1、選修2-3 第二章 隨機變量及其分布復習課復習課肥城一中高二數(shù)學組肥城一中高二數(shù)學組本章知識結構本章知識結構隨隨機機變變量量離散型隨機變量離散型隨機變量分布列分布列均值均值方差方差正態(tài)分布正態(tài)分布兩點分布兩點分布二項分布二項分布超幾何分布超幾何分布正態(tài)分布密度曲線正態(tài)分布密度曲線3原則原則條件概率條件概率兩事件獨立兩事件獨立定義定義:如果隨著實驗的結果變化而變化的變量叫做如果隨著實驗的結果變化而變化的變量叫做隨機隨機變量變量。1.隨機變量的概念隨機變量的概念:如果隨機變量可能取的值可以按次序一一列出（可以是如果隨機變量可能取的值可以按次序一一列出（可以是無限個）這樣的隨機變量叫做無限個）這樣的

2、隨機變量叫做離散型隨機變量離散型隨機變量. .2.2.離散型隨機變量離散型隨機變量注注:隨機變量即是隨機試驗的試驗結果和實數(shù)之間的一種隨機變量即是隨機試驗的試驗結果和實數(shù)之間的一種對應關系對應關系,即是映射即是映射.試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域,隨機變量的隨機變量的取值相當于函數(shù)的值域取值相當于函數(shù)的值域.我們的把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域我們的把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域.知識點回顧知識點回顧Xx1x2xixnpp1p2pipn稱為隨機變量稱為隨機變量X X的概率分布列，簡稱的概率分布列，簡稱X X的分布列的分布列.X X取每一個值取每

3、一個值 的概率的概率 123,ixxxx則稱表則稱表(1,2,)ix i ()iiPxp 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X可能取的值為可能取的值為3. 概率分布列（分布列）概率分布列（分布列）4.離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：(1)0,1 2 3ipi ， ， ，123(2)1npppp 5.求離散型隨機變量的概率分布列的步驟：求離散型隨機變量的概率分布列的步驟：(1)(1)找出隨機變量找出隨機變量X X的所有可能的取值的所有可能的取值(2)(2)求出各取值的概率求出各取值的概率(3)(3)列成表格。列成表格。 ABAB6.條件概率的定義條件

4、概率的定義:7.兩個事件相互獨立的定義兩個事件相互獨立的定義:設設A,B為兩個事件為兩個事件,如果如果P(AB)=P(A)P(B),則稱則稱事件事件A與事件與事件B相互獨立相互獨立.結論結論:如果事件如果事件A與事件與事件B相互獨立相互獨立,那么那么A與與B,A與與B ,A與與B也相互獨立也相互獨立.8 8、什么叫、什么叫n n次獨立重復試驗？次獨立重復試驗？9 9、什么叫二項分布？、什么叫二項分布？定義：在相同條件下重復做的定義：在相同條件下重復做的n次試驗稱次試驗稱為為n次獨立重復試驗。次獨立重復試驗。在在n n次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A A恰好恰好發(fā)生發(fā)生k k次的概率是

5、次的概率是knkknppCkXP )1()( ,)XB n pX X服從二項分布服從二項分布并稱并稱p為成功概率為成功概率定義定義:在在n次獨立重復試驗中次獨立重復試驗中,設事件設事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)為為X,在每次試驗中事件在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p,那么那么nk, 2 , 1 , 0 10、離散型隨機變量的均值、離散型隨機變量的均值1122iinnE Xx px px px pP1xix2x1p2pipnxnpX11、數(shù)學期望的性質、數(shù)學期望的性質baEXbaXE )(1212、如果隨機變量、如果隨機變量X X服從兩點分布，服從兩點分布，X10Pp1p則則E Xp13

6、、如果隨機變量、如果隨機變量X服從二項分布，即服從二項分布，即XB（n,p），則），則E Xnp13、隨機變量的均值與樣本的平均數(shù)有何區(qū)、隨機變量的均值與樣本的平均數(shù)有何區(qū)別？別？隨機變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值是隨機變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的。隨著樣本的不同而變化的。14.離散型隨機變量取值的方差離散型隨機變量取值的方差一般地，若離散型隨機變量一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：的概率分布為： 22211()()()iinnD XxE XpxE XpxE Xp則稱則稱為隨機變量為隨機變量X的的方差方差。21()niiixE XpP1xix2x1p2pip

7、nxnpX稱稱XD X為隨機變量為隨機變量X的的標準差標準差。它們都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度它們都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。程度越小，即越集中于均值。15.隨機變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別？隨機變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別？隨機變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣隨機變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的。本的不同而變化的。16.幾個常用公式：幾個常用公式：2()D aXba D X(1)XD Xpp若服從兩點分布

