1、專題一 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式 1(2010)ln1()11(22 )22 11af xxaxaxayf xfaf x R山東卷已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程例；當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性 12fxfx根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切入點(diǎn)：切線方程； 先求，再根據(jù)的符號確定單 調(diào)區(qū)間 2211ln1(0)1ln2121(22 )1.2ln22(22 )ln2222. 0af xxxxxfxfxxyf xffyf xfyxxy 當(dāng)時(shí)，即曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為又，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，即解析： 222212ln1111(0)1(0)af xxaxxafxaxxaxxaxxg x

2、axxax ，令， ( )01(0)0,100(1)00ag xxxxg xfxf xxg xfxf x 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增 21212( )001011.1020(0)af xaxxaxxaxxg xf xf x 當(dāng)時(shí)，由，即，解得，當(dāng)時(shí)，恒成立,此時(shí)，函數(shù)在 ，上單調(diào)遞減； 1101100,12001(11)001(1)00axag xfxfxxg xafxfxxg xafxfx 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減 10100,100(1)00aaxg xfxf xxg xfxf x 當(dāng)時(shí)，由于，

3、則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增 00,1(1)1(0)2100,12(11)( 1)af xaf xaf x當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在 ，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 ，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在 ，上單綜上所述調(diào)遞增，在，上單，調(diào)遞減1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)f(x)的符號確定單調(diào)區(qū)間由f(x)0得單調(diào)增區(qū)間，由f(x)0得單調(diào)減區(qū)間2知切點(diǎn)(x0，y0)求切線方程時(shí)，要留意如下幾點(diǎn)：(1)切線的斜率k=f(x0)；(2)切點(diǎn)(x0，y0)在曲線上；(3)切點(diǎn)(x0，y0)在切線上 3.1()20()1 fxxxyfxM tf ta

4、abyfxabf a已知函數(shù)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；設(shè)，如果過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，證明：變式 223131.()312 .f xfxxyf xM tf tytxtyf tftxt的導(dǎo)數(shù)曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，：即解析 23323222()312 .()23023666abtbtatabyf xtatabg ttatabg ttatt ta證明：如果有一條切線過點(diǎn) ， ，則存在，使若過點(diǎn) ， 可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則 tg tg t當(dāng) 變化時(shí)，的變化情況如下表：t(-，0)0(0，a)a(a ， +)g(t)+0-0+g(t)增函數(shù)極大值a+b減函數(shù)極小值b-f

5、(a)增函數(shù) 0003000200020g tabbf ag taabg tttg tabf ag tttag t 由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程，得或，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程，得或，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根 ()000abyf xg tababf abf a 綜上，如果過點(diǎn) ，可作曲線的三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則，即 32(2009)2(0)122,15112 f xaxaxb af xf xf x東莞二模已知函數(shù)求出的極值點(diǎn)，并指出其是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；若在區(qū)間上的最大值是 ，最例小值是，求的解析式 0fxfx對可導(dǎo)函數(shù)而

6、言，極值點(diǎn)必在處取得，而最值在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得，因此，可從求導(dǎo)入手，利用列表的方法進(jìn)切入點(diǎn)：行求解 32212123434400.3f xaxaxbfxaxaxaxxfxxx ，得，解令，析： 04400334003xfxf xaa函數(shù)的極值點(diǎn)是 ，且 是極當(dāng)時(shí)，則 、的變化情況如下表：當(dāng)時(shí)，小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)是極同理可驗(yàn)大值點(diǎn)，是證極小值點(diǎn)43x(-，0)0(0, )( ,+)f(x)-0+0-f(x)極小極大4343 1222,1511.4002,130f xfxxxaxfxf x 在區(qū)間上的最大值是 ，最小值是由，得，若，則 、的變化情況如下表：x-2,0)0(0,1f(x)+0-f

7、(x)遞增極大遞減 x2a332m0055.216515122165111.25.0001111.21611111211251.21ffbfafafffaafxxxaffbfafafffxxfaxfx 必 為 最 大 值 ， 得，若， 同 理 可 得為 最 小 值 ， 得，1留意區(qū)分極值點(diǎn)與極值2求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)f(x)=0的根；(3)列表檢查f(x)在方程根左右的符號；(4)求出極值3求可導(dǎo)函數(shù)在a，b上的最值的步驟：(1)求出f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求f(a)、f(b)的值；(3)比較f(a)、f(b)及極值的大小得結(jié)論 2(2010)(3)

