1、第七章第七章 相關分析相關分析n一、相關的意義一、相關的意義n二、積差相關二、積差相關n三、等級相關三、等級相關n四、四、質與量相關質與量相關n五、品質相關五、品質相關一、相關的意義一、相關的意義n1、相關的概念、相關的概念n2、 相關系數(shù)相關系數(shù)n 相關的概念相關的概念n兩變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關系稱為相關兩變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關系稱為相關關系。它與函數(shù)關系的區(qū)別就在于兩個變量值不關系。它與函數(shù)關系的區(qū)別就在于兩個變量值不是一一對應得那樣精確、穩(wěn)定。是一一對應得那樣精確、穩(wěn)定。n 兩個變量之間的變化關系，既表現(xiàn)在變化方向上，又兩個變量之間的變化關系，既表現(xiàn)在變化方向上，又表現(xiàn)在

2、密切程度上。表現(xiàn)在密切程度上。n 從變化方向來看，兩個變量間有以下幾種關系：從變化方向來看，兩個變量間有以下幾種關系：n（1）正相關：兩個變量的變化方向一致，即一個變量值）正相關：兩個變量的變化方向一致，即一個變量值變大時，另一個變量也隨之變大；反之，亦然。變大時，另一個變量也隨之變大；反之，亦然。n（2）負相關：兩個變量的變化方向相反，即一個變量值）負相關：兩個變量的變化方向相反，即一個變量值變大時，另一個變量值隨之變??；反之，亦然。變大時，另一個變量值隨之變小；反之，亦然。n（3）零相關：兩個變量值變化方向無一定規(guī)律，即一個）零相關：兩個變量值變化方向無一定規(guī)律，即一個變量值變大時，另一個

3、變量做無規(guī)律的變化。變量值變大時，另一個變量做無規(guī)律的變化。關于散點圖關于散點圖n如果觀察所獲得的資料是兩個變量的成對如果觀察所獲得的資料是兩個變量的成對n數(shù)據(jù)，那么每一對觀察值都可以用直角坐數(shù)據(jù)，那么每一對觀察值都可以用直角坐n標系中的一個點標系中的一個點（x , y）來表示，來表示，n個對象個對象n的觀察結果就可以用的觀察結果就可以用n個散點來表示。這就個散點來表示。這就n是描繪雙變量分布狀況的散點圖。是描繪雙變量分布狀況的散點圖。散點圖（一）散點圖（一）智商1301201101009080身高170160150140身高身高（厘米）（厘米）145143150156148160154141

4、155148150158智商智商（分）（分）1001109012010010511098102908998散點圖（二）散點圖（二）智商1301201101009080成績10090807060成績成績（分）（分）859075908485807580756468智商智商（分）（分）1001109012010010511098102908998畫散點圖X4 5 6 7 8Y1 4 3 5 6 X4 5 6 7 8 Y3 5 4 2 1X1 2 3 4 5 Y1 2 3 4 5 X1 2 3 4 5Y5 4 3 2 1X1.5 1.8 2.8 2.8 3.5Y2 3 1.5 4 2.8相關系數(shù)n用來

5、描述兩個變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相用來描述兩個變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關系數(shù)。一般，樣本相關系數(shù)用關系數(shù)。一般，樣本相關系數(shù)用r表示。表示。n相關系數(shù)的取值范圍是在相關系數(shù)的取值范圍是在-1到到+1之間，之間，-1r1。n“+”“-”號表示變化方向。號表示變化方向。“+”表示變化方向一致，即正相關。表示變化方向一致，即正相關?！?”表示變化方向相反，即負相關。表示變化方向相反，即負相關。nr的絕對值表示兩個變量之間的密切程度（即強度）。的絕對值表示兩個變量之間的密切程度（即強度）。n注意注意:n1.相關系數(shù)僅僅是一個比值。它不是由相等單位度量而來的

