1、第12章 動 能 定 理12.1 力的功力的功12.2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能12.3 動能定理動能定理12.4 功率、功率方程及機(jī)械效率功率、功率方程及機(jī)械效率12.5 勢力場、位能及機(jī)械能守恒定律勢力場、位能及機(jī)械能守恒定律12.6 動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用12.1 力的功力的功12.1.1 常力的功常力的功 設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點M在常力在常力F作用下沿直線從點作用下沿直線從點M1運(yùn)動到點運(yùn)動到點M2有有一位移一位移s，如圖所示，則力，如圖所示，則力F所做的功為所做的功為 cosFsW M F 2M 1M s 式中，式中，為力為力F與力的作用點的位移與力的作用

2、點的位移s之間的夾角。上式可寫成之間的夾角。上式可寫成 SWF 當(dāng)當(dāng)0，力做正功；當(dāng)，力做正功；當(dāng)90o時，時，W0，力做，力做負(fù)功；當(dāng)負(fù)功；當(dāng)=90o時，時，W=0, ,力不做功或做功為零。功是代數(shù)力不做功或做功為零。功是代數(shù)量，功的單位是量，功的單位是J(J(焦耳焦耳) )，1J=1Nm。 12.1.2 變力的功變力的功 dr F M M1 M2 M 設(shè)有質(zhì)點設(shè)有質(zhì)點M在變力在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動，如圖所示。由的作用下沿曲線運(yùn)動，如圖所示。由于于F是變力，因而把是變力，因而把M1M2分成無數(shù)微小的位移，于是力在分成無數(shù)微小的位移，于是力在微小位移微小位移dr 中所做的功稱為力的元功中所

3、做的功稱為力的元功, ,即即 dW Fr 作用于物體的力使物體從作用于物體的力使物體從點點M1移動到移動到M2，在此位移過，在此位移過程中做的功為程中做的功為 2211 12 dMMMMWWFr， 由于由于 ， ，故有，故有 xyzFFFFijkddddxyzrijk21 12 (ddd )MxyzMWFxFyFz12.1.3 常見力的功1重力的功重力的功 M gm M1 M2 x zy O 設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點M的重力為的重力為mg，沿曲線由，沿曲線由M1運(yùn)動到運(yùn)動到M2，如圖所示。因為重力，如圖所示。因為重力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx=Fy=0, ,Fz=-=-mg，

4、故重力的功為，故重力的功為 211212d M MWmg zmg( zz )mgh式中，式中，h為質(zhì)點始點位置為質(zhì)點始點位置M1與終點位置與終點位置M2的高度差。的高度差。 M gm M1 M2 x zy O 重力的功等于質(zhì)點的重量與質(zhì)重力的功等于質(zhì)點的重量與質(zhì)點始末位置高度差的乘積，與質(zhì)點點始末位置高度差的乘積，與質(zhì)點運(yùn)動的路徑無關(guān)。運(yùn)動的路徑無關(guān)。 若質(zhì)點下降，重力的功為正；若質(zhì)點下降，重力的功為正；若質(zhì)點上升，重力的功為負(fù)。若質(zhì)點上升，重力的功為負(fù)。 對于質(zhì)點系，重力的功等于各質(zhì)點的重力功的和，即對于質(zhì)點系，重力的功等于各質(zhì)點的重力功的和，即 )(2112iiizzgmW上式也可寫為上式

5、也可寫為)(2112CCzzmgW2彈力的功彈力的功 dr M F M2 O M1 r r1 r2 ， 設(shè)有一根剛度系數(shù)為設(shè)有一根剛度系數(shù)為k，自由，自由長為長為l0的彈簧的彈簧, , 一端固定于點一端固定于點O, , 另一端與物體相連接，如圖所示。另一端與物體相連接，如圖所示。求物體由求物體由M1移動到移動到M2過程中，彈過程中，彈力力F所做的功。所做的功。 0()k rlr rF彈性力為彈性力為000d()d()d()Wk rlk rlrlrrFrr = -彈性力的元功為彈性力的元功為， dr M F M2 O M1 r r1 r2 ， 22112212001020()d()()() 2

