1、第十一章向量自回歸前一章我們討論了向量隨機過程的基本性質(zhì)。本章我們將深入分析向量自回歸模型，這種模型更適合于估計和預測。由于Sims(1980)年在經(jīng)濟中的出色運用，向量自回歸模型在分析經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)性上得到了廣泛的應用。§1.1無限制向量自回歸模型的極大似然估計和假設檢驗按照時間序列模型極大似然估計方法，我們首先分析向量自回歸模型的條件似然估計。11.1.1 向量自回歸模型的條件似然函數(shù)假設yt表示一個包含時間t時n個變量的n 1的向量。假設yt的動態(tài)過程可以由下面 的p階高斯向量自回歸過程：yt c 1 2yt 2pyt p §,耳n(o, q)假設我們已經(jīng)在(T p)

2、個時間間隔中觀測到這些n個變量的觀測值。如同標量過程時的情形，最簡單的方法是將前p個樣本(表示為y p 1,y p 2, ,yo)做為條件，然后利用后面的T個樣本(表示為y1, y2, ,yT)形成參數(shù)估計。我們的目的是構造下面的條件似然函 數(shù)：彳丫-丫丁 -，丫訂丫。" 1 ,Y p 1 (yT , yT 1 , ，y1 |y0，y 1，y p 1； ®這里參數(shù)向量為e (c,1,2,p, q)，我們在上述函數(shù)中相對于參數(shù)b進行極大化。一般情形下，向量自回歸模型是在條件似然函數(shù)基礎上，而不是在無條件似然函數(shù)基礎上進行估計的。為了簡單起見，我們將上述“條件似然函數(shù)”稱為“似

3、然函數(shù)”，相應的“條 件極大似然估計”稱為“極大似然估計”。向量自回歸與標量自回歸過程的似然函數(shù)的計算方法是類似的?；跁r刻t 1以前觀測值，時刻t的yt值等于常數(shù)向量：c1yt 12yt 2pyt p ,加上一個多元正態(tài)分布的隨機向量§N(0, Q)，因此條件分布為：yt|yt 1, ,ytp n(c 1 ？yt 2pyt p, Q)我們可以將上述條件分布表示成為更為緊湊的形式。假設向量Xt是常數(shù)向量和yt滯后值向量構成的綜合向量：xt (1, yt 1, ,yt p)這是一個維數(shù)為(np 1) 1的列向量。假設 n表示下述n (np 1)維矩陣：n c, 1,2,p這時條件均值可

4、以表示為n xt, n的第j行包含var模型第j個方程中的參數(shù)。使用這樣的符號，我們可以把條件分布表示成為緊湊形式：yt |yt 1, ,yt p N(n xt, Q)因此第t個觀測值的條件分布可以表示成為：fYt|,Yt 1, ,Y p 1 (yt |yt 1,yt 2 , y p 1; e)(2 ) n/2|Q 1|1/2exp( 1/2)(yt n xj Q 1(yt n xj這是基于條件y。，y 1, ,y p 1)的觀測值從1到t的聯(lián)合概率分布為：fYt ,Yt 1, ,Yi|Yo,Y 1 ，丫 pi(yt,yt1, ,y1 |y0,y 1 ,y p 1 ; B)fYt n 2，,Y

5、iY°,y i ,y p 1 (yt 1 ,yt 2, ,y1 |yo,y 1 ,y p 1; B) fYtiYt 1,Yt 2 ,y p 1 (yt |yt 1,y12 ,y p 1； B)連續(xù)疊代利用上述公式，可以獲得全部樣本yyT1, ,y1基于yo,y 1, ,y p 1)的聯(lián) 合條件分布是單獨條件密度函數(shù)的乘積：fYT,YT 1, Y1|Yo,Y 1 ,Y p 1 (yT , yT 1 , y1 |y 0 ,y 1,y p 1 ； B)TfYt|Yt 1,Yt 2 ,Y p 1 (yt |y t 1,y t 2, y p 1 ； B)t 1因此，樣本對數(shù)似然函數(shù)為：TL(

