1、 定積分理論建立了一種處理定義在有限區(qū)定積分理論建立了一種處理定義在有限區(qū)間上的連續(xù)分布量間上的連續(xù)分布量 f( x )的相關(guān)量的相關(guān)量U 的一種方法的一種方法, ,即通過局部線性化即通過局部線性化 dU = f( x )d x 來達到對所求來達到對所求量量U 的一種無限逼近的一種無限逼近 為能夠構(gòu)造積分和及保證和式極限存在，為能夠構(gòu)造積分和及保證和式極限存在，通常總要求積分區(qū)間為有限區(qū)間，被積函數(shù)為通?？傄蠓e分區(qū)間為有限區(qū)間，被積函數(shù)為有界函數(shù)。但在一些實際問題中卻可能出現(xiàn)積有界函數(shù)。但在一些實際問題中卻可能出現(xiàn)積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在積分區(qū)間上無分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在積分區(qū)間

2、上無界的情形，于是就有了反常積分的概念。界的情形，于是就有了反常積分的概念。 01ddlim.nbbiiaaiUUfxfxx 考慮點電荷電場的電場強度。由于場的存在，每考慮點電荷電場的電場強度。由于場的存在，每點就具有了能量，電場中各點的能量大小就是電場強度點就具有了能量，電場中各點的能量大小就是電場強度的概念。電場中一點具有的能量大小取決于該點位置及的概念。電場中一點具有的能量大小取決于該點位置及所受電場力的大小。設(shè)點電荷電所受電場力的大小。設(shè)點電荷電場中某點單位電荷所受電場力為場中某點單位電荷所受電場力為 f( r )= k/ /r 2，則該點電場強度定，則該點電場強度定義為將該單位電荷移

3、出電場，即義為將該單位電荷移出電場，即移到無窮遠處時電場力所作的功。移到無窮遠處時電場力所作的功。 由定積分物理意義知，單位電荷受電場力作用，從由定積分物理意義知，單位電荷受電場力作用，從點點 r 移動移動到到 r + d r 時電場力所作的功為時電場力所作的功為 dW = f( r )d d r . .于是，質(zhì)點從于是，質(zhì)點從 r = a 處沿矢徑移動到點處沿矢徑移動到點 r = b 處時，電場處時，電場力所作的功為力所作的功為 將單位電荷從將單位電荷從點點 r = a 處沿矢徑移動到無窮遠處時電場力所作的功即處沿矢徑移動到無窮遠處時電場力所作的功即該點的電場強度為該點的電場強度為 2 dd

4、bbaakWfrrrr, 2 dd.aakEfrrrraOy 2kfxaxx , , 2 dbakA bxxxab 從幾何上看，這種無窮區(qū)間上的積分對應于一個開從幾何上看，這種無窮區(qū)間上的積分對應于一個開口的曲邊梯形，即由曲線口的曲邊梯形，即由曲線 f( r )= k / /r 2，x 軸及直線軸及直線 x = a 所圍成的不封閉的曲邊梯形。所圍成的不封閉的曲邊梯形。 按面積一般概念，開口曲邊梯形無法定義其面積，按面積一般概念，開口曲邊梯形無法定義其面積，但由于但由于 x 軸是曲線軸是曲線 f( r )= k / /r 2的一條漸近線，該曲線與的一條漸近線，該曲線與直線直線 x = a 及及

5、x 軸所夾的軸所夾的“區(qū)域區(qū)域”可認為有一種廣義的可認為有一種廣義的面積。這種廣義面積可通過如下方式進行討論面積。這種廣義面積可通過如下方式進行討論：作輔助直線作輔助直線 x = b a 0 ，考慮由直線考慮由直線 x = a , ,x = b , ,x 軸及曲線軸及曲線 f( x )= k / /x 2 所圍成的曲邊梯形面積所圍成的曲邊梯形面積 A( b ) 由定積分的幾何意義，曲邊梯形面積由定積分的幾何意義，曲邊梯形面積 A( b)對應于對應于 函數(shù)函數(shù) f( x )= k / /x 2 在有限閉區(qū)間在有限閉區(qū)間 a , ,b 上的定積分，即上的定積分，即顯然，顯然，b b 越大，越大，A