6、M r M rkWWk rlrlrlrl物體由物體由M1移動到移動到M2過程中，彈力過程中，彈力F所做的功所做的功， )(2222112kW 引入引入 ， 分別為兩位置分別為兩位置M1和和M2彈簧的變形，則彈簧的變形，則011lr 022lr 3定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功 z O R v F 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體上設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體上一一點處作用有一個力點處作用有一個力F，如圖所示。，如圖所示。剛體轉(zhuǎn)過剛體轉(zhuǎn)過 ，作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力的元功可表示為，作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力的元功可表示為 dcosdcosdWFsFR而而 Mz(F)=FRcos，故元功又可表示為，故元功又可表示為

7、dzWM 剛體由初始位置剛體由初始位置 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 時，時，作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力所做的功可作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力所做的功可表示為表示為 21221112d M z M WWM)(1212zMW當(dāng)當(dāng)Mz為常數(shù)時，上式可表示為為常數(shù)時，上式可表示為 x gm 1M 0M M 0l s O x NF gm F F M 【例【例12-112-1】 質(zhì)量為質(zhì)量為m=10kg的物體，放在傾角為的物體，放在傾角為=30o 的斜的斜面上，用剛度系數(shù)為面上，用剛度系數(shù)為k=100N/m的彈簧系住，如圖所示。斜的彈簧系住，如圖所示。斜面與物體間的動摩擦系數(shù)面與物體間的動摩擦系數(shù) f=0.2，試求物體由彈簧原長位，

8、試求物體由彈簧原長位置置M0 沿斜面運(yùn)動到沿斜面運(yùn)動到M1 時，作用于物體上的各力在路程時，作用于物體上的各力在路程s=0.5m上的功及合力的功。上的功及合力的功。 解：取物體解：取物體M為研究對象，作用于為研究對象，作用于M上的有重力上的有重力mg，斜面的法向反力斜面的法向反力FN，摩擦力，摩擦力F 以及彈簧力以及彈簧力F，各力所做，各力所做的功及合力的功為的功及合力的功為 30sin109.80.50.524.5JGWmgs30cos8.5JFWF sfmgs 222121100()(00.5 )12.5J22FWk 245 0 85 12535iWW. J x gm 1M 0M M 0l

9、 s O x NF gm F F M 0NFW12.2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能12.2.1 質(zhì)點的動能12.2.2 質(zhì)點系的動能 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點，某瞬時的速度為的質(zhì)點，某瞬時的速度為v，則質(zhì)點質(zhì)量與，則質(zhì)點質(zhì)量與其速度平方乘積的一半，稱為質(zhì)點在該瞬時的動能，以其速度平方乘積的一半，稱為質(zhì)點在該瞬時的動能，以T 表示，即表示，即 212Tmv 動能是一個永為正值的標(biāo)量，其單位是動能是一個永為正值的標(biāo)量，其單位是J( (焦耳焦耳) )，與功的單位相同。與功的單位相同。 質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的總和為質(zhì)點系的動能，記作質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的總和為質(zhì)點系的動能，記作 212i iTm

10、v1剛體平動的動能 剛體是由無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點系。剛體做不同的運(yùn)動時，剛體是由無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點系。剛體做不同的運(yùn)動時，各質(zhì)點的速度分布不同，剛體的動能應(yīng)按照剛體的運(yùn)動形各質(zhì)點的速度分布不同，剛體的動能應(yīng)按照剛體的運(yùn)動形式來計算。式來計算。 剛體平動時，其內(nèi)各質(zhì)點的瞬時速度都相同，其動能為剛體平動時，其內(nèi)各質(zhì)點的瞬時速度都相同，其動能為 222111222iiCiCTm vvmmv 式中式中，m=mi 為剛體的質(zhì)量，即做平動剛體的動能等為剛體的質(zhì)量，即做平動剛體的動能等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半。于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半。 z x y iM iv ri O 2. 定軸