6、B)log fYt|Yt 1,Yt 2 ,Y p 1 (yt |y t 1 ,y t 2, y p 1 ； B)t 1TnT11 T1iog(2 ) log |Q | 二(yt n xt) Q (yt n xj 2 2 21 111.1.2 的極大似然估計我們首先考慮 的極大似然估計，它包含常數(shù)向量c和自回歸系數(shù) j。我們的結論是它可以利用下述公式給出：TTaytXtxt xtn的第j行是:1） 1111這可以當作yt基于常數(shù)和xt母體線性投影的樣本估計，j1 (np 1)yjt xt11Xt Xtt 1這正是yjt基于常數(shù)和Xt進行線性回歸的普通最小二乘估計（ols）的估計系數(shù)向量。因此，V

7、AR模型第j個方程系數(shù)的極大似然估計可以從yjt基于常數(shù)項和該系統(tǒng)所有變量的p階滯后變量進行線性回歸得到的OLS估計獲得。為了驗證上述結論，我們將似然函數(shù)中的最后一項表示成為：T1(yt n xj Q (yt n xjtT(yt n xt n xt n xt) Q 1(yt n xt n xt n xt)t 1T?t (n n) xt Q (n n) xtt 1這里的n 1向量？t的第j個元素是從yjt基于常數(shù)和xt進行線性回歸得到的觀測值t的樣本殘差：? yt n xt進一步將上式化簡為:T? (n n) Xt Q 1?t (f? n) Xtt 1TT?t Q 冷 2? Q 1( n n)

8、xtTxt (nn) q 1( n n) xtt 1考慮上式的中間項，由于這是一個標量,T% q 1( n n) xtt 1Ttrace % Qt 1利用“跡算子”進行計算數(shù)值不改變:n) xtTtrace Q 1 (nt 1n) xt ?trace QT1(f? n)xtt 1注意到在線性回歸中,的j有：TXt ?jt 0t 1因此也有：TXt ?t 0t 1普通最小二乘估計下的樣本殘差與解釋變量是正交的,即對所有這樣就有：T1(yt n xt) Q (yt n xt) t 1因為Q是正定矩陣，它的逆矩陣*xt (n n) xt則上式最后一項可以表示成為：Txt(n n)Q 1(n n) x

9、tt 1因此，上式達到最小值時要求：自回歸系數(shù)提供了極大似然估計。TXtt 11也是正定矩陣。因此，定義一個n(n n) q 1( n n)Xt1維向量:Xtt 1XtQ 1xt 即：nn，這意味著ols回歸估計為向量t 1t 111.1.3 Q的極大似然估計我們可以利用矩陣導數(shù)的一些公式來獲得q的極大似然估計。在n的極大似然估計?處，條件似然函數(shù)為：TnT1L(Q, n)log(2 ) log|Q 1 |22T?t Q 1t 1我們的目的是選擇對稱正定矩陣使得上述函數(shù)達到最大。類似的矩陣導數(shù)運算得到:T?t Itt 1上述矩陣的第i行和第j列元素的估計為：1 T?ij 7? ?jtI t 1

10、這里殘差？t是VAR模型中第i個變量基于常數(shù)和所有變量的p階滯后進行回歸普通最小二乘估計得到的殘差。11.1.4 向量自回歸模型的似然比檢驗Likelihood Ratios Tests為了實施似然比檢驗，我們需要計算極大似然函數(shù)的具體數(shù)值，為此，我們考慮:T1 T-iog| ? 11 -22t 1L( ?, n)£log(2 )上式中的最后一項是:1 T2 t 1-trace2-trace2t-trace !? 1 (T ) traceT I n2 2Tn2代入到似然函數(shù)中，得到：?TnT ? 1 T nL( ?,詢)2 log(2 ) 2log| ? | 2這使得似然比檢驗比較容

11、易進行。假設我們希望檢驗的原假設是一組變量是由具有Po階滯后變量的高斯 VAR模型產(chǎn)生，而備選假設是滯后變量階數(shù)為 P1 Po。為了在原假設下估計系統(tǒng)，我們對系統(tǒng)中的每一個變量基于常數(shù)和所有其他變量及其Po階滯后變量進行最T小二乘回歸，設 ?0 (1/T) lt(Po)?t(Po )是從這些回歸中得到的殘差的方差-協(xié)方差矩t 1陣。因此在原假設 Ho下對數(shù)似然估計的極大值是：TnT o 1 T nLolog(2 ) log 1 ?o 12 2 2類似，該模型系統(tǒng)可以利用最小二乘估計對包括所有變量P1階滯后變量進行線性估計，得到備選假設下對數(shù)似然函數(shù)的最大值是：l Tnlog(2 ) pgi ?