8、，則( ,)(1)XB n pDXnpp若，則這條曲線這條曲線就是或近似地是就是或近似地是下面函數(shù)的圖象：下面函數(shù)的圖象：22()21( ),(,)2xxex 其中實數(shù)其中實數(shù)和和(0)為參數(shù)為參數(shù),我們稱的圖象我們稱的圖象為正態(tài)分布密度曲線為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線簡稱正態(tài)曲線. X落在區(qū)間落在區(qū)間(a,b的概率為的概率為:ab y,( )yx ,()( )baP abx dx XX的分布為正態(tài)分布的分布為正態(tài)分布.X18.正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義:注意注意:可以可以近似的認為近似的認為是均值是均值,是標準差是標準差.012-1-2xy-3= -1=0.5（1 1）曲線在）曲線在x

9、軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交. .（2）曲線是單峰的）曲線是單峰的,它關于直線它關于直線x=對稱對稱. 19. 19.正態(tài)曲線的性質正態(tài)曲線的性質（4）曲線與）曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為1（3）曲線在）曲線在x=處達到峰值處達到峰值(最高點最高點)1 1 2222()21( ),(,)2xxex 012-1-2xy-3= 0=0.5012-1-2xy-3= 1=0.5=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)當當一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定確定 .越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散；越小，曲線越越小，

10、曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中.（5）當）當一定是時一定是時,曲線隨著曲線隨著的變化而沿的變化而沿x軸平移軸平移. 正態(tài)曲線的性質正態(tài)曲線的性質22()21( )2xxe 20.特殊區(qū)間的概率特殊區(qū)間的概率: -a +ax=9974. 0)33(9544. 0)22(6826. 0)( XPXPXP 例1如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9，電流能否通過各元件相互獨立已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999. (1)求p； (2)求電流能在M與N

11、 之間通過的概率【例2】袋中裝有標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等.用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字,求：（1）取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）隨機變量的概率分布；（3）計分介于20分到40分之間的概率.解 (1)方法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P（A）= 方法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A， “一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記B 則事件A和事件B是互斥事件因為P(B)= 所以P(A)=1-P(B)= 3 1 1 152 2 231

12、023CCCCC1215 2831013CCCC1 213 3 (2)由題意，由題意，所有可能的取值為所有可能的取值為2,3,4,52,3,4,5,P(=2)= P(=3)= P(=4)= P(=5)= 所以隨機變量的概率分布列為 21122222310130C CC CC21124242310215C CC CC21128282310815C CC CC21126262310310C CC CC2345p130215310815(3)“(3)“一次取球所得分介于一次取球所得分介于2020分到分到4040分之間分之間”的事件記為的事件記為C C，則，則P(C)=P(=3)+P(=4)=P(C)

13、=P(=3)+P(=4)= 2313151030【例【例3 3】編號】編號1 1，2 2，3 3的三位學生隨意入座的三位學生隨意入座編號編號1 1，2 2，3 3的三個座位，每位學生坐一個的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生人數(shù)是座位，設與座位編號相同的學生人數(shù)是X.X.（1 1）求隨機變量）求隨機變量X X的概率分布列；的概率分布列；（2 2）求隨機變量）求隨機變量X X的期望與方差的期望與方差. .分析 （1）隨機變量X的意義是對號入座的學生個數(shù)，所有取值為0,1,3.若有兩人對號入座，則第三人必對號入座.由排列與等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用數(shù)學期望與方差公式

14、求解.X013P （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=3）= ,故X的概率分布列為 (2)E(X)= D(X)= 33213A133312CA33116A1312161110131326 2221110 11 13 11326解:X所有取值為0,1,35%10%p0.80.22%8%12%p0.20.50.3【例4】A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2,根據(jù)市場分析， 和 的分布列分別為 (1)在A、B兩個項目上各投資100萬元， 和 分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D( )、D( );（2）將x（0 x100）萬元投資A項目，（100-x）萬元投資B項目

15、，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取得最小值.1X2X1X2X1Y2Y1Y2Y510p0.80.22812p0.20.50.3解 （1）由題設可知 和 的分布列分別為 =50.8+100.2=6, =20.2+80.5+120.3=8, (2)f(x) 當 時，f(x)=3為最小值.1Y2Y1EY2215 60.81060.24DY 2EY22222 80.28 80.512 80.312DY 221212222222100100100100100100443 10046003 100100100 xxxxDYD

16、YDYDYxxxx 600752 4x 1Y2Y分析 (1)根據(jù)題意，利用公式E(aX+b)=aEX+b求出隨機變量Y1、Y2的分布列，進而求出方差D 、D .(2)根據(jù)題意建立函數(shù)關系式，把問題轉化為二次函數(shù)的最值問題.1Y2Y【例5】 (1)求該學生考上大學的概率；求該學生考上大學的概率； (2)如果考上大學或參加完如果考上大學或參加完5次測試就結束，記次測試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為該生參加測試的次數(shù)為X，求，求X的分布列及的分布列及X的的數(shù)學期望數(shù)學期望【例6】 故故X的分布列為的分布列為舉一反三舉一反三1、某有獎競猜活動設有A、B兩組相互獨立的問題，答對問題A可贏得獎金3萬元，答對問題B可贏得獎金6萬元.