6、，不等距，相關系數(shù)僅僅是一個比值。它不是由相等單位度量而來的，不等距，也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運算。也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運算。n2.相關系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭相關系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內在本質聯(lián)系。示兩者之間的內在本質聯(lián)系。n3.存在相關的兩個變量，也不一定存在因果關系。存在相關的兩個變量，也不一定存在因果關系。二、積差相關二、積差相關n1、積差相關的概念、積差相關的概念n2、積差相關的使用條件、積差相關的使用條件n3、積差相關系數(shù)的公式、積差相關系數(shù)的公式n4、總體相關系數(shù)

7、的區(qū)間估計、總體相關系數(shù)的區(qū)間估計n5、相關的顯著性檢驗、相關的顯著性檢驗n6、相關系數(shù)差異的顯著性檢驗、相關系數(shù)差異的顯著性檢驗積差相關的概念積差相關的概念n當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關系時，表示這兩個變量者之間呈線性關系時，表示這兩個變量之間的相關稱為積差相關。之間的相關稱為積差相關。積差相關系數(shù)的公式2222222)()(/)(/)(/)(1)(2 YYnXXnYXXYnrnYYnXXnYXXYrZZnrSnSYYXXrYXYX或者用原始公式計算：數(shù)：用標準分數(shù)計算相關系定義公式：計算相關系數(shù)X4 5 6 7 8Y1 4 3 5 6

8、X4 5 6 7 8 Y3 5 4 2 1X1 2 3 4 5 Y1 2 3 4 5 X1 2 3 4 5Y5 4 3 2 1X1.5 1.8 2.8 2.8 3.5Y2 3 1.5 4 2.8n0.904n-0.7n1n-1n0.196積差相關的使用條件積差相關的使用條件n1、兩個變量都是由測量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)。、兩個變量都是由測量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)。n2、兩個變量的總體都呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱、兩個變量的總體都呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱分布。分布。n3、必須是成對的數(shù)據(jù)，而且每對數(shù)據(jù)之間相互獨立，即每對分數(shù)與其、必須是成對的數(shù)據(jù)，而且每對數(shù)據(jù)之間相互獨立，

9、即每對分數(shù)與其他對子沒有關系，相互獨立。他對子沒有關系，相互獨立。n4、兩個變量之間呈線形關系。這可由散點圖來做初步分析。、兩個變量之間呈線形關系。這可由散點圖來做初步分析。n5、要排除共變因素的影響。、要排除共變因素的影響。n6、樣本容量要、樣本容量要30，計算出的積差相關系數(shù)才具有有效意義。，計算出的積差相關系數(shù)才具有有效意義。n例例偏相關偏相關n偏相關（偏相關（partial correlation），也稱純相關或凈相關，指在計算兩個連續(xù)），也稱純相關或凈相關，指在計算兩個連續(xù)變量變量X1與與X2的相關時，將第三個變量的相關時，將第三個變量X3或其他多個變量的影響，即或其他多個變量的影響

10、，即r13和和r23予以排除之后，予以排除之后，X1與與X2這兩個變量之間的純凈相關，用符號這兩個變量之間的純凈相關，用符號r12.3表示，點號表示，點號左邊的兩個下標代表要求計算偏相關的兩個變量，點號右邊的下標表示要消左邊的兩個下標代表要求計算偏相關的兩個變量，點號右邊的下標表示要消除其影響的變量。除其影響的變量。n偏相關的公式如下：偏相關的公式如下：)1)(1 (2232132313123 .12rrrrrr偏相關之例一（將學歷（將學歷XL作為控制變量，對兒童智商作為控制變量，對兒童智商IQ與母親年齡與母親年齡NL作偏相關分析）作偏相關分析）n對對12名兒童的智商名兒童的智商IQ、出生時母