12、11i TnT這里？1 (1/T) ?t(P1)2t(P1)是從第二組變量集合中獲得的方差-協(xié)方差矩陣。則似t 1然比對數(shù)的二倍可以表示為：2(L1L。)2Tlog| ?11| 2Tlog| 召。1| Tlog |log | ?1 |2n2gp。)2 2在原假設下，似然比統(tǒng)計量具有2 分布的漸近分布，自由度是附加在原假設H。上約束的數(shù)目，系統(tǒng)中每個方程在原假設H。上的約束條件是每個變量減少了(P1 Po)個滯后變量，因此一個方程中的參數(shù)零約束是n(P1 Po)，因此整個VAR模型系統(tǒng)的約束條件數(shù)目n2 (P1Po)，因此上述似然比統(tǒng)計量在原假設成立時的漸近分布是2n2(P1 Po)。例如，假設

13、在滯后 3階和4階的情形下估計一個二元 VAR模型，這時的參數(shù)階數(shù)為：n 2 , Po 3 , P1 4，假設原始樣本中每個變量包含50個觀測值，表示為y 3,y 2, $46 ,觀測值1至46用于估計滯后3階和4階指定時的系統(tǒng)參數(shù)，因此這時T 46。假設？t(Po)表示t時yit基于常數(shù)、y1t的3階滯后和ya的3階滯后進行回歸的殘差，假設計算得到:1 T C21 T21 TMt(Po)2.o ,?2t(Po)2.5,備(Po)?2t(Po) 1.oT t 1T t 1T t 1則有:So2.O 1.o1.o 2.5計算這個矩陣的對數(shù)行列式值為：log |呂0 |log 4 1.386。類似

14、地，假設將變量的滯后4階變量加入到回歸方程中來，則可以得到殘差的協(xié)方差矩陣為:1.8 0.9 0.9 2.2這個矩陣的對數(shù)行列式值為：log |為| 1.147。則有：2( L0)46(1.386 1.147) 10.992 29.49，因此拒絕原假設,檢驗統(tǒng)計量的自由度為22(4 3) 4，由于10.990.05(4)認為模型的動態(tài)性沒有被VAR(3)描述，這時采用 VAR(4)更為合適。Sims(1980)提出了一種修正的似然比檢驗，該檢驗考慮了小樣本帶來的偏差。他建議的統(tǒng)計量為：(T k)log | 幽 | log | ?1 |2n2(p p。), k 1 5這里的k是每個方程中需要估計

15、的參數(shù)個數(shù)。這個修正后的統(tǒng)計量保持原來的漸近分 布，但是降低了小樣本情形下拒絕原假設的可能性。對上面的例子而言，檢驗統(tǒng)計量為:(469)(1.386 1.147)8.84此時我們將得到相反的檢驗結果，這時原假設是被接受的。§1.2 二元 Gran ger 因果關系檢驗Bivariate Gran ger Causality Tests一個能夠利用VAR模型處理的關鍵問題是如何描述一些變量預測其他變量時的有用程 度。下面我們主要分析由Granger(1969)提出的，由Sims(1972)推廣的預測兩個變量之間關系的方法。11.2.1 二元 Granger 因果關系的定義Defi ni

16、 tion of Bivariate Gran ger Causality我們在這里分析的主要問題是一個標量隨機變量y對于預測另外一個標量隨機變量x是否有幫助？如果沒有任何幫助，則稱變量y沒有Gran ger影響變量x。更為正式地，如果對所有s 0 ,Xts基于(Xt,Xt1,)進行預測的均方誤差(MSE)與Xts基于(Xt,Xt1,)和(yt, yt 1,)進行預測的均方誤差是一樣的，則稱變量y無法Granger影響變量x(y failsto Gran ger-causex )。如果我們將預測限于線性預測，則當：MSEE?(Xt s|Xt,Xt1, ) MSEE?(Xt s| xt, xt

17、1,; yt ,yt 1,)則稱變量y無法Granger影響變量x。等價地，如果上述預測無助性成立，這時我們也稱“變量x在時間序列意義上相對于變量 y是外生的(x is exogenous in the time series sense with respect toy)。與上述意義相同的第三種表示是：如果上述預測無助性成立，則稱y關于將來的x是非線性信息化的 (y is not lin early in formative about futurex)。提出如此定義的 Gran ger觀點是：如果一個事件Y是另外一個事件 X的原因，則事件Y應該發(fā)生在事件 X之前。但是，即使人們從哲學角度同