6、( b )的值越接近于開口曲邊梯形的值越接近于開口曲邊梯形的的“廣義面積廣義面積”，因此有，因此有由此可見由此可見，開口曲邊梯形是可以有，開口曲邊梯形是可以有“廣義面積廣義面積”的，即開口曲邊梯形的廣義面積可以有確定的值的，即開口曲邊梯形的廣義面積可以有確定的值 A . . 2 111d.bbaakA bxkkxxab 2 11limlimdlim.bbbbakkAA bxkaxab 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,+ )上連續(xù)，取上連續(xù)，取 b a ，如，如果極限果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù) f( x ) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間 a , ,+ )上的反

7、常積分，記作：上的反常積分，記作： 這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分 發(fā)散，此時該記號不具有數(shù)值意義。發(fā)散，此時該記號不具有數(shù)值意義。 limdbabfxx dafxx, dlimd.baabfxfxxx 即即 dafxx dafxx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( - - , ,b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取 a b ，如，如果極限果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù) f( x )在在在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間( - - , ,b 上的反常積分，記作：上的反常積分，記作： 這時也稱反常積分這時也稱反常積分

8、 收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 limdbaafxx dbfxx, dlimd.bbaafxfxxx 即即 dbfxx dbfxx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( - - , ,+ )上連續(xù)，如果反常積上連續(xù)，如果反常積分分 都收斂，則稱上述兩反常積都收斂，則稱上述兩反常積分分的和為的和為函數(shù)函數(shù) f( x )在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間( - - , ,+ )上的上的反常積反常積分分, ,記作：記作：這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂，如果反常積分收斂，如果反常積分 有一個發(fā)散，就稱反常積分有一個發(fā)散，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。

9、 ddbafxfxxx, d fxx,即即 dddbafxfxfxxxx limdlimd.bbaaabfxfxxx dfxx ddbafxfxxx , dfxx 無窮區(qū)間上的反常積分計算本質(zhì)上是變上、下限函無窮區(qū)間上的反常積分計算本質(zhì)上是變上、下限函數(shù)的極限計算，即先按定義將無窮區(qū)間上的反常積分寫數(shù)的極限計算，即先按定義將無窮區(qū)間上的反常積分寫成定積分與極限計算的組合形式，再先按定積分計算法成定積分與極限計算的組合形式，再先按定積分計算法及牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)及其增量，再計算相及牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)及其增量，再計算相應的極限。應的極限。 此外，某些無窮區(qū)間上此外，某些無窮區(qū)間上的

10、反常積分也可通過變量的反常積分也可通過變量代換直接轉(zhuǎn)化為定積分代換直接轉(zhuǎn)化為定積分進行計算。進行計算。例例：計算反常積分計算反常積分 由定義由定義 先考慮定積分的計算：先考慮定積分的計算： +2 0d .1exx + 22 0 0ddlim1e1ebxxbxx . 22 0 0d1eed1e1exxbbxxxx 2 0 01edd1e1exbbxxxx 2 0 0ed 1ede1e1exxbbxxxx 2 0 011d 1edee1e1exbbxxxx001ln 1e1ebbxxx 11ln 1eln221ebbb.于是求得于是求得 + 22 0 0ddlim1e1ebxxbxx e11lim

11、lnln221e1ebbbb 1111lim lnlimln2ln2.1221e1ebbbb例例：計算反常積分計算反常積分 先考慮對應的積分計算。先考慮對應的積分計算。 由于被積函數(shù)含有反三函數(shù)因子，不便直接積分。由于被積函數(shù)含有反三函數(shù)因子，不便直接積分。為此考慮先通過代換消去反三函數(shù)因子，再進行積分。為此考慮先通過代換消去反三函數(shù)因子，再進行積分。 令令: :arctan x = t ，即，即 x = tan t ，d x = sec 2t d t，則，則 當當 x : : 0 + 時，時，t : : 0 / / 2 ，于是有，于是有 通過代換原反常積分轉(zhuǎn)化成了常義積分，因此只需通過代換原

12、反常積分轉(zhuǎn)化成了常義積分，因此只需計算定積分即可。計算定積分即可。 +5 022arctand.1xxx + 222355 0 0 022arctansecddcosdsec1xttxttt ttx + 22325 0 0 022arctandcosdcoscos d1xxtt tttt tx 2223 0 011sindsind sinsin3tttttt 2233 0011dsinsinsinsin33tttttt 222 0 011sin dsinsin d1233t ttt t 222 0 01dcoscos1cos33ttt 23 0127111.coscos3339393tt 例例