8、ee1021,2xfxxxfxxfx深圳二模 已知函數(shù)，其中 是自然對數(shù)的底數(shù)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與變式2 最小值 222991(3)e0449323 e(3)e()e4430.0493.404349xxxxf xxxffxxxxxxxyff xxyx ，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即解析： 2321() e213()()e .22xxf xxfxxxxf xfx由得，則當(dāng) 變化時(shí)，函數(shù)，的變化情況如下：1232x-1,- ) -(- ,- ) ( ,2f(x)+0-0+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增32321212 maxmin1,21max ()2 23m

9、in1( )2f xf xfff xff函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值，122551m1i2a xmn112()e4 e241 632 5 60 ,4432 5()10e0241()23()4 e.20ffeeefffxffxf， 21212(2009)ln0.1121e(e)3 af xxg xxxxaxh xf xg xaxxf xg xa廣州二模 已知函數(shù)，其中若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的值；若對任意的 ，為自然對數(shù)的底數(shù) 都有成立，求實(shí)數(shù) 的例取值范圍 minmax11102xh xhfxg xa是的極值點(diǎn)，則；采用轉(zhuǎn)化的思想方法切入點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求時(shí) 的?。?值范圍 222112ln1(0

10、)2.110330.03.31.ah xxxxah xxxxh xhaaaaxh xa 方法 ：，其定義域?yàn)?，是函數(shù)的極值點(diǎn)，即因?yàn)?，所以?jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，解析： 222222221222ln1(0)2.102020.1 80011 811 8().44ah xxxxah xxxah xxxaxxah xaaxx 方法 ：因?yàn)?，其定義域?yàn)?，所以令，即，整理得，有兩個(gè)實(shí)根舍去， 2211813.340.xh xh xaaaa 當(dāng) 變化時(shí)，的變化情況如下表依題意，解得因?yàn)?，x(0，x2)x2(x2，+)h(x)-0+h(x)遞減極小值遞增 121212minmaxmax22221e

11、1e.11e10ln1eee1.()()11e0.xxf xg xxxf xg xxgxxg xxxg xgaxa xafxxaxx 對任意的 ， ，都有成立等價(jià)于對于任意 ， ，都有當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在 ， 上是增函數(shù)，且， ， 222min2011e()()01e11.1e1.01axxaxafxxafxxxfxfaaaeaae當(dāng)且， 時(shí)，函數(shù)在 ，上是增函數(shù)由，得又，不合題意. 222min1e()()10()()e0.1)(e2 .112e1.1ee.22axa xaxafxxxa xaaxfxxaf xxaxaf xf aaeeaaaa當(dāng)時(shí)，若，得；若，得函數(shù)在 ，上是減函數(shù)，在 ， 上

12、是增函數(shù)由，得又， 2222min()()e1e01eee. ee 1e.eeee2e.1)x a xaaxfxxaf xxxaaf xfaaaa 當(dāng)且， 時(shí)，函數(shù)在 ， 上是減函數(shù)由，得又，綜上所述， 的取圍，值范 為1利用導(dǎo)數(shù)研討函數(shù)的性質(zhì)要留意如下幾個(gè)方面：留意函數(shù)的定義域掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法那么可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要條件為f(x0)=0.即在x0處有極值，那么必有f(x0)=0，但f(x0)=0，那么x0不一定是極值點(diǎn)恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題：f(x)m在a，b上恒成立f(x)minm，f(x)M在a，b上恒成立f(x)maxM.x1，x2a，b都有f(x1)

13、g(x2)x1，x2a，b都有f(x)ming(x)max.2留意分類討論思想的運(yùn)用對于給定范圍內(nèi)的最值問題，要根據(jù)極值點(diǎn)的位置進(jìn)展分類討論對于函數(shù)y=x+ ，要根據(jù)x=a能否在給定區(qū)間進(jìn)展討論，這和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，根據(jù)x=- 能否屬于所給閉區(qū)間上的討論是一致的 2 ax2ba 2(2010)ln.1231f xxxf xf xxf xkxk深圳一模 已知函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性；求變式3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若關(guān)于 的方程有 實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 221 |0lnlnf xx xxfxxxxxf xf x R函數(shù)的定義域?yàn)榍遥P(guān)于原點(diǎn)對稱解析為： 又，偶函數(shù)21211221121221