18、意這樣的觀點，但在使用累積時間序列數(shù)據(jù)來實現(xiàn)這樣的觀點上遇到了巨大的障礙。為此，我們首先需要考慮二元系統(tǒng)中表示Gran ger因果關系的時間序列表示的機理。Alternative Implicatio ns of Gran ger11.2.2 Gran ger因果關系的另外一種啟示Causality在描述x和y的二元VAR模型中，如果對所有j，下述模型中的系數(shù)矩陣 j是下三角 矩陣，則稱變量 y無法Granger影響變量x。XtG110人1(2)110xt 21(1p)0Xt p1tytC2糾y22t 1(2)21yt 2(P)(p)y2122t p2t從這個模型系統(tǒng)的第-行可知，變量x的一階

19、段向前預測僅依賴自身的滯后值，不依賴變量y的任何滯后值:Ext 1 | xt, xt 1,; yt, yt 1 (1),)C111 Xt(2)11 Xt 1(p)11 xt p 1進一步，從模型中可以獲得Xt 2的值為：(1) (2)xt 2C111 xt 111 xt(p)X11 xt p 21, t 2根據(jù)投影的疊代法則，以t時刻的(Xt,Xt 1,;yt, yt 1,)為基礎的預測也僅僅依賴(xt, xt 1, ,Xt p 1)。通過歸納，上述推斷對任何s步長的預測都是成立的，因此上述斷言成立：如果對所有j，上述模型中的系數(shù)矩陣j是下三角矩陣，則變量y無法Granger影響變量x。根據(jù)向

20、量回歸方程中的結論，我們有下面的公式成立：% 1% 1 2 Ws 2 p % p , S 1,2,這里W。是單位矩陣，Ws 0 , s 0。這個表示意味著，如果對所有j，矩陣j是下三角矩陣，則對所有的 s，基礎表示中的移動平均矩陣Ws也是下三角矩陣。因此，如果變量 y 無法 Gran ger影響變量x，則MA()過程的表示為：Xt1n(L)01tyt221(L)22(L)2t這里：ij(L) fL1i j(2) L2i j(3) 3(0)i j L,11(0) (0)22 1 , 21 0Sims (1972)給出了 Gran ger影響關系的另外一種啟示。這樣的啟示可以從下面的命題得到。命題

21、11.1考慮變量yt依賴過去、當前和將來 xt的線性投影：ytcbjXt jd jXt j tj oj 1這里系數(shù)bj和dj定義為母體投影系數(shù)，即對所有的t和，有：E( tx ) 0則"變量y非Gran ger影響變量x ”的充分必要條件是：dj 0, j 1,2,11.2.3 Gran ger 因果關系的計量檢驗Econ ometric T ests for Granger Causality計量檢驗兩個具體的可以觀測到變量之間是否具有“變量y非Gran ger影響變量x的關系，都可以在上面論述的三種 Gran ger影響關系的意義上進行。最簡單也可能是最好 的方法是使用字回歸方程

22、中的下三角指定。為了進行這樣的檢驗，我們假設一個特殊的滯后階數(shù)為p的自回歸方程并利用OLS估計下面的方程：XtC11Xt 12Xt 2pXt p i yt i 2 yt 2pyt p ut我們?nèi)缓髮ο率鲈僭O進行H 0 :12F 檢驗:p 0根據(jù)前面的命題8.2，TRSSUt2t 1將這個平方和與僅依賴TRSS0et2t 1這里的單變量回歸方程是:Xt C01Xt 12Xt 2實施檢驗的一種方法是計算上述回歸的殘差平方和:Xt進行回歸的殘差平方和進行比較:pXt p定義F統(tǒng)計量為：S (RSS)RSS)/p RSS/(T 2p 1)如果該統(tǒng)計量大于 F(p,TF(p,T 2p 1)其中，RSS

23、i?2,RSS02p 1)分布的5%臨界值，則我們拒絕"變量y非Gran ger 影響變量x ”的原假設。這就是說，當S1充分大的時候，我們能夠得到“變量y確實Granger 影響變量x ”的結論。對于具有固定回歸因子和高斯擾動時，上述檢驗統(tǒng)計量在原假設成立時具有精確的 分布，然而，如果在 Gran ger因果回歸中具有滯后相依變量的話，那么上述檢驗只是漸 近的。漸近的等價檢驗統(tǒng)計量為：S2T(RSS0 RSS) 2/、- 一(p) RSS如果S2大于 2( p)分布的5%臨界值，則拒絕原假設“變量y非Gran ger影響變量 另外一種方法是利用基于 Sims形式的檢驗來代替基于 G

