1、簡單的灰色預(yù)測-GM(1,1)預(yù)測1982年，華中理工大學(xué)鄧聚龍教授首先提出了灰色系統(tǒng)的概念，年，華中理工大學(xué)鄧聚龍教授首先提出了灰色系統(tǒng)的概念，并建立了灰色系統(tǒng)理論，引起了國內(nèi)外很多學(xué)者、科技人員的并建立了灰色系統(tǒng)理論，引起了國內(nèi)外很多學(xué)者、科技人員的重視。之后，灰色系統(tǒng)理論得到了較深入的研究，并在眾多方重視。之后，灰色系統(tǒng)理論得到了較深入的研究，并在眾多方面獲得了成功的應(yīng)用。面獲得了成功的應(yīng)用。 【灰色系統(tǒng)】：既含有已知信息又含有未知的非確知的信息的系統(tǒng)。例如：人口問題、歷史系統(tǒng)、中醫(yī)系統(tǒng)等?！净疑到y(tǒng)的描述】：灰色系統(tǒng)用灰色參數(shù)（灰元、灰數(shù)）、灰色方程、灰色矩陣、灰色度等綜合描述，其中灰

2、數(shù)是灰數(shù)系統(tǒng)的基本“單元”或“細(xì)胞”。v灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找其變化規(guī)灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找其變化規(guī)律的，這是一種律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，的途徑，稱為灰色序列生成。稱為灰色序列生成。v（灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀表象復(fù)雜，數(shù)理離亂，但總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟?。一切灰色序列都能弱化其隨機(jī)性，弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性顯現(xiàn)其規(guī)律性。）。）v灰色理論中常用的生成方法有：累加生成（AGO），即累加生成算子；累減生成(IAGO)或逆累加生成以及均值生成Z。v生成法如下：v

3、設(shè)原始數(shù)據(jù)列為： ，則v1次累加（1-AGO）： ， 其中 ； .vR次累加（r-AGO）： ， 其中 ；v 均值生成Z： ;v 累減生成IAGO： 。(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )xxxxn(1)(1)(1)(1)(1),(2),( )xxxxn(1)(0)1( )( )kmxkxm( )( )( )( )(1),(2),( )rrrrxxxxn( )(1)( )(1)1( )( )(1)( )krrrrmxkxmxkxk(1)(1)(1)1( )( )(1)2zkxkxk(1)(1)(1)(1)(0)( )( )(1)( )xkxkxkxk定義定義1 稱 為GM(1,1)模

4、型（一階灰色模型（一階灰色微分方程模型）微分方程模型）.其中符號GM(1,1)的含義如下:G M (1, 1) Grey Model 1階方程 1個(gè)變量bkazkx)()() 1 ()0() 1(5 . 0)(5 . 0)() 1 () 1 () 1 (kxkxkz定理定理1 設(shè)X(0)為非負(fù)序列:其中x(0)(k)=0,k=1,2, ,n; X(1)為X(0)的1-AGO序列:其中 ; Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列:其中 ;k=2,3, ,n 若 為參數(shù)列,且則灰色微分方程 ,即 的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足) 1(5 . 0)(5 . 0)() 1 () 1 () 1 (kxkxkz)

5、(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX )(,),2(),1 () 1 () 1 () 1 () 1 (nxxxX nkixkxki, 2 , 1, )()(1)0() 1 ( )(,),3 (),2() 1 () 1 () 1 () 1 (nzzzZ bkazkx)()() 1 ()0( , )Tua b 1)(1)3(1)2(,)()3()2()1()1()1()0()0()0(nzzzBnxxxY1()TTuB BB YYB u(1)(0)(1)22222(1)(1)22( )( )(1)( )(1)( )( )nnnkkknnkkzkxknzkanzkzk2(0)(1

6、)(1)(1)222222(1)(1)22( )( )( )( )(1)( )( )nnnnkkkknnkkxkzkzkzkbnzkzk定義定義2 設(shè)X(0)為非負(fù)序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列, Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列, , 則稱為灰色微分方程的白化方程白化方程,也叫影子方程.1()TTuB BB Ybaxdtdx)1()1(bkazkx)()() 1 () 0(定義定義3 稱GM(1,1)模型中的參數(shù)-a為發(fā)展系數(shù)發(fā)展系數(shù),b為灰色作用量灰色作用量.( , )Tua b定理定理2 設(shè)B,Y, 如定理1所述,則白化方程 的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為GM(1,1)灰色微分方程

7、 的時(shí)間響應(yīng)序列時(shí)間響應(yīng)序列為為取x(1)(1)=x(0)(1),則1還原值a baxdtdx)1()1(bkazkx)()() 1 ()0(0)(1)(1)(1)(1)( );1,2,xkxkxk kn(1)(1) (1) (1);1,2, ,akbbx kxeknaa nkabeabxkxak, 2 , 1;) 1 () 1() 0() 1 ( (1)(1)(1)( )(1)a tbbxtxeaa定義定義4 設(shè)序列 將x(0)(n)取為時(shí)間軸的原點(diǎn),則稱tn為未來.定義定義5 設(shè)序列為其GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值,則當(dāng)tn時(shí),稱 為模型預(yù)測值模型預(yù)測值. 建模的主要目的是預(yù)測,為

8、提高預(yù)測精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤其是t=n時(shí)的模擬精度.因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括x(0)(n)在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列.)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX )(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX akaeabxekx) 1 ()(1 () 1()0()0()()0(tx)() 0(tx當(dāng)GM(1,1)發(fā)展系數(shù)|a|=2時(shí),GM(1,1)模型無意義.通過分析,可得下述結(jié)論:(1)當(dāng)-a=0.3時(shí),GM(1,1)可用于中長期預(yù)測(2)當(dāng)0.3-a=0.5時(shí),GM(1,1)可用于短期預(yù)測,中長期預(yù)測慎用(3)當(dāng)0.5-a=0.8時(shí),GM(1,1

9、)作短期預(yù)測應(yīng)十分謹(jǐn)慎(4)當(dāng)0.8-a1時(shí),不宜采用GM(1,1)GM(1,1)模型的適用范圍模型的適用范圍后驗(yàn)差檢驗(yàn)v（1）計(jì)算原始數(shù)列的均值v（2）計(jì)算原始數(shù)列的均方差v（3）計(jì)算殘差的均值v（4）求殘差的均方差niixnx1)0()0()(11200nSSnixixS12)0()0(20)(niin1)0()0()(11211nSSniiS12)0()0(21)(v（5）計(jì)算方差比v（6）計(jì)算小誤差概率v（7）檢驗(yàn) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般精度等級的劃分如下表 01SSc 6745. 0|)(|0)0()0(Sip預(yù)測精度等級劃分v在允許范圍之內(nèi)時(shí)，則可用所建模型進(jìn)行預(yù)測，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正殘差修正。pc值值預(yù)測