1、有關(guān)要點(diǎn)回顧有關(guān)要點(diǎn)回顧2.2.連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量所取的可能值可以連隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間, ,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量. .1.1.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量所取的可能值是有限隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無限可列個(gè)多個(gè)或無限可列個(gè), , 叫做離散型隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. . .離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律為為., 2, 1, kpxXPkk0,1,2,.,kpk 其其中中, 11kkp 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間, ,對這種類型的隨機(jī)變

2、量對這種類型的隨機(jī)變量, ,不能象離不能象離散型隨機(jī)變量那樣散型隨機(jī)變量那樣, ,以指定它取每個(gè)值概以指定它取每個(gè)值概率的方式率的方式, ,去給出其概率分布去給出其概率分布, ,而是通過給而是通過給出所謂出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式來描述其的方式來描述其概率分布概率分布. . 下面學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度下面學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量的概念三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)小結(jié)2.32.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X在在a, b內(nèi)取內(nèi)取n個(gè)值個(gè)值: x1=a,

3、x2, x3, x4, ,xn=bX即小矩形的面積為即小矩形的面積為取對應(yīng)點(diǎn)的概率取對應(yīng)點(diǎn)的概率小小矩矩形形寬寬度度概概率率小小矩矩形形高高 x1=aPx2x3s1s2s3snxn=b niisbXaP1 折線下面積之和！折線下面積之和！連續(xù)型隨機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量的概念X的概率的概率直方圖：直方圖：(1) (1) 定義的引出定義的引出 若若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由于為連續(xù)型隨機(jī)變量，由于X在在a, b內(nèi)取連續(xù)取無窮多個(gè)值，折線將變?yōu)橐粭l光內(nèi)取連續(xù)取無窮多個(gè)值，折線將變?yōu)橐粭l光滑曲線滑曲線).(xf而且：而且： )(xfdxxfSbXaPba )(1)( dxxfXP由此推出連續(xù)由此推出連

4、續(xù)型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量的定義的定義XaPb)(xfdxxfSba )(, 0)( xf, 1)( dxxf 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，如果存在定義在整個(gè)實(shí)是隨機(jī)變量，如果存在定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)數(shù)軸上的函數(shù)f(x)，滿足條件，滿足條件 1.1. 2.對于任意的對于任意的 可以為可以為 也也可為可為 , ()a b aba ， 3.,)( badxxfbXaP則稱則稱X是是連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量， 稱為稱為X的的概概率密度函數(shù)率密度函數(shù), ,簡稱概率密度簡稱概率密度. .)(xf(2) (2) 連續(xù)型隨機(jī)變量的定義連續(xù)型隨機(jī)變量的定義 ,b 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)( )0f

5、 x (2)( )1f x dx aSb 1xo)(xf這兩條性質(zhì)是判定這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)f(x)是否是否為某個(gè)隨機(jī)變量為某個(gè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的的概率密度函數(shù)的充要條件充要條件. .3)3)X落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間a,b內(nèi)的概率等于內(nèi)的概率等于 badxxf)( 注意注意 對于任意可能值對于任意可能值a , ,連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量取取a的概率等于零的概率等于零. .即即. 0 aXP連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)與區(qū)間的開閉無關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP 由此可得由此可得這是因?yàn)檫@是因?yàn)?(lim)

6、(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00 故故X的密度的密度f(x)在在x這一點(diǎn)的值，恰好這一點(diǎn)的值，恰好是是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)上的概率與區(qū)間長度間長度 之比的極限之比的極限. .這里，如果把概這里，如果把概率理解為質(zhì)量，率理解為質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度. .x ,(xxx 若若x是是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：xxxXxPx )(lim0 x xxxxdttf)(lim0=f(x)() 對對f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解 密度函數(shù)密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，并不反的高度，并不反映映X取值的概率取值的概率. 但是，這個(gè)

7、高度越大，則但是，這個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以說，在也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度附近的程度.1xo)(xf)(afa問題：問題：f (a)是是=a的概率嗎？的概率嗎？事實(shí)上，若不計(jì)高階無窮小，有：事實(shí)上，若不計(jì)高階無窮小，有：xxfxxXxP )( 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .( ,x xx ( )f xx PX=a=0 而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可見，可見，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 AS 問題：問

8、題：概率為零的事件一定是不可能概率為零的事件一定是不可能事件嗎？事件嗎？類似可知，類似可知，由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=.2XP,110,PX)2(;C)1 (., 0, 33),9()(2 XPxxCxfX求求求求常常數(shù)數(shù)其其它它具具有有概概率率密密度度隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)例例12. 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為上服從均勻分布上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 () 均勻分布均勻分布)( xfab 例例2（等待時(shí)間）公共

9、汽車每（等待時(shí)間）公共汽車每10分鐘按時(shí)分鐘按時(shí)通過一車站，一乘客隨機(jī)到達(dá)車站通過一車站，一乘客隨機(jī)到達(dá)車站.求他等求他等車時(shí)間不超過車時(shí)間不超過3分鐘的概率分鐘的概率. 例例3 設(shè)電阻值設(shè)電阻值 R 是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在布在900 1100 求求 R的概率密度及的概率密度及 R 落落在在950 1050 的概率的概率 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均上服從均勻分布勻分布, 現(xiàn)對現(xiàn)對 X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測進(jìn)行三次獨(dú)立觀測 ,試求試求至少有兩次觀測值大于至少有兩次觀測值大于3 的概率的概率.,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指數(shù)的指數(shù)

10、服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 XxxxfXx (2) 指數(shù)分布指數(shù)分布指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“:“無記憶性無記憶性”. .有有對于任意對于任意, 0t , s .|tXPsXtsXP 指數(shù)分布的無記憶性是使其具有指數(shù)分布的無記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要原因！廣泛應(yīng)用的重要原因！ 例例5 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 (1) 求元件壽命至少為求元件壽命至少為200小時(shí)的概率小時(shí)的概率. (2) 將將3只這種元件

11、聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，只這種元件聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少2只元件失效時(shí)系只元件失效時(shí)系統(tǒng)失效，又設(shè)統(tǒng)失效，又設(shè)3只元件工作相互獨(dú)立只元件工作相互獨(dú)立.求系求系統(tǒng)的壽命至少為統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概率小時(shí)的概率. ., 00,1001)(100其其它它xexfx).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義 (3) 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密

12、度函數(shù)的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3( xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處處有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線在在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxf;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x.,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xf 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 三、小結(jié)三、小結(jié)常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