1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上代數(shù)基本定理的初等證明喬明云（四川 成都師范高等?？茖W校數(shù)學系 ）摘要 本文給出了代數(shù)基本定理的初等證明關(guān)鍵詞 代數(shù)基本定理，初等證明，復數(shù)域，一元次多項式，根，閉曲線，映射，幅角增量。1799年，年僅21歲的高斯在他的博士論文中首次證明了定理 在復數(shù)域上，一元次多項式（）（）至少有一個根。由于這個定理是方程論的基礎(chǔ)，方程論又是初等代數(shù)學的主要內(nèi)容，因而稱為代數(shù)基本定理。高斯的證明是數(shù)學史上的一個里程碑。二百多年來，數(shù)學家們找到了這個定理的許多不同證明，但無不用到較為高深的數(shù)學知識（至少用到復變函數(shù)論）及數(shù)學思想方法，因此，幾乎所有的高等代數(shù)教科書都僅敘述定理的內(nèi)容而

2、未給出證明。本文給出一個初等淺顯的簡單證明，供教學參考。首先證明兩條引理：引理1 設(shè)是復平面上的一條連續(xù)閉曲線，則在映射下的象仍是一條連續(xù)閉曲線。證明：設(shè)的參數(shù)方程是 則上的任意點滿足 令 ，則其中 ，是，的實多項式。于是，當時，從而在映射下的象是以 為參數(shù)方程的一條有向曲線，其中。當動點從上一點開始，沿著運動一周回到時，動點則從曲線上相應的點開始，沿著連續(xù)變動到，因而也是一條閉曲線。引理2 存在正數(shù)，當簡單閉曲線內(nèi)含圓盤：時，點沿正向（逆時針方向）運動一周，多項式的值的幅角增量 。證明：首先證明，對任意，存在，當時，點一定落在：的內(nèi)部。不失一般性，可設(shè)的首項系數(shù)，記 則 于是，當時，令 ，顯

3、然 ，因此，當 時即 當 時，點一定落在內(nèi)部。如圖1 （圖1）記，則時，。故充分大時，充分小。顯然，對于落在圓內(nèi)的任何點均滿足，從而有 （1）當簡單閉曲線內(nèi)含圓：時，一方面，上的任何點都滿足，從而點一定落在內(nèi)部，于是，上的每一點均滿足（1）。另一方面，由于原點在內(nèi)部，當點沿正向轉(zhuǎn)一周時，的幅角增量，從而的幅角增量 （2）于是，當點沿正向轉(zhuǎn)一周時，與的幅角增量相同，即有下面，我們來證明代數(shù)基本定理：首先證明，在復平面上存在這樣的點，在它的任何鄰域內(nèi)都能找到閉曲線，使得根據(jù)引理2，存在正數(shù)，當正方形內(nèi)含圓時，如圖2點沿的周界正向轉(zhuǎn)一周，的幅角增量把平分為四個小正方形，它們的周界記為。 （圖2） （

4、圖3）當點沿每一個的周界正向運動一周時，在它們的公共邊界上按互為相反的方向各運動一次，的相應的幅角增量互相抵消（圖3）。從而的幅角增量之總和恰好等于沿的周界運動一周時的幅角增量，即有由此可知，在四個小正方形中至少有一個，記為，其邊界為，滿足。再把平分為四個小正方形，重復前述推理可知，其中又至少有一個小正方形，其周界滿足。把這一過程無限地繼續(xù)下去，我們得到一列閉正方形域其中每一個均是由其前一個平分為四而得到，它們的邊界分別為，。對每一個都有。根據(jù)閉矩形套定理，存在唯一的點，=1，2，。于是對于的任何一個鄰域，只要取足夠大的正數(shù)，便有正方形滿足這樣，我們的論斷獲證。下面，我們證明就是的根。只須證明

5、：如果，則存在，對于的鄰域內(nèi)的任何閉曲線恒有事實上，當時，記，則 記，因，故，于是，當時，即時這表明，當點時，點一定落在圓：的內(nèi)部。對于鄰域內(nèi)的任何閉曲線，根據(jù)引理1 在映射下的象仍是一條閉曲線。據(jù)上述證明可知，被圓所包含（如圖4）。 （圖4）當點沿運動一周時，點沿運動一周，由于原點在的外部，當然有，于是綜合上述兩個方面，代數(shù)基本定理獲證。AN ELEMENTARY PROOF FOR ALGEBRAIC BASIC THEOREMQiao Ming Yun(Sichuan, Mathematics Department Chengdu Teachers College, )Abstract: In this paper ,well give an elementary proof for algebraic basic theorem .Keywords: Algebraic basic theorem ,Elementary proof ,Complex field ,Monadic mul