11、親的年齡、出生時母親的年齡NL，以及母親的，以及母親的文化程度（接受正規(guī)教育的年限文化程度（接受正規(guī)教育的年限學齡）學齡） XL這三個變量這三個變量進行調查的結果如下表：進行調查的結果如下表：abcdefghijklIQ788294959697102 105 106 108 114 122NL202122252726282730323232XL699121212151616191922nr=0.934nr 12.3=0.0887偏相關系數(shù)的“階數(shù)”n一階偏相關系數(shù)一階偏相關系數(shù)只控制了一個只控制了一個“第三變量第三變量”；n二階偏相關系數(shù)二階偏相關系數(shù)控制了兩個控制了兩個“第三變量第三變量”；

12、n。n控制變量可以不止一個，而控制變量的數(shù)目就是偏相關系數(shù)控制變量可以不止一個，而控制變量的數(shù)目就是偏相關系數(shù)的階數(shù)。的階數(shù)。n不難理解，兩列變量之間的簡單相關系數(shù)是零階的不難理解，兩列變量之間的簡單相關系數(shù)是零階的“偏相關偏相關系數(shù)系數(shù)”，也就是說，它是在沒有控制任何條件的情況下考察，也就是說，它是在沒有控制任何條件的情況下考察兩種現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系。兩種現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系。n偏相關分析作為一種統(tǒng)計分析的手段，可以幫助我偏相關分析作為一種統(tǒng)計分析的手段，可以幫助我們們“透過現(xiàn)象看本質透過現(xiàn)象看本質”，更加深入地把握事物之間，更加深入地把握事物之間相互聯(lián)系的證據(jù)。相互聯(lián)系的證據(jù)。n偏相關分析既

13、可以幫助我們辨別虛假的偏相關分析既可以幫助我們辨別虛假的“偽相關偽相關”，也可以幫助我們發(fā)現(xiàn)被掩蔽了的也可以幫助我們發(fā)現(xiàn)被掩蔽了的“真相關真相關”。偏相關分析之例二（將工齡將工齡GL作為控制變量，對工資作為控制變量，對工資GZ與學歷與學歷XL作偏相關分析作偏相關分析。）abcdefghijklGZ800900100020001500220027003000280035001500950GL2141010201021202514XL161916161212191616162212nr=0.038(p0.05)nr 13.2=0.8177 (p0.01)練習n下表是20名學生某次期末考試的語文、數(shù)

14、學、外語三門課的成績，試求剔除了語文成績之后，20名學生的數(shù)學成績與外語成績的偏相關系數(shù)。編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20語文 91 88 83 70 84 92 78 87 82 77 66 69 74 93 86 84 77 73 89 71 數(shù)學 85 92 86 66 87 88 74 81 91 78 62 71 77 90 94 82 73 69 88 83 外語 93 92 81 64 84 91 72 80 85 73 64 67 62 88 84 78 61 74 85 62 n語文與數(shù)學：0.827n

15、語文與外語：0.900 n數(shù)學與外語：0.787積差相關例題積差相關例題成績成績（分）（分）859075908485807580756468智商智商（分）（分）1001109012010010511098102908998773. 08223. 78788. 812644)(YXSnSYYXXr總體相關系數(shù)的區(qū)間估計n1、樣本相關系數(shù)的抽樣分布n 只有當總體相關系數(shù)=0時，樣本相關系數(shù)的抽樣分布才接近正態(tài)（嚴格來說， =0時樣本相關系數(shù)r的分布為t分布）。當總體相關系數(shù)0時，樣本相關系數(shù)的抽樣分布呈偏態(tài)，概率分布函數(shù)較為復雜。n 將相關系數(shù)做轉換：n n那么無論總體相關系數(shù)是否等于零，樣本Z的