13、：計算反常積分計算反常積分 按定義，討論此反常積分斂散性應分別考察兩按定義，討論此反常積分斂散性應分別考察兩反常積分反常積分 對于第一個反常積分，因為對于第一個反常積分，因為故反常積分故反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 由定義，原反常積分發(fā)散。由定義，原反常積分發(fā)散。 +2 d.1xxx 0 +22 0dd.11xxxxxx , 0 0222 1d 1dlim211aaxxxxx 022 limlim111aaaxa . 02 d1xxx 是是- a , ,a 上的奇函數(shù)，故上的奇函數(shù)，故 +2 d1xxx 0 220limdlimd11babaxxxxxx 0 220limdlimd11aaaaxxx

14、xxx 2limd1aaaxxx.21xfxx 由由于于 2d01aaxxx. . + 22 dlimd0 .11aaaxxxxxx于于是是 上述解法是錯誤的，其原因在于，雖然有上述解法是錯誤的，其原因在于，雖然有： 因為其中兩極限過程因為其中兩極限過程 a + + ，b + + 是相互獨立的。是相互獨立的。 22d0 limd0 11aaaaaxxxxxx , +2 d1xxx 但但 0 220limdlimd11babaxxxxxx, 0 220limdlimd11aaaaxxxxxx. . 考慮由曲線考慮由曲線 x 軸、軸、y 軸及直線軸及直線 x = 1所圍成的開口曲邊梯形的面積所圍成

15、的開口曲邊梯形的面積 A . . 從概念上講，曲線從概念上講，曲線 x 軸軸、y 軸及軸及直線直線 x = 1 不構(gòu)成封閉圖形，因而并不能定義所謂的面不構(gòu)成封閉圖形，因而并不能定義所謂的面積，但從幾何上看，由于積，但從幾何上看，由于 y 軸是曲線的一條漸近線，因軸是曲線的一條漸近線，因此此開口曲邊梯形可以具有某種此此開口曲邊梯形可以具有某種“廣義面積廣義面積”。 1fxx , 1fxx, 1fxx 1 1dAxx x1 Oy 這種廣義面積可通過如下方式進行討論：作輔助直線作輔助直線 x = , ,( 0 0 越小，此曲邊梯形的面積越小，此曲邊梯形的面積 A( )越接近越接近于開口曲邊梯形的面積

16、于開口曲邊梯形的面積 A . . 于是由極限概念有于是由極限概念有 1fxx 11 1d22 1Axxx . . 1 000 dlimlim2 lim 12xAAx . . 所謂上開口曲邊梯形對應于曲邊梯形的曲邊函數(shù)所謂上開口曲邊梯形對應于曲邊梯形的曲邊函數(shù)有無窮間斷點的特殊情形。有無窮間斷點的特殊情形。 函數(shù)函數(shù) 雖有無窮間斷點雖有無窮間斷點 x = 0 ，但其在，但其在區(qū)間區(qū)間( 0 , ,1 上連續(xù)。通過作輔助線上連續(xù)。通過作輔助線 x = ，上開口的曲上開口的曲邊梯形面積問題可歸結(jié)為定積分計算和相應極限計算邊梯形面積問題可歸結(jié)為定積分計算和相應極限計算 0 考察。因此上開口曲邊梯形面積

17、可能有意義。考察。因此上開口曲邊梯形面積可能有意義。 此具體問題及處理問題的方法具有一般性，當被此具體問題及處理問題的方法具有一般性，當被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無窮間斷點時，相應積分和極積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無窮間斷點時，相應積分和極限可能有意義。由此可建立無界函數(shù)反常積分概念限可能有意義。由此可建立無界函數(shù)反常積分概念。 1fxx 如果函數(shù)如果函數(shù) f( x )在點在點 a 的任意鄰域內(nèi)都無界，那么的任意鄰域內(nèi)都無界，那么點點 a 稱為稱為 f( x )的瑕點的瑕點( 也稱無界間斷點也稱無界間斷點)，無界函數(shù)的，無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分。反常積分又稱為瑕積分。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在

18、區(qū)間在區(qū)間( a , ,b 上連續(xù)，點上連續(xù)，點 a 為為 f( x )的的瑕點，取瑕點，取 t 0 ，如果極限，如果極限 存在，則稱此存在，則稱此極限為函數(shù)極限為函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( a , ,b 上的反常積分，仍記作上的反常積分，仍記作: :這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂。如果上述極限不存收斂。如果上述極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。在，就稱此反常積分發(fā)散。 limdbttafxx d dlimdbbbaattafxfxfxxxx, 即即 bafxx d 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b )上連續(xù)，點上連續(xù)，點 b 為為 f( x )的的瑕點，取瑕點