14、202ln2 ln10e(e0 )(e)(e)(0e)0e0 xfxxxxxxxxfxfxxfxfxfxfx 當(dāng)時(shí) ，若， 則，遞 減 ；若， 則，遞 增 再 由是 偶 函 數(shù) ， 得的遞 增 區(qū) 間 是， 和，；遞 減 區(qū) 間 是，和， 31111f xkxyf xykxf xykxf xk方法 ：要使方程有實(shí)數(shù)解，即要使函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)函數(shù)的圖象如圖先求當(dāng)直線與的圖象相切時(shí) 的值 222202ln1()011ln1 0. *1*01ln1 0 xfxxxP a f ayf afa xaxyf afaaaaaaaaaa 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為將，代入，得，即 顯然，滿足而當(dāng)時(shí)，；

15、 221ln10.*111.111(11)aaaaakfkykxf xf xkxk 當(dāng)時(shí)，所以有唯一解，此時(shí)再由對稱性，時(shí)，也與的圖象相切，若方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取，范，值圍是 222121ln.1ln.110ln1ln10.f xkxxxkxg xxxxxxgxxxxxg 方法 ：由，得令當(dāng)時(shí)，顯然 minmax01010011.011.(111(11)xgxg xxgxg xxg xggxg xg xxg xgg xf xkxk 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，又，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，若方程有?shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的，圍是，取值范1明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即曲線y=f(x)在(x0，f

16、(x0)處切線的斜率是f(x0)2熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么及根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)問題的前提3函數(shù)的極值反映函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)附近的部分性質(zhì)對可導(dǎo)函數(shù)而言，點(diǎn)x0滿足f(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件故由f(x0)=0得x0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，還必需檢驗(yàn)x0兩側(cè)f(x)的符號能否異號因此，經(jīng)常采用列表的方法進(jìn)展判別4在普通情況下，極大(小)值不一定是最大(小)值；最大(小)值也不一定是極大(小)值但假設(shè)延續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只需一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值5恒成立問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為最值問題 21.e AB(0)(0C(2)(0)D

17、(2)2,0(0)xyx R 關(guān)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的說法正確的是在 上是遞增函數(shù)在 ，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)在，上是增函數(shù)在， 上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在 ，上是增函數(shù)22222e2 ee2e .e020200220.Dxxxxxyxxxxxxxxxxxx 恒成立，故要么，要么，解析解得要么或，要么，故選： 2. f xf xyf xf x 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)已知的圖象如右圖所示，則的圖象只能是 (0)00,20(2)0. CCfxxfxf xxfxf xxfxf x 由的圖象知，當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)故只有解符合，則選析： 3. yf xyfxyf x若二次函數(shù)

18、的圖象過原點(diǎn)，且它的導(dǎo)數(shù)的圖象是經(jīng)過第一、二、三象限的一條直線，則的圖象的頂點(diǎn)在第 象限 222(0)0.200.()400.244f xaxbx c acf xax babm nbac bbmnaaayf x設(shè)，則又，且它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，所以，設(shè)拋物線解析： 的頂點(diǎn)為 ， ，則，故的圖象的頂點(diǎn)在第三象限324.1,09 .yxy axxa 若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則的值為330323000000020201,0()332.31,00.215009425;643272715251924446.41.yxxxyxxxxyx xxxxxyyaxxaxyxyaxxaaa 設(shè) 過 點(diǎn)的 直 線 與相 切 于 點(diǎn)，切 線 方 程 為， 即又 點(diǎn)在 切 線 上 ，解則或當(dāng)時(shí) ， 由 直 線與 曲 線相 切可 得當(dāng)時(shí) ， 由與析或切 可 得 相： 25.0121,2f xaxbxc cf xf xg xyg xx已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示求函數(shù)的解析式；令，求在上的最大值 21221221.11.fxaxbfxxaabbf xxxc因?yàn)?，由圖可知，,得故所求函數(shù)解析式為解析： 22222max21111011,201,2123.2f xxx ccg xxxxxcxcxc xcg xxxxccxg xg