16、抽樣分布都近似地服從于正態(tài)分布。Zr的標準誤是：n 2、置信區(qū)間的確定：)11ln(21rrZr31nSrZ99. 0)3158. 23158. 2(95. 0)3196. 13196. 1(nZZnZPnZZnZPrrrr相關的顯著性檢驗之一：H0：=0的檢驗n如前所述，當總體相關系數(shù)=0時，樣本相關系數(shù)r的抽樣分布為t分布。此時樣本相關系數(shù)標準誤的估計值是n n檢驗統(tǒng)計量為：n自由度：n-2。 在實際應用中，通常是直接查積差相關系數(shù)顯著性臨界值表來斷定r是否顯著。n例：212nrSr212rnrSrtr例：n12名初二學生的智商與身高情況登記如下表。能否認為學生的智商確實與身高有關（身材矮

17、小者較聰明或者相反）？身高（厘米）145143150156148160154141155148150158智商（分）1001109012010010511098102908998著。經檢驗，相關系數(shù)不顯267. 0r相關的顯著性檢驗之二：H0：=0的檢驗n虛無假設意指：在總體中兩個變量之間存在某種程度的線性相關，而樣本的相關系數(shù)r0是由于抽樣的偶然誤差。n n檢驗統(tǒng)計量為：n例：31nZZZr例n據(jù)稱EPT與TOFEL兩種測驗的相關高達0.80。隨機抽取的40名被試，兩個測驗成績的相關系數(shù)r=0.75，據(jù)此能不能否定總體=0.80？n解：查表：r=0.75時，Zr=0.973n =0.80時，

18、Z=1.099n 。否定總體相關名被試的觀察結果不能根據(jù)，所以保留虛無假設，因為計算檢驗統(tǒng)計量：80. 04096. 10.766Z766. 03401099. 1973. 031Z05. 0ZnZZr相關系數(shù)差異的顯著性檢驗（一）n1、獨立樣本（r1和r2分別由彼此獨立的被試得到）之間樣本相關系數(shù)差異的顯著性檢驗n例：從某省隨機抽取的103名高考考生中，男56人，女47人。男生數(shù)、理兩科成績的相關系數(shù)r1=0.83，女生數(shù)、理兩科成績的相關系數(shù)r2=0.76。數(shù)、理兩科成績的相互關系是否存在顯著的性別差異？n解：31312121nnZZZrr96. 1941. 034713561996. 0

19、188. 131312121nnZZZrr相關系數(shù)差異的顯著性檢驗（二）n2、同組被試兩個相關系數(shù)差異的顯著性檢驗n這里只介紹同組被試的三個測驗，兩兩相關系數(shù)之差的顯著性檢驗。檢驗的虛無假設是:H0:12=13,檢驗統(tǒng)計量為：n檢驗統(tǒng)計量t的自由度df=n-3。n例：以某一權威測驗X1為效標考查新編制的兩套外語測驗X2、X3 的有效性。在容量n=303的標準化樣本中，求得三個測驗的兩兩相關系數(shù)分別是：r12=0.62;r13=0.51;r23=0.70。新編制的兩個測驗的效度是否有顯著的差別？n解：)1)(3()21 (2232313122232132121312rnrrrrrrrrt異。編測

20、驗的效度有顯著差拒絕虛無假設。兩個新顯著性水平上所以在因為根據(jù)01.0,60.2164.3,60.2,3003303164.3)1)(3()21(201.0232313122232132121312tdfrnrrrrrrrrt三、等級相關三、等級相關n1、斯皮爾曼等級相關、斯皮爾曼等級相關n2、肯德爾和諧系數(shù)、肯德爾和諧系數(shù)斯皮爾曼等級相關斯皮爾曼等級相關n1、概念及適用范圍、概念及適用范圍n當兩個變量值以等級次序排列或以等級次序表示時，兩個相應總體并不當兩個變量值以等級次序排列或以等級次序表示時，兩個相應總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表