11、轉(zhuǎn)動剛體的動能 剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動，某瞬時剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動，某瞬時的角速度為的角速度為，如圖所示。剛，如圖所示。剛體內(nèi)任一點的質(zhì)量為體內(nèi)任一點的質(zhì)量為mi，離轉(zhuǎn)，離轉(zhuǎn)軸的距離為軸的距離為ri，速度為，速度為vi=ri，可得可得 2221122i ii iTmvmr即即212zTJ 式中，式中， 為剛體對為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，即做定軸軸的轉(zhuǎn)動慣量，即做定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半。方乘積的一半。 2iizrmJ3平面運(yùn)動剛體的動能平面運(yùn)動剛體的動能 Cr Cv P C 剛體做平面運(yùn)動，其質(zhì)量為剛體做平面運(yùn)動，其

12、質(zhì)量為m，某瞬時的速度瞬心為，某瞬時的速度瞬心為P，質(zhì)心為質(zhì)心為C，角速度為，角速度為，如圖所示。此時可視剛體繞瞬心，如圖所示。此時可視剛體繞瞬心軸轉(zhuǎn)動，其動能為軸轉(zhuǎn)動，其動能為 221PJT 上式中的上式中的JP是剛體對于瞬時軸的是剛體對于瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量。如點轉(zhuǎn)動慣量。如點C為剛體的質(zhì)心，根為剛體的質(zhì)心，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理，有據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理，有 222111222PCCTJJmv 式中，式中，JC為剛體對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，為剛體對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，vC為質(zhì)心的速度，為質(zhì)心的速度，即做平面運(yùn)動剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)即做平面運(yùn)動剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能

13、與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和。心轉(zhuǎn)動的動能的和。 v g1m B A 解：取系統(tǒng)為研究對象，其中解：取系統(tǒng)為研究對象，其中重物做平動，滑輪做定軸轉(zhuǎn)動，滾重物做平動，滑輪做定軸轉(zhuǎn)動，滾子做平面運(yùn)動，系統(tǒng)的動能為子做平面運(yùn)動，系統(tǒng)的動能為 【例【例12-212-2】 滾子滾子A的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，沿傾角為，沿傾角為的斜面做純滾動，的斜面做純滾動，滾子借繩子跨過滑輪滾子借繩子跨過滑輪B連接質(zhì)量為連接質(zhì)量為m1的物體，如圖所示。滾的物體，如圖所示。滾子與滑輪質(zhì)量相等，半徑相同，皆為均質(zhì)圓盤，此瞬時物體子與滑輪質(zhì)量相等，半徑相同，皆為均質(zhì)圓盤，此瞬時物體的速度為的速度為v，繩不可伸長，質(zhì)量不計，求系統(tǒng)的動能。

14、，繩不可伸長，質(zhì)量不計，求系統(tǒng)的動能。 2222111112222ATm vJmvJBA 根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系 ，且有，且有 ，代入上式有，代入上式有212ABJJmrAvvr222222211221111111()2222222vvTmvmrmvmrmm vrr12.3 動動 能能 定定 理理12.3.1 質(zhì)點的動能定理牛頓第二定律可表示為上式兩邊同時點乘牛頓第二定律可表示為上式兩邊同時點乘dr，可得，可得ddddmtvrFr即即mv dv=F dr上式也可表示為上式也可表示為 21d()2m vW 上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點

15、動能的增量等于作用于質(zhì)點的力的元功。量等于作用于質(zhì)點的力的元功。 兩邊同時積分，可得兩邊同時積分，可得221121d()2 vM vMmvW 即即2221121122mvmvW 上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式，即質(zhì)點由初始位上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式，即質(zhì)點由初始位置運(yùn)動到終了位置質(zhì)點動能的改變等于作用于質(zhì)點的力在置運(yùn)動到終了位置質(zhì)點動能的改變等于作用于質(zhì)點的力在這段位移上所做的功。這段位移上所做的功。 12.3.2 質(zhì)點系的動能定理 對于由對于由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，對第每一個質(zhì)點都應(yīng)用個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，對第每一個質(zhì)點都應(yīng)用動能定理，然后將動能定理，然后將n個方程兩邊相加，可得個方程兩