24、ranger形式的檢驗。與 Sims 形式有關的一個問題是，其中的誤差項在一般情況下是自相關的。因此檢驗“dj 0，j 1,2,”的標準F檢驗無法給出正確的答案。解決這種冋題的一種方法是可能存在自相關性的誤差項進行變換，假設誤差項t具有Wold表示：t22(L)V2t，在模型兩端乘以逆算子：h(L) 22(L) 1，得到：yt C2hj yt jbjXt jdjXt j V2tj 1j oj 1這時上述模型中的誤差項 V2t是白噪聲過程，并且與其它解釋變量無關。進一步，這時也有：“對任意j , dj 0 ”的充分必要條件是“對任意 j , dj 0”。因此，對上述模型中 的無限求和在某個整數(shù)

25、q上截斷，就可以利用檢驗“ d1 d2dq 0”的F統(tǒng)計量來檢驗原假設“變量 y非Granger影響變量x ”。在Gran ger影響關系的經(jīng)驗檢驗中，人們發(fā)現(xiàn)檢驗結果對選取的滯后階數(shù)q是比較敏感的，同時檢驗結果也依賴處理可能數(shù)據(jù)存在非平穩(wěn)性的方法。這些都是在使用Gran ger影響關系檢驗中應該注意的問題。11.2.4 解釋 Gran ger 因果關系檢驗In terpreti ng Gran ger-Causality Tests“Granger因果關系”與因果關系的標準含義是如何產(chǎn)生關系的？我們通過幾個例子 來說明這個問題。(1) Gra nger因果關系檢驗和前瞻行為我們繼續(xù)考慮股票投

26、資者的例子。假設在時刻t，一個投資者以價格 Pt購買一股股票，則在時刻t 1，投資者可以獲得紅利 Dt i，并以價格R i出售這股股票。這種股票的事前收 益率(ex post rate of return ，表示為rt 1)可以按照下式定義：(1 rt i) Rt Rt i Dt i如果在所有時刻股票的預期收益率是常數(shù)r，則下列一個簡單的股票價格模型成立：(1 rt)Rt EtRi Dt i這里Et表示股票市場參與者利用時刻t能夠獲得的所有信息做出的期望。在上述公式中包含的邏輯關系是，如果投資者在時刻t獲得的信息促使他們推測股票將具有高于正常的 收益率，則他們將在在時刻t購買更多的股票。這樣的

27、購買將促使股票價格P上升，直到上述公式得到滿足。這樣的觀點有時被稱為有效市場假說。如果滿足有界性條件，則股票價格路徑滿足:PtEtj iDt因此，按照有效市場假說，股票價格中包含將來所有紅利現(xiàn)值的最優(yōu)預測。如果這個預測是基于多余所有過去紅利的信息基礎上的，因為投資者企圖推斷紅利中的變動， 則股票價格將對紅利產(chǎn)生 Gran ger影響。為了比較簡單地解釋這一點，我們假設：Dt d utut 1 vt這里和Ut和Vt是獨立的高斯白噪聲序列，d是均值紅利。假設投資者在時刻t知道所有的Ut,Ut 1, 和Vt,vt 1, 。則基于這些信息對紅利 Dt j的預測是：d巳詠)d,Ut, j 1j 2, ,

28、3,將這些預測值代入到股票價格的貼現(xiàn)公式，得到：d utR-r 1 r因此，對這個例子而言，股票價格是白噪聲，因此無法在滯后股票價格或者紅利的基礎 上進行預測。沒有序列能夠?qū)善眱r格產(chǎn)生Gran ger影響。另一方面，注意到公式中的Ut i能夠從滯后股票價格中恢復出來。1 rUt i (1 r)R i dr上式說明，u中具有除了包含在Dt i,Dt 2, 以外的有關Dt的信息。因此，股票價 格對紅利具有 Gran ger影響，雖然紅利對股票價格沒有 Gran ger影響。因此，二元 VAR 模型具有下述形式：Ptd/r 00 Riut/(1 r)Dtd / r 1 r 0 Dt 1ut vt因