21、示這兩個變量之間的，表示這兩個變量之間的相關，稱為等級相關。相關，稱為等級相關。n2、相關系數(shù)的計算、相關系數(shù)的計算n等級相關系數(shù)的顯著性檢驗方法與積差相關的相同。等級相關系數(shù)的顯著性檢驗方法與積差相關的相同。n例例。為各列變量相同等級數(shù)寫為成對數(shù)據(jù)的數(shù)目，小上面公式中，其中，相關的方法：有相同等級時計算等級nnnCCNNynnCCNNxyxDyxrNNDryyxxRCRN12) 1(,1212) 1(,12,2) 1(612322322222222例成績（分）成績（分） 859075908485807580756468智商（分）智商（分） 10011090120100105110981029

22、08998成績等級成績等級3.51.591.553.56.596.591211智商等級智商等級6.52.510.516.542.58.5510.5128.5D-3-1-1.50.5-1.5-0.54.00.51.5-1.502.5D2912.250.252.250.25160.252.252.2506.25差不多而其中，853. 0143124261) 1(61850. 01415 .1392421415 .1392212) 12(212) 12(212) 12(212) 12(212) 1(,14121432121212125 . 312) 13( 312) 12(212) 12(212)

23、12(212) 1(, 5 .1395 . 31435 . 312121212,22222222222223322222233222222NNDryxDyxrnnCCNNynnCCNNxyxDyxrRRCyyxxRC成績成績（分）（分）859075908485807580756468智商智商（分）（分）1001109012010010511098102908998肯德爾和諧系數(shù)肯德爾和諧系數(shù)n1、概念及使用范圍、概念及使用范圍n 當多個（兩個以上）變量值以等級次序排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間當多個（兩個以上）變量值以等級次序排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間一致性程度（即相關

24、）的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。它常用來表示幾個評定者對同一組學一致性程度（即相關）的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。它常用來表示幾個評定者對同一組學生學習成績等級評定的一致性程度或同一個評定者對同一組學生的學習成績用等級先后評生學習成績等級評定的一致性程度或同一個評定者對同一組學生的學習成績用等級先后評定多次之間的一致性程度。定多次之間的一致性程度。n2、相關系數(shù)的計算、相關系數(shù)的計算n例例為相同等級的數(shù)目其中，有相同等級的情況：其中，無相同等級的情況：nnnTTKNNKSSrNRRSSNNKSSrRWRRW,12)(121)(,)(1213322232例N=7 趙趙 錢錢 孫孫 李李 周周 (k=5)

25、 R Ri i R Ri i2 2蕭亞軒蕭亞軒1 1 1 1 1 1 1周杰倫周杰倫1 1 1 1 1 1 1 S.H.E1 1 1 1 1 1 1 蔡依琳蔡依琳1 1 1 1 1 1 1陳奕迅陳奕迅1 1 1 1 1 1 1潘瑋柏潘瑋柏1 1 1 1 1 1 1王王 菲菲1 1 1 1 1 1 1四、質與量相關四、質與量相關n1、點二列相關點二列相關n2、二列相關、二列相關點二列相關點二列相關n1、概念及適用范圍、概念及適用范圍n 當兩個變量其中一個是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個是真正的二分名義變量當兩個變量其中一個是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個是真正的二分名義變量時，表示這兩個變量之間的相關，稱為點二

26、列相關。時，表示這兩個變量之間的相關，稱為點二列相關。n2、相關系數(shù)的計算、相關系數(shù)的計算n例例pqSXXrtqppb例n14名男女學生某項技能測驗的成績如下表名男女學生某項技能測驗的成績如下表,試計算該技能測驗成績與試計算該技能測驗成績與性別的相關系數(shù)性別的相關系數(shù).男男 1女女 011111111000000總總和和成績成績X7968354628643677179.2,12214030.1)285.0(1214285.0120:285.0737403.283.400.605.0220tdfrnrtHpqSXXrpbpbtqppb點二列相關的應用點二列相關的應用 用于對測驗項目的區(qū)分度進行檢