16、邊相加，可得 2111d()2nniiiiim vW即即1dniiTW 上式稱為質(zhì)點系的動能定理的微分形式，即質(zhì)點系的上式稱為質(zhì)點系的動能定理的微分形式，即質(zhì)點系的動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所做的元功的和。動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所做的元功的和。 兩邊同時積分，可得兩邊同時積分，可得 211dnTiTiTWniiWTT112即即 上式稱為質(zhì)點系動能定理的積分形式，即質(zhì)點系在某一上式稱為質(zhì)點系動能定理的積分形式，即質(zhì)點系在某一運(yùn)動過程中，動能的改變量等于作用于質(zhì)點系的全部力在運(yùn)動過程中，動能的改變量等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所做功的和。這段過程中所做功的和。 12.3

17、.2 動能定理的實例12.3.3 理想約束及內(nèi)力的功1理想約束2內(nèi)力的功 作用于質(zhì)點系的力既有外力，也有內(nèi)力，一般情況下，作用于質(zhì)點系的力既有外力，也有內(nèi)力，一般情況下，內(nèi)力做功的和不為零。如汽車發(fā)動機(jī)的汽缸內(nèi)氣體對活塞內(nèi)力做功的和不為零。如汽車發(fā)動機(jī)的汽缸內(nèi)氣體對活塞和汽缸的作用力都是內(nèi)力，內(nèi)力功的和不等于零，內(nèi)力的和汽缸的作用力都是內(nèi)力，內(nèi)力功的和不等于零，內(nèi)力的功使汽車的動能增加。功使汽車的動能增加。 約束反力做功等于零的約束稱為理想約束。光滑面約約束反力做功等于零的約束稱為理想約束。光滑面約束、光滑鉸鏈、固定端約束及不可伸長的繩索約束都是理束、光滑鉸鏈、固定端約束及不可伸長的繩索約束都

18、是理想約束。想約束。 解：選擇重物解：選擇重物A A和鼓輪組和鼓輪組成的系統(tǒng)為研究對象，分成的系統(tǒng)為研究對象，分析受力和運(yùn)動如圖所示。析受力和運(yùn)動如圖所示。應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理有應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理有 Q SF Aa Av OyF OxF M P NF O A 【例【例12-312-3】在鉸車的鼓輪上作用一個常力偶，其矩為】在鉸車的鼓輪上作用一個常力偶，其矩為M，鼓輪半徑為鼓輪半徑為r，重量為，重量為P，如圖所示。繞在鼓輪上的鋼繩的，如圖所示。繞在鼓輪上的鋼繩的一端一端A系一重量為系一重量為Q的重物，沿著與水平傾角為的重物，沿著與水平傾角為的斜面上的斜面上升。試求鉸車的鼓輪轉(zhuǎn)過升。試求鉸車的鼓

19、輪轉(zhuǎn)過 角時重物上升的速度與加速度。角時重物上升的速度與加速度。重物與斜面間的滑動摩擦系數(shù)為重物與斜面間的滑動摩擦系數(shù)為f，鋼繩重量不計，鼓輪可，鋼繩重量不計，鼓輪可視為均質(zhì)圓柱體，系統(tǒng)初始靜止。視為均質(zhì)圓柱體，系統(tǒng)初始靜止。 21iTTW由于系統(tǒng)初始靜止，故有由于系統(tǒng)初始靜止，故有 01T鉸車的鼓輪轉(zhuǎn)過鉸車的鼓輪轉(zhuǎn)過 角時，系統(tǒng)的動能為角時，系統(tǒng)的動能為 22221111()2242OAAQPQTJvvggg 鉸車的鼓輪轉(zhuǎn)過鉸車的鼓輪轉(zhuǎn)過 角時，角時，系統(tǒng)所受的全部力做功為系統(tǒng)所受的全部力做功為 sincosiWMQrfQr(sincos )MQrfQr 代入動能定理，有代入動能定理，有21

20、1(sincos)42APQvMQrfQrgg (a) Q SF Aa Av OyF OxF M P NF O A 即可求得重物上升的速度即可求得重物上升的速度 (sincos )22AMQrfgvPQ對式對式(a)兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得 112(sincos )42AAAvPQvaM QrfQrggr求出重物上升的加速度為求出重物上升的加速度為 2(sincos)(2 )AMQrfQrgaPQ r 1 M g1m OxF SF NF Cvg2m O 2 OyF C 【例【例12-4】 鼓輪在常力偶鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉，的作用下將圓柱沿斜坡上拉，已知鼓輪的半徑為已知

