1、1 在觀察自然與社會現(xiàn)象時在觀察自然與社會現(xiàn)象時, ,所觀察到的許多變量所觀察到的許多變量都是都是“連續(xù)不斷連續(xù)不斷”變化的變化的, ,如物體的運動、氣溫的升如物體的運動、氣溫的升降、人和生物的生長、物價的漲跌等降、人和生物的生長、物價的漲跌等. .這種現(xiàn)象在數(shù)這種現(xiàn)象在數(shù)學中體現(xiàn)為函數(shù)的連續(xù)性學中體現(xiàn)為函數(shù)的連續(xù)性, ,連續(xù)性的實質(zhì)在于連續(xù)性的實質(zhì)在于, ,自變自變量的微小變化引起因變量的微小變化量的微小變化引起因變量的微小變化. .與連續(xù)性相反與連續(xù)性相反的現(xiàn)象是的現(xiàn)象是“間斷間斷”, ,如斷裂、爆炸、惡性通貨膨脹、如斷裂、爆炸、惡性通貨膨脹、由自然災害或戰(zhàn)爭引起的人與生物的大量死亡等由自

2、然災害或戰(zhàn)爭引起的人與生物的大量死亡等. .間間斷的實質(zhì)在于自變量的微小變化將導致因變量的劇斷的實質(zhì)在于自變量的微小變化將導致因變量的劇烈變化烈變化. .當然當然, ,這里所謂這里所謂“微小微小”與與“劇烈劇烈”變化的變化的確切含義尚需說明確切含義尚需說明, ,這得借助極限的概念這得借助極限的概念. .第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性2那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x連連續(xù)續(xù)。 一、連續(xù)與間斷的概念一、連續(xù)與間斷的概念，)()(lim00 xfxfxx 定義定義12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，(1)(1)如果如果 3

3、0,xxx 若令0( )()yf xf x 00lim( )()xxf xf x則等價于000lim()()0 xf xxf x 這正是前面所說的 自變量的微小變化引起因變量的微小變化 的含義4連續(xù)與間斷具有明顯的幾何解釋：若連續(xù)與間斷具有明顯的幾何解釋：若f(x)連續(xù)連續(xù),則函則函數(shù)數(shù)y=f(x)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線；的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線；若若x0是是f(x)的間斷點的間斷點,則曲線則曲線y=f(x)在點在點(x0,f(x0)處發(fā)生處發(fā)生斷裂斷裂xyoab1x2x3x函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)共有三個間斷點：內(nèi)共有三個間斷點：x1、x2、x3.在這三個點附近在這

4、三個點附近f(x)的圖形形態(tài)各異的圖形形態(tài)各異,但其共同點是但其共同點是曲線曲線y=f(x)在三個點處出現(xiàn)在三個點處出現(xiàn)“斷裂斷裂”5定理定理.)()(00既左連續(xù)又右連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)處處在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf定義定義13130000( ),lim( )(),( );xxf xxf xf xf xx(1)若函數(shù)在 的某左鄰域內(nèi)有定義 且則稱在點 處左連續(xù)0000( ),lim( )(),( );xxf xxf xf xf xx若函數(shù)在 的某右鄰域內(nèi)有定義 且則稱在點 處右連續(xù)( ) , ,( , )( ) , f xa ba babf xa b(2)若在有定義

5、 在內(nèi)連續(xù),且在點 右連續(xù)、在點 左連續(xù),則稱在上連續(xù)6例例2-282-2821,0( )1, 0101.5,1xxf xxxxxxx討論函數(shù)在和處的連續(xù)性解解200lim( )lim(1)xxf xx1 00lim( )lim(1)xxf xx1( )0.f xx 故函數(shù)在點處連續(xù)x=0處處0lim( )1(0)xf xf 7例例2-282-2821,0( )1, 0101.5,1xxf xxxxxxx討論函數(shù)在和處的連續(xù)性解解11lim( )lim(5)xxf xx4211lim( )lim(1)xxf xx2( )1.f xx 故函數(shù)在點處不連續(xù)x=1處處1lim( )xf x不存在11

6、lim( )lim( )xxf xf x8.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例例證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在所所以以函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 9.0, 0, 0,cos)(, 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa例例解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af 00lim( )lim( )(0),xxf xf xf要使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)

7、xxf, 1 a10說說明明：)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)要要滿滿足足三三條條： （3 3）函函數(shù)數(shù)值值與與極極限限值值相相等等. . （1 1）)(xf在在0 x處處有有定定義義, ,即即)(0 xf存存在在； （2 2）極極限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx 1100000lim( )lim( )(),( )( ).xxxxf xf xf xf xxxf x如果或在點處無定義，則稱點為函數(shù)的可去間斷點函數(shù)間斷點的類型函數(shù)間斷點的類型定義定義14(1)(1)左右極限都存在的間斷點左右極限都存在的間斷點, ,稱稱第一類間斷點第一類間斷點： 1 10 0 可