27、驗。用于對測驗項目的區(qū)分度進行檢驗。n有一是非式選擇測驗，每題選對得有一是非式選擇測驗，每題選對得2分，共有分，共有50題，滿分題，滿分100分。下表所列為分。下表所列為20名學生在該測驗中的總成績及第名學生在該測驗中的總成績及第5題的選答情況。問這道題與測驗總分的相題的選答情況。問這道題與測驗總分的相關程度如何？關程度如何？學號學號 總分總分 第第5題題學號學號 總分總分 第第5題題1 84 對對2 82 錯錯3 76 錯錯4 60 錯錯5 72 錯錯6 74 錯錯7 76 錯錯8 84 對對9 88 對對10 90 對對 11 78 對對12 80 錯錯13 92 對對14 94 對對15

28、 96 對對16 88 對對17 90 對對18 78 錯錯19 76 錯錯20 74 錯錯785. 05 . 05 . 066 . 88 .744 .88pqSXXr66 . 8S, 8 .74X4,.88X, 5 . 02010q, 5 . 02010pS5X5X5q5p1010520Ntqppbt qpt qp則：根據(jù)題意得：準差為所有學生總成績的標績題學生的總分的平均成為答錯第績題學生的總分的平均成為答對第題學生的比率為答錯第題學生的比率為答對第設人，人，答錯的題答對的，第解：已知點二列相關與二列相關n相同之處： 都可用于計算題目的區(qū)分度。n區(qū)別：適用數(shù)據(jù)不同。n 點二列相關中的二分變

29、量是真正的二分變量，不是正態(tài)分布的；n 二列相關中的二分變量是由正態(tài)分布的連續(xù)性測量數(shù)據(jù)人為轉化來的。使用點二列相關和二列相關的總原則： 如果不是十分明確觀測數(shù)據(jù)的分布形態(tài)是否為正態(tài)分布，這時，不管觀測數(shù)據(jù)代表的是一個真正的二分變量，還是一個基于正態(tài)分布的人為二分變量，都應選用點二列相關。n只要有任何疑問，選用點二列相關總是較好的選擇。n在實際的研究當中，二列相關很少使用。練習n問下表中成績與性別是否有關？被試 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10性別 男 女 女 男 女 男 男 男 女 女成績 83 91 95 84 89 87 86 85 88 92 二列相關二列相關n1、概念及適用范

30、圍、概念及適用范圍n 當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個變量被人為地劃當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個變量被人為地劃分成二分變量，表示這兩個變量之間的相關，稱為二列相關。分成二分變量，表示這兩個變量之間的相關，稱為二列相關。n2、相關系數(shù)的計算、相關系數(shù)的計算n例例YpqSXXrtqPb例例成績成績（分）（分）859075908485807580756468智商智商（分）（分）1001109012010010511098102908998二分智商二分智商1212122121111525. 21212512739024. 01785. 0)1(Z785. 039024. 012512782

31、23. 78514.75npqYrYpqSXXrbtqpb顯著性檢驗：五、品質相關五、品質相關n兩個變量都是按質劃分成幾種類別，表示這兩個變量之間的關系稱為品兩個變量都是按質劃分成幾種類別，表示這兩個變量之間的關系稱為品質相關。質相關。n1、四分相關、四分相關n（適用于兩個變量都是連續(xù)變量，（適用于兩個變量都是連續(xù)變量，n且每一個變量都被認為地劃分為兩種類型。）且每一個變量都被認為地劃分為兩種類型。）n2、相關相關n（適用于兩個變量都是真正的二分變量）（適用于兩個變量都是真正的二分變量）n3 3、列聯(lián)相關、列聯(lián)相關n（當數(shù)據(jù)屬于（當數(shù)據(jù)屬于R RC C表的計數(shù)資料，表的計數(shù)資料，n欲分析二因素之間的相關程度，就要用列聯(lián)相關）欲分析二因素之間的相關程度，就要用列聯(lián)相關）)1180cos(bcadrot)()()(dcdbcababcadr22NC相關分析小結（一）相關分析小結（一）n1 1、相關分析就是用一個指標來反映