21、鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為，質(zhì)量為m2 2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為傾角為，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動，求圓柱，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動，求圓柱中心中心C經(jīng)過路程經(jīng)過路程s時的速度。時的速度。 解：由于系統(tǒng)初始靜止，故有解：由于系統(tǒng)初始靜止，故有 T1=0 圓柱中心圓柱中心C經(jīng)過路程經(jīng)過路程s時系統(tǒng)的動能為時系統(tǒng)的動能為2222122111222OCCTJJm v2222221 1122221211 1122 221(23)4CCmRm Rm vmm v 圓柱中心圓柱

22、中心C經(jīng)過路程經(jīng)過路程s 時，時，系統(tǒng)所受全部力做功為系統(tǒng)所受全部力做功為 2211sin(sin )isMWMm gsm gsRR 代入動能定理，有代入動能定理，有221121(sin )1(23)4CMm gRsmm vR即可求得圓柱中心即可求得圓柱中心C上升的速度上升的速度21121(sin )2(23)CMm gRsvmm R 1 M g1m OxF SF NF Cvg2m O 2 OyF C ROF g1m gm r1 r2 O A g2m B 1v 2v 【例【例12-6】質(zhì)量為】質(zhì)量為m1、m2的兩重物，的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩子又分別繞分別掛在兩條繩子上，繩子又分別繞在

23、半徑為在半徑為r1、r2并裝在同一軸的兩鼓輪并裝在同一軸的兩鼓輪上。已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量上。已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為為JO , ,系統(tǒng)在重力作用下產(chǎn)生運(yùn)動，求系統(tǒng)在重力作用下產(chǎn)生運(yùn)動，求鼓輪的角加速度。鼓輪的角加速度。 解：取整體為研究對象，受力分解：取整體為研究對象，受力分析如圖所示。系統(tǒng)對析如圖所示。系統(tǒng)對O點的動量矩為點的動量矩為 221 1 12 2 201 12 2()OOLmv rm v rJmrm rJ系統(tǒng)所受全部外力對系統(tǒng)所受全部外力對O點的動量矩為點的動量矩為 e1122()OMm grm grFed()dOOLMtF質(zhì)點系的動量矩定理為質(zhì)點系的動量矩定理為gJ

24、rmrmrmrm02222112211鼓輪的角加速度為鼓輪的角加速度為 本題也可采用動能定理求解未知本題也可采用動能定理求解未知量。由于系統(tǒng)初始靜止，故初始時量。由于系統(tǒng)初始靜止，故初始時系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動能為 01T鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過 角度時，系統(tǒng)的動能為角度時，系統(tǒng)的動能為 ROF g1m gm r1 r2 O A g2m B 1v 2v 22222221 12 20112 201111()2222TmvmvJmrm rJ鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過 角度時，只有兩重力角度時，只有兩重力m1g和和m2g做功，做功，它們做功的和為它們做功的和為 11221 12 2()iWm g

25、sm gsm rm rg由質(zhì)點系的動能定理由質(zhì)點系的動能定理 T2-T1=Wi ，有，有g(shù)rmrmJrmrm)()(21221120221211兩邊同時對時間求導(dǎo)，可得鼓輪的角加速度兩邊同時對時間求導(dǎo)，可得鼓輪的角加速度gJrmrmrmrm02222112211 ROF g1m gm r1 r2 O A g2m B 1v 2v 12.4 功率、功率方程及機(jī)械效率12.4.1 功率功率 設(shè)作用于質(zhì)點上的力為設(shè)作用于質(zhì)點上的力為F，在，在dt 時間內(nèi)力時間內(nèi)力F 的元功為的元功為W，質(zhì)點速度為，質(zhì)點速度為v，則功率，則功率P 可表示為可表示為 dddWPFtt rFF vv 上式表明：作用于質(zhì)點上