8、去間斷點可去間斷點000()lim( )lim( ),xxxxf xf xf x重新定義可消去間斷2 20 0 跳躍間斷點跳躍間斷點000lim( )lim( ),.xxxxf xf xx如果則稱為跳躍間斷點12000 ,lim( )lim( ),.xxxxf xf xx在第二類間斷點中 如果和中至少有一個是則稱 為無窮間斷點(2)(2)左右極限至少有一個不存在的間斷點左右極限至少有一個不存在的間斷點, ,稱稱第二類第二類間斷點間斷點。 0 x否則稱 為非無窮第二類間斷點1 10 0 無窮間斷點無窮間斷點2 20 0 非無窮第二類間斷點非無窮第二類間斷點1311( )sin(0)f xxxx例

9、如例如, 01sinlim0 xxx1( )0f xx 而在處無定義10( )xf x 是的可去間斷點11(0)0( )0ff xx補充定義，可使得在處連續(xù)1421, 0,( )0, 0 xxfxx例如例如00lim( )lim(1)1xxf xx(0)0f22(0)1( )0ffxx重新定義，可使得在處連續(xù)20( )xfx 是的可去間斷點15例如，例例如，例2-282-28中中21,0( )1, 0101.5,1xxf xxxxxxx討論函數(shù)在和處的連續(xù)性解解11lim( )lim(5)xxf xx4211lim( )lim(1)xxf xx2x=1處處11lim( )lim( )xxf x

10、f x1( )xf x 是的跳躍間斷點163451( ),( )cot ,( )tanfxfxx fxxx例如例如01limxx 0limcotxx tan2xx是的無窮間斷點10cotxxx 是、的無窮間斷點2lim tanxx 17xy1sin 例如例如61( )sinfxx01limsinxx不存在，且不為無窮大60( )xfx 是的非無窮第二類間斷點18小結(jié)小結(jié)第一類間斷點第一類間斷點:可去、跳躍可去、跳躍第二類間斷點第二類間斷點:無窮、非無窮無窮、非無窮間斷點分類間斷點分類(見下圖見下圖)19可去間斷點可去間斷點第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍間斷點跳躍間斷點無窮間斷點無窮間斷點非

11、無窮第二類間斷非無窮第二類間斷點點第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x20二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理1212,)(),(0處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxf例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx連續(xù)函數(shù)的四則運算法則連續(xù)函數(shù)的四則運算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .)0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf則則.0處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點x21且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),0)(xxxu 定理定理

12、1313復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性,)(,)(000連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)uuufyux .)(0也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)xxxfy 極限運算與函數(shù)運算可以交換極限運算與函數(shù)運算可以交換)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 22定理定理1414 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 x

13、y.,cotarc,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性234、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù).2

14、4所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的. .一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的. .25 利用函數(shù)的連續(xù)性可以計算一些極限利用函數(shù)的連續(xù)性可以計算一些極限. . 初等函數(shù)求極限的方法：初等函數(shù)求極限的方法：代入法代入法.例例2-292-29221(1) lim(sine ).2xxx221sin1e2原式1e. 解解)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx26例例2-292-29214arctan(2) lim.1ln(1)xxx24arctan11 ln(1 1 )原式441 ln2解解1 ln

15、227例例2-292-2920cosln(1)(3) lim.1xxxx2cos0 ln(1 0 )1 0原式1解解28例例2-30(1)2-30(1).)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在eln uuy極限運算與函數(shù)運算可以交換極限運算與函數(shù)運算可以交換29例例2-30(2)2-30(2)01lim.xxax求lna0lnlimln(1)uuau原式解解1,xau 令ln(1),lnuxa則0,0.xu當時0ln

16、limuuau) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax01limlnxxaax即01lim1lnxxaxa30例例2-30(3)2-30(3)0(1)1lim(.xxx求為非零實常數(shù)）ln(1)01limxxex原式解解0limxxx. xx 1)1 ( 0ln(1)limxxx) 0( x31,0時時當當x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等價無窮小常用等價無窮小: :xx 1)1 ( 32例例2-312-31121,2( )sin,2xexf xxx討論的連續(xù)性( )(,)f x 在其定義域內(nèi)不是初等函

17、數(shù)12(,2)( )1xf xe 但在內(nèi)為初等函數(shù)解解(2,)( )sinf xx在內(nèi)也為初等函數(shù)( )(,2)(2,)f x故在內(nèi)連續(xù)33例例2-312-31121,2( )sin,2xexf xxx討論的連續(xù)性2x 在處1222lim( )lim 1xxxf xe解解22lim( )lim sinxxf xx112lim( )1(2)xf xf ( )2f xx在處連續(xù)( )(,)f x 綜上在其定義域內(nèi)連續(xù)34定義定義1 15 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義.若存在若存在x0I,使對使對I內(nèi)一切內(nèi)一切x,恒有恒有00( )()( )()f xf xf xf x或四、

18、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)0()( ).f xf xI則稱是在 上的最大值或最小值最大值與最小值合稱為最值35定理定理1515在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間一定能取得在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間一定能取得最大值和最小值最大值和最小值. .abxyo)(xfy 1212( ) , , , , , ,()( )()f xa bx xa bxa bf xf xf x 若在上連續(xù)則使得有2x1x最值定理最值定理四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)推論推論1010閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù)36xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有