29、此，在這個模型中，Gran ger影響關系體現(xiàn)的因果關系是按照相反方向起作用的。紅利沒有對價格產(chǎn)生 Gran ger影響，即使投資者對紅利的察覺是股票價格的唯一確定成分。 另一方面，價格確實對紅利產(chǎn)生了 Gran ger影響，雖然現(xiàn)實中股票的市場估價對紅利過程 沒有任何影響。一般地，例如股票和利率等反應前瞻性行為的時間序列經(jīng)常被認為可以作為許多關鍵時 間序列非常優(yōu)秀的預測因子。顯然這并不意味著這些時間序列促使GDP或者通貨膨脹率上升或者下降。取而代之的是，這些時間序列的數(shù)值反應了GNP或者通貨膨脹率的走勢市場最優(yōu)信息。對于評價有效市場觀點，或者研究市場是否考慮或者能夠預測GDP或通貨膨脹率等，

30、對這些序列的Gran ger影響關系檢驗時有幫助的，但不應該用于推斷因果性的方向。從來就沒有那樣的情景，Gran ger因果關系用來為真實因果關系的方向提供有幫助的跡象。作為這種論題的示意，可以考慮試圖度量石油價格上漲對經(jīng)濟的作用結果。(2) 檢驗強經(jīng)濟計量外生性Testi ng for Strict Econ ometric Exoge neity二次世界大戰(zhàn)以后，美國經(jīng)濟中偶然出現(xiàn)的經(jīng)濟衰退之前，經(jīng)常伴隨著原油價格的急劇上升，這意味著石油價格沖擊是經(jīng)濟衰退的原因嗎？一種可能性是這種相關性是一種巧合，石油沖擊和經(jīng)濟衰退只是偶然地在近似的時間內(nèi)發(fā)生，而產(chǎn)生這兩個時間序列的真實機制是不相關的。我

31、們可以通過檢驗石油價格沒有 Granger影響到GNP這樣的零假設來判斷這樣的假設。這樣的假設被實際數(shù)據(jù)的檢驗所拒絕，即結論是石油價格有助于推斷GNP的取值，它們對推斷的作用是顯著的。這樣的討論反對相關性是一種偶然的論點。為了對這種關系給出一種解釋，我們需要確定石油價格中的上升并沒有反映出那些確實 是導致衰退的其他宏觀經(jīng)濟影響。石油價格上升的主要原因出于一些十分清楚的歷史事件的影響，例如1956 1957年的Suez危機，1973 1974年的Arab-Israeli 戰(zhàn)爭等，人們可 以接受這樣的觀點，即這些事件的形成原因完全屬于美國經(jīng)濟以外的，而且是完全不可預測的。如果這個觀點是正確的，則石

32、油價格與經(jīng)濟衰退之間的歷史相關性可以被解釋為一種因 果影響關系。這樣的觀點還具有一個可以辯論的支持，即沒有時間序列能夠Granger影響到石油價格序列。經(jīng)驗上看，人們確實很少能夠發(fā)現(xiàn)一些宏觀時間序列能夠有助于推斷石油 危機發(fā)生的時點。這兩個例子的主題是 Gran ger因果關系檢驗能夠作為檢驗關于特定時間序列可推斷性 的假設的有效工具。另一方面，人們可能會懷疑他們作為建立任意兩個時間序列之間影響關 系方向的一般診斷機制的功效。出于這個原因，最好將這個檢驗描述為檢驗是否 y有助于預測x,而不是檢驗是否 y影響x。這樣的檢驗對后一個問題有一定的啟發(fā)，但只有附加其他 假設才具有意義。到目前為止，我們

33、只考慮了兩個變量x和y，將它們與其它變量分離開來。假設還有其他變量與x或者y產(chǎn)生交互影響，這會對預測x和y之間的關系產(chǎn)生什么樣的影響呢？(3) 缺損信息的作用Role of Omitted In formatio n考慮下面三個變量構成的模型系統(tǒng)：y1t1LL01ty2t0102ty3t0L13t假設殘差向量滿足:E( q &s)00000,t s ； E( q £s)000 , t s2300022因此，上述模型表示 y在預測yi或者 y的過程中，比僅僅使用y和 屮滯后值相比沒有任何改進。我們現(xiàn)在考慮檢驗變量 yi和y3之間的Granger影響關系，首先考慮關于 yi的過程