26、力的功率，等于力在速度方向上上式表明：作用于質(zhì)點上力的功率，等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。功率的單位是的投影與速度的乘積。功率的單位是W( (瓦特瓦特) )，1W=1J/s。 如果功是用力矩如果功是用力矩( (或力偶矩或力偶矩) )計算的，由元功表達(dá)式計算的，由元功表達(dá)式 的關(guān)系式有的關(guān)系式有 dWMdddWPMMtt 上式表明：作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力上式表明：作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力( (或力偶或力偶) )的功率，的功率，等于力對軸的矩等于力對軸的矩( (或力偶矩或力偶矩) )與剛體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。與剛體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。 12.4.2 功率方程取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以取

27、質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得，得 無用有用輸入PPPPtTnii1dd 上式稱為功率方程，即質(zhì)點系的動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，上式稱為功率方程，即質(zhì)點系的動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。上式也可改等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。上式也可改寫為寫為 無用有用輸入PtTPPdd 在工程中，把有效功率與輸入功率的比值稱為機(jī)器在工程中，把有效功率與輸入功率的比值稱為機(jī)器的機(jī)械效率，用的機(jī)械效率，用表示，即表示，即 100%PP有效輸入 式中，有效功率式中，有效功率 ?？梢?，機(jī)械效率。可見，機(jī)械效率表明表明機(jī)器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機(jī)器質(zhì)量好壞

28、機(jī)器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。的指標(biāo)之一。 ddTPPt有效有用12.5 勢力場、位能及機(jī)械能守恒定律勢力場、位能及機(jī)械能守恒定律12.5.1 勢力場勢力場 若質(zhì)點在空間所受力的大小和方向完全由若質(zhì)點在空間所受力的大小和方向完全由質(zhì)點在空間質(zhì)點在空間的位置的位置所決定所決定, ,則此空間稱為力場，質(zhì)點所受的力稱為場力。則此空間稱為力場，質(zhì)點所受的力稱為場力。 若場力所做的功若場力所做的功只只與質(zhì)點運(yùn)動的初始和終止位置有關(guān)，與質(zhì)點運(yùn)動的初始和終止位置有關(guān)，而與質(zhì)點所經(jīng)過的路程而與質(zhì)點所經(jīng)過的路程無關(guān)無關(guān)，則此力場稱為勢力場或保守，則此力場稱為勢力場或保守力場力場,

29、 ,質(zhì)點所受的力稱為有勢力或保守力。質(zhì)點所受的力稱為有勢力或保守力。12.5.2 位能 在勢力場中，物體從位置在勢力場中，物體從位置M 運(yùn)動到任選的位置運(yùn)動到任選的位置M0，有勢，有勢力所做的功稱為物體在點力所做的功稱為物體在點M 相對于點相對于點M0 的位能。用的位能。用V 表示。表示。 00d(ddd )MMMMxyzVF xF yF zFr點點M0的位能的位能00 d0 MMV Fr稱為零位能，稱為零位能，M0 稱為零位能點。幾種常見的位能如下。稱為零位能點。幾種常見的位能如下。 1重力位能 M mg M0 z y x O 在重力場中，設(shè)坐標(biāo)軸如圖在重力場中，設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示。取所示。取

30、M0 為零位能點，則點為零位能點，則點M的位能為的位能為 00 ()d() zzVmgzmg zz2彈性力位能彈性力位能 0l M 0M 0 設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接，如圖所示。設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接，如圖所示。彈簧的剛度系數(shù)為彈簧的剛度系數(shù)為k，取，取M0 為零位能點，則點為零位能點，則點M的位能為的位能為 2200()d()2k Vkx x 若以自然位置為零位能點，即若以自然位置為零位能點，即0=0，則有，則有212Vk 12.5.3 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 質(zhì)點系在某瞬時的動能和位能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。質(zhì)點系在某瞬時的動能和位能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。設(shè)質(zhì)點系在運(yùn)

