1、會計學1數理方程與特殊函數鐘爾杰例題數理方程與特殊函數鐘爾杰例題(lt)與習與習題題第一頁，共16頁。 0),3sin(0, 00,0,0002tttxxxxttuxuuutxuau 例例1.分離變量法求解分離變量法求解 波動波動(bdng)方程定解方程定解問題問題 1)sin()sin()cos(),(nnnnxantDantCtxu 3, 13, 0)sin()3sin(20nndnCn 0)sin(0210 dnanDn解解:利用利用(lyng)公式公式)3sin()3cos(),(xattxu 第1頁/共16頁第二頁，共16頁。 1)12sin(1214)(kxkkxf 1,0,01,

2、01xx，第2頁/共16頁第三頁，共16頁。例例6P.51解解:設設 u(x, t) = v (x, t) + W (x) 代入方程代入方程(fngchng), 可可得得09894 W20, 0 xxWW W = x2利用利用(lyng)疊加原理疊加原理, 得得0,3sin0, 0000 tttxxvxvvv )0,0(94 txvvxxtt 0,3sin, 002020 tttxxuxxuuu )0,0(9894 txuuxxtt 第3頁/共16頁第四頁，共16頁。xttxv3sin2cos),( 1)sin()32sin()32cos(),(nnnnxntDntCtxvxnxCnn3sin

3、)sin(1 3, 13, 0nnCn0)sin(321 nnnxnD Dn = 023sin2cos),(xxtWvtxu 第4頁/共16頁第五頁，共16頁。熱傳導方程熱傳導方程(fngchng)第一類邊界第一類邊界方程方程(fngchng)的的Fourier解解 1)(sin),(2ntnannxeBtxuxxnxBnn3sin2sinsin1 B1 = 1, B3 = 2, Bn = 0 )3, 1( nxexetxutata3sin2sin),(22)3( 0, 03sin2sin)0,0(002 xxtxxtuuxxutxuau初始條件初始條件 第5頁/共16頁第六頁，共16頁。習題

4、習題(xt)3.1第第1題題(1)(, 00, 0000 xLxuuuutttLxx )0,0(2 tLxuauxxtt解解: 固有固有(gyu)值問題值問題 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函數固有函數xLnXn sin n = 1,2, 1)sin()sin()cos(),(nnnxLnatLnDatLnCtxu 利用利用(lyng)初初值條件值條件0)sin(1 nnxLnC 第6頁/共16頁第七頁，共16頁。)()sin(1xLxxLnDLannn Cn = 0 LnxdxLnxLxLDLan0sin)(2 LLxdxLnxLnLxdxLnxLx

5、00cos)2(sin)( 1cos)(2sin)(2302 nnLxdxLnnLL)1(1 )(443nnnaLD 所以所以(suy) 1443sinsin)1(1 4),(nnxLntLannaLtxu 第7頁/共16頁第八頁，共16頁。習題習題(xt)3.2第第1題題)(0, 000 xLxuuutLxx )0,0(2 tLxuauxxt解解: 固有固有(gyu)值問值問題題 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函數固有函數xLnXn sin n = 1,2, 1)sin()exp(),(nnxLnatLnAtxu 利用利用(lyng)初初值條件值條件

6、)()sin(1xLxxLnAnn 第8頁/共16頁第九頁，共16頁。 LnnnLxdxLnxLxLA0332)1(1 4sin)(2 1332)sin()exp()1(1 4),(nnxLnatLnnLtxu 第9頁/共16頁第十頁，共16頁。固有值問題固有值問題I 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX xLnBxXnn sin)( 222Lnn 第10頁/共16頁第十一頁，共16頁。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值問題值問題II2224)12(Lnn xLnBxXnn2)12(sin)( 第11頁/共16頁第十二頁，共16頁。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值值問題問題III2224)12(Lnn xLnAxXnn2)12(cos)( 第12頁/共16頁第十三頁，共16頁。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值值問題問題IVxLnAxXnn cos)( 222Lnn 第13頁/共16頁第十四頁，共16頁。 0 , 0)0(0, 0LxhXXXLxXX 固有固有(gyu)值值問題問題V通解通解:xBxAxX sincos)( X(0)=0A=00 LxhXXxBX sin 0sincos LhL hL tanLhvv tan令令Lv vy2 Lvkk kvkk )21(k =