的的關(guān)系。由第二章我們知道對于單自由度系統(tǒng)其振動(dòng)微分方程為： （4.5.4140）這里我們假定其激勵(lì)

28、是隨機(jī)的并且是各態(tài)歷經(jīng)過程，因此響應(yīng)xx也是隨機(jī)的。為此，我們來建立隨機(jī)振動(dòng)分析方法和理論。系統(tǒng)響應(yīng)x可用第二章的知識得到。這里用杜哈梅積分表達(dá)為（見第二章）： （(4.5.4241）)由于為各態(tài)歷經(jīng)過程，則響應(yīng)也為各態(tài)歷經(jīng)過程?？梢杂帽菊虑懊娴闹R對其統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行計(jì)算分析。（1） 均值由均值的定義，均值可用下式中的任何一個(gè)等式求得。 （4.5.4342）由第二章式傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系。， （4.5.4643）代入（(4.5.4342）)得：若為各態(tài)歷經(jīng)過程， （4.5.4444）于是： （4.5.4745）即，響應(yīng)的均值等于激勵(lì)均值乘以一個(gè)常數(shù)。（2） 自功率譜由功率譜密度函數(shù)定義及

29、式（5.5.24）28，系統(tǒng)響應(yīng)的自功率譜為：由相關(guān)函數(shù)的定義知系統(tǒng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為代入：從而 （(4.5.5146）)由復(fù)變函數(shù)知是復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)的共軛。則上式也可以寫成： （(4.5.5247）)激勵(lì)自功率譜知道后，乘以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)平方便可以得到響應(yīng)自功率譜。（3） 互功率譜系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)的互功率譜為 （(4.5.5348）)由相關(guān)函數(shù)的定義知系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為 （(4.5.4949）)代入：注意到上式中第一部分積分即為激勵(lì)的自譜，可得，: （4.5450）(5.50) 激勵(lì)自譜與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相乘便可以求出激勵(lì)與響應(yīng)的互功率譜。例一求響應(yīng)功率譜圖5.5.7所示為車輛在不平的道路

30、上行駛時(shí)振動(dòng)分析簡化模型。設(shè)車輛質(zhì)量，懸掛的剛度k=350kN/m，阻尼比為0.5，車速為v=100km/h，道路譜，求系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜。 圖5.7車輛在不平順道路行駛簡化模型根據(jù)第二章例四，其它振動(dòng)微分方程為：圖 5.7 根據(jù)第二章例四，其它振動(dòng)微分方程為：整理得： 當(dāng)y系統(tǒng)的輸入時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：代入數(shù)據(jù)并畫出如圖4.5.8所示，圖5.5.8傳遞函數(shù)模的平方道路譜轉(zhuǎn)換為時(shí)間譜為： 將和代入公式（5.5.547）中即可求出 （5.5.561） 從公式（5.5.51）和圖5.5.8可知，響應(yīng)的功率譜為激勵(lì)功率譜與傳遞函數(shù)模的平方的乘積，由于傳遞函數(shù)模的平方局部大于1或者小于1，所以，激勵(lì)的

31、功率譜局部被放大或縮小得到響應(yīng)的功率譜。激勵(lì)的功率譜和響應(yīng)的功率譜如圖5.5.9所示。圖5.5.9輸入功率譜與輸出功率譜5.7 多自由度系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)對隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)理論是單自由度系統(tǒng)對隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)理論的推廣，從本質(zhì)上講它們是一致的。設(shè)n自由度線性系統(tǒng)受到m個(gè)各態(tài)歷經(jīng)激勵(lì)（），則系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)之間除了具有像單自由度系統(tǒng)一一對應(yīng)的關(guān)系外，還會(huì)相互影響。在第j坐標(biāo)的激勵(lì)下引起第坐標(biāo)的響應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)分別為和。它們之間的相互關(guān)系構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣。類似單自由度系統(tǒng)，在矩陣表達(dá)方式下，它們有如下關(guān)系：下面即以結(jié)合實(shí)例的方式來推導(dǎo)多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)。現(xiàn)考慮圖5.10所示多輸入多自由度系統(tǒng)。圖5.10