31、動過程中的初始和終止瞬時的動能分別為設(shè)質(zhì)點系在運(yùn)動過程中的初始和終止瞬時的動能分別為T1、T2，所受力在這過程中所做的功為，所受力在這過程中所做的功為W12，根據(jù)動能定理有，根據(jù)動能定理有 1212WTT 如系統(tǒng)運(yùn)動中，只有有勢力做功，而有勢力的功如系統(tǒng)運(yùn)動中，只有有勢力做功，而有勢力的功可用位能計算，即可用位能計算，即 2112VVW故有故有211212VVWTT移項后得移項后得2211VTVT 上式就是機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即質(zhì)點系僅在上式就是機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即質(zhì)點系僅在有勢力作用下運(yùn)動，其機(jī)械能保持不變。有勢力作用下運(yùn)動，其機(jī)械能保持不變。 W R s 【例【例12-7

32、】重量為】重量為W，半徑為，半徑為R R的均質(zhì)圓柱形滾子可沿與水的均質(zhì)圓柱形滾子可沿與水平成傾角平成傾角的斜面做作無滑動的滾動，如圖所示。在滾子的斜面做作無滑動的滾動，如圖所示。在滾子中心中心C 連接一剛度系數(shù)為連接一剛度系數(shù)為k 的彈簧，設(shè)初始時滾子處于靜止，的彈簧，設(shè)初始時滾子處于靜止，此時彈簧無變形。試求滾子中心此時彈簧無變形。試求滾子中心C 沿斜面經(jīng)過路程沿斜面經(jīng)過路程s 時的速時的速度。度。 解：取滾子為研究對象。作解：取滾子為研究對象。作用于滾子上做功的力有重力和彈用于滾子上做功的力有重力和彈簧力，它們都是有勢力，因而屬簧力，它們都是有勢力，因而屬于機(jī)械能守恒問題。因為初始和于機(jī)械

33、能守恒問題。因為初始和終止瞬時的動能分別為終止瞬時的動能分別為 2222113224CWWTvJvgg10T 選定滾子靜止時的位置為重力和彈簧位能的零位能選定滾子靜止時的位置為重力和彈簧位能的零位能位置，于是初始和終止的位能為位置，于是初始和終止的位能為 221(sin)2VksWs 10V 根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有 22310(sin )42WvksWsg 解得滾子中心解得滾子中心C C沿斜面經(jīng)過路程沿斜面經(jīng)過路程s 時的速度大小為時的速度大小為 2(2sin)3gs WksvW W R s 12.6 動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 (2) (2) 動量定理動量定理( (質(zhì)心運(yùn)

34、動定理質(zhì)心運(yùn)動定理) )和動量矩定理聯(lián)合應(yīng)用。和動量矩定理聯(lián)合應(yīng)用。先用動量矩定理求系統(tǒng)的運(yùn)動，后用動量定理先用動量矩定理求系統(tǒng)的運(yùn)動，后用動量定理( (質(zhì)心運(yùn)動定質(zhì)心運(yùn)動定理理) )求系統(tǒng)的約束反力。求系統(tǒng)的約束反力。 質(zhì)點和質(zhì)點系動力學(xué)普遍定理包括動量定理、動量矩定質(zhì)點和質(zhì)點系動力學(xué)普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。若遇到已知主動力而欲求系統(tǒng)的運(yùn)動及約束理和動能定理。若遇到已知主動力而欲求系統(tǒng)的運(yùn)動及約束反力，則需要綜合應(yīng)用這些定理。一般常用方法如下：反力，則需要綜合應(yīng)用這些定理。一般常用方法如下： (1)(1) 動量定理動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理)和動能定理聯(lián)合應(yīng)用。先用和動能定理聯(lián)合應(yīng)用。先用動能定理求系統(tǒng)的運(yùn)動，后用動量定理動能定理求系統(tǒng)的運(yùn)動，后用動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理)求求系統(tǒng)的約束反力。系統(tǒng)的約束反力。 M 1O TF yO1F xO1F TF SF NF P M 1O 2O P NF SF yO1F xO1F 2O xF 2O yF 【例【例12-8】如圖所示為高爐上料卷揚(yáng)機(jī)，卷筒繞】如圖所示為高爐上料卷揚(yáng)機(jī)，卷筒繞O1 1軸轉(zhuǎn)動，軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑為，半徑為R，在其上作用一力偶矩，在其上作用一力偶矩M。已知料。已知料斗重量為斗重