19、，取 t 0 ，如果極限，如果極限 存在，則稱存在，則稱此此極限為函數(shù)極限為函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b )上的反常積分，仍記作上的反常積分，仍記作: :這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂。如果上述極限不存收斂。如果上述極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。在，就稱此反常積分發(fā)散。 limdtatbfxx d dlimdbbtaaatbfxfxfxxxx, 即即 bafxx d 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,c )( c , ,b 上連續(xù)，點上連續(xù)，點 c 為為 f( x )的瑕點，如果兩反常積分的瑕點，如果兩反常積分都收斂，則定義都收斂，則定義 如果兩個反常

20、積分如果兩個反常積分 有一個發(fā)有一個發(fā)散，就稱反常積分散，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 cbacfxfxxx dd, bcbaacfxfxfxxxx ddd limdlimdtbattctcfxfxxx ddcbacfxfxxx, bafxx dC. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 無界函數(shù)反常積分與定積分的記號是完全一樣的無界函數(shù)反常積分與定積分的記號是完全一樣的, ,都表示為都表示為 ，二者的區(qū)別僅在于被積函數(shù)的性，二者的區(qū)別僅在于被積函數(shù)的性質(zhì)的差別。質(zhì)的差別。 對定積分而言，要求被積函數(shù)對定積分而言，要求被積函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上有界，即上有界，即

21、 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上可以有間斷點，但不上可以有間斷點，但不能有無窮間斷點。能有無窮間斷點。 對無界函數(shù)的反常積分而言，其特點是被積函數(shù)對無界函數(shù)的反常積分而言，其特點是被積函數(shù)f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上有無窮間斷點。若上有無窮間斷點。若 f( x )是初等函是初等函數(shù)，則無窮間斷點通常是分母零點。數(shù)，則無窮間斷點通常是分母零點。 bafxx d 按無界函數(shù)反常積分被積函數(shù)按無界函數(shù)反常積分被積函數(shù) f ( x )在積分區(qū)間在積分區(qū)間 a , ,b 上瑕點位置的不同，相應反常積分有不同的定上瑕點位置的不同，相應反常積分有不同的定義，其幾何意義也有區(qū)別。義，

22、其幾何意義也有區(qū)別。xyOa dlimlimdbbattatafxAfxxtx limxayfxa bfxx, , tb dbtAfxtxxyOb dlimlimdbtaatbtbfxA tfxxx yfxa bx, ,. dtaA tfxxat limxbfxxyOc yfx,xcfx lim.bcbaacfxfxfxxxx ddd limdlimdtbattctcfxfxxx.xa cc b , A t A tat tb 若瑕點若瑕點 x = c 位于積分區(qū)間位于積分區(qū)間 a , ,b 內(nèi)部，即當內(nèi)部，即當a c b 時，相應反常積分時，相應反常積分 有三點需注意：有三點需注意： 第一，當

23、且僅當兩反常積分第一，當且僅當兩反常積分都收斂時，才能稱反常積分都收斂時，才能稱反常積分 收斂，此時積收斂，此時積分記號才具有數(shù)值的意義。分記號才具有數(shù)值的意義。 第二第二，式子式子定義式，不能混淆為定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性定義式，不能混淆為定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性。 第三第三，式子式子 中的中的兩極限過程是獨立的兩極限過程是獨立的，不可混淆為一個極限過程。不可混淆為一個極限過程。 bafxx d cbacfxfxxx dd , bafxx d dddbcbaacfxfxfxxxx是是 limdlimdtbattctcfxfxxx 無界函數(shù)的反常積分與定積分形式完全一樣，因此無界函數(shù)的反常積分與定積分形式完全一樣，因此考慮其計算時應先確定被積函數(shù)的瑕點。對含多個瑕點考慮其計算時應先確定被積函數(shù)的瑕點。對含多個瑕點的反常積分，應先將其分解為若干個只含一個瑕點的反的反常積分，應先將其分解為若干個只含一個瑕點的反常積分，再考慮按定義計算。常積分，再考慮按定義計算。 無窮區(qū)間上無窮區(qū)間上反常反常積分的計算一積分的計算一般也是變上、下限函函數(shù)的極限計般也是變上、下限函函數(shù)的極限計算，即先按定積分計算法求出原函數(shù)算，即先按定積分計算法求出原函數(shù)增量，再計算相應的極限。增量，再計算相應的極限。 在某些情形下，無窮區(qū)間上的