34、：y1titit 1 2t 1注意到過程 y1是一個一階移動平均過程 1t1t 1與一個不相關的白噪聲過程 2t 1之和。我們已經(jīng)證明了這樣的過程仍然是一個一元MA(1)過程，具有類似表示為:y1tutut 1根據(jù)第四章的結論,ut ( 1t1t 1(2t 12t 2可以知道預測誤差可以表示為：1t 21t 3)( 1t2 3 )2t 32t 4)21t 21t 33 1t 4)y3,t 1相關:當然，一元預測誤差Ut與自身滯后值是無關的。但是,E(ut)(y3t 1) E(ut)( 3t 1 2t 2)22因此，滯后的y3可以有助于改進 y1的預測，而它原來是僅僅基于 y1滯后值進行預測的。

35、 這意味著在二元系統(tǒng)中 y能夠Granger影響y1。其原因是 y的滯后值與省略變量 y2是相 關的，這個省略的變量對預測如也是有幫助的。§11.3限制性向量自回歸模型的極大似然估計Maximum Likelihood Estimationof Restricted Vector Autoregressi ons在第一屆中我們討論了無限制向量自回歸模型的極大似然估計和假設檢驗問題。在這個VAR模型中每個方程都具有相同的解釋變量，即常數(shù)加上系統(tǒng)中所有變量的滯后變量。我 們已經(jīng)說明了如何計算線性約束的Wald檢驗，但我們沒有討論系統(tǒng)具有約束條件時的參數(shù)估計問題。因此，這節(jié)中我們考慮限制性

36、VAR模型的估計問題。多元情形下的Gran ger 因果關系Gran ger-Causalityin a MultivariateCo ntext作為一個我們在估計中感興趣的限制性系統(tǒng)的例子，考慮前面已經(jīng)討論過問題在向量情形下的推廣?？紤] VAR模型中的變量可以分成兩個群體，利用門1 1維向量丫牡和n2 1維向量y2t表示。這時VAR模型可以表示為:y1t c1 A 1x1tA2X2ty2tC2B1 x1tB 2x2t這里X1t是包含y1t滯后值的 gp 1)向量，X2t是包含y2t滯后值的(n2p 1)向量:y1,t 1y 2,t 1y 1,t 2y 2, t 2X1t, X2ty1,t p

37、y2,t p模型中n11維向量c1和n2 1維向量c2表示包含 VAR模型中的常數(shù)項。而矩陣Al, A2,Bi,B2包含自回歸系數(shù)。如果包含在 目2中的元素對于預測包含在yi中的任意元素沒有任何幫助，這種預測是僅僅依賴yi中所有元素的滯后值的，這時我們稱在時間序列的意義上，由變量yi的一組變量相對于y2中的變量是塊外生的(block-exogenous)。在上述模型系統(tǒng)中，當矩陣A2 0時,yi是塊外生的。為了討論受到這個約束限制的系統(tǒng)，我們首先關注非限制性極大似然估計 計算和估計的另外一種形式。極 大似然 函數(shù)的 另外一種表示 An Alternative Expression for th

38、e Likelihood Fun cti on我們在第一節(jié)中使用推斷誤差分解計算了VAR模型的對數(shù)似然函數(shù):TL(B)log fYtiXt (yt |Xt； B)y仆的邊際分布密度與給定丫仁條件下y2t的條t 1這里yt(y1t,y 2t ),Xt(y 11, y 12,y tp )，函數(shù)形式為：log fYt|Xt (yt |xt； e)n1n2嚴 log(2 )*ogQ11Q 21Q 12Q 2212 (y1tC1A 1X1tA 2X2t )(y2tC2B1X1B 2X2t)11Q121(y1tc1A1xt A 2X2t )Q 21Q 22(y2tc2B1x1tB2X2t )另外，上述聯(lián)合概率密度也可以表示成為件概率分布密度的乘積：fYt|Xt (y t |xt ; B)fY1t|Xt (y 1t |xt; B fY2t|Y1t,Xt (y 2t |y 1t , Xt ; B)基于條件xt , y1t的條件概率密度為:fY1t|Xt (y 1t |xt ; B)(2 ) n1/2| Qn | 1/21exp -(y1tC1A 1x1t1A 2x2t ) Q11 (y 1tA1x1tA 2x2t )而給定y1t和xt時y2t的條件概率密度也是正態(tài)的:fY2t|Y1t,xt(y2t|y1t,Xt； B (2