1、光電信息學院 李小飛第三章：量子力學中的力學量第三章：量子力學中的力學量第第二二講：講：算符本征函數(shù)系算符本征函數(shù)系一、所有力學量算符都是線性厄密算符1 1221122A (cc) c Ac A（） （）* A d= (A)d(,A)(A,)二、（厄密）算符對易式0, 稱為不對易三三、厄密算符的厄密算符的本本征方程征方程Aa如上式，若厄密算符作用于一波函數(shù)，結(jié)果等于一個常數(shù)乘以這個波函數(shù)，則稱這個方程為厄密算符的本征方程。 并稱 是 的本征值， 為屬于 的本征函數(shù)，aAa定義：定義：測量公設測量公設：在任意態(tài)下對力學量A進行測量，其測量值必是相應于算符 的本征值 之一 ；當體系處于算符A的某一

2、本征態(tài) 時，則每次測量值是完全確定的，即為 nannaA2. 在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。四、厄米算符四、厄米算符的本征值的本征值與與本征函數(shù)的相關(guān)本征函數(shù)的相關(guān)定理定理：1. 厄米算符的本征值為實數(shù)。3. 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。4. 厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化。5. 厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性。6. 厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉性。定理定理1 1 厄密算符的本征值是實數(shù)定理定理2 2 在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符*AAA的 平 均 值 是 實 數(shù)AA（ ，）（， ）12令：12121212A(A，)（)）12

3、211221( )+(A)AAA+，（，）（，）1122iaibee?。?, ，代入上式,有()()12122121( )-( )( )-( )AAAAi b ai b aee，12122121( )=( ),b,( )=AA( )AAa是任意實，數(shù)，證畢定理定理3 3 厄密算符的任意兩屬于不同本征值的本征函數(shù)正交. 看兩個空間矢量內(nèi)積：如果看兩個空間矢量內(nèi)積：如果1212( ,)0r rr r 我們就稱兩矢量正交我們就稱兩矢量正交( (也稱線性無關(guān)也稱線性無關(guān)) )，即一個矢量在，即一個矢量在另一個矢量方向的投影為零。內(nèi)積的實質(zhì)就是求投影！另一個矢量方向的投影為零。內(nèi)積的實質(zhì)就是求投影！我們

4、先理解正交的含義，再證明這個定理我們先理解正交的含義，再證明這個定理 正因為如此，我們常稱波函數(shù)為正因為如此，我們常稱波函數(shù)為態(tài)矢量！態(tài)矢量！ 如果兩個函數(shù)的內(nèi)積如果兩個函數(shù)的內(nèi)積 ，我們稱他們正交！，我們稱他們正交！12(,)0 *1*1(,)0,*0nnmnmnmnmnmnmnddmnmnd，定義： 即：正交歸一系：滿足以上條件的一組本征函數(shù) n 或 構(gòu)成正交歸一系。本征分立譜：*1*()1()(,)()0,*0ddd ，定義:有：本征連續(xù)譜： tips:tips:若若本征函數(shù)本來是歸一的，可以把本征函數(shù)本來是歸一的，可以把正交正交與與歸一歸一合并合并定理定理4 4 屬于同一本征值的多個簡

5、并本征函數(shù) 可經(jīng)重組后變得正交歸一化：A,(1,2,3,.,)iiaaaif如果對于同一本征值有多個獨立的本征函數(shù)則稱本征值a是f重簡并的，稱這種態(tài)叫簡并態(tài) 這f個函數(shù)不一定彼此正交歸一，但它們可以重新組合成f個獨立而且彼此正交歸一的新函數(shù)，這些新函數(shù)依然是本征值a的本征函數(shù)。例如：原子的px,py,pz三個軌道都有相同的本征能量，但是波函數(shù) 卻是不同的，因此它們就是3重簡并的。2s2px2py2pz例 解：先找正交歸一化函數(shù) 再來看它們是否簡并定理定理3 3 厄密算符的任意兩個屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。定理定理4 4 屬于同一本征值的多個簡并本征函數(shù)可經(jīng)重組后正交。 我們可以認定厄密算符

6、的本征函數(shù)是彼此我們可以認定厄密算符的本征函數(shù)是彼此正交歸正交歸一一的的綜合定理3和4*(,)mnmnmnmnd則：A,nnna即：即： 對于厄密算符對于厄密算符A A，本征方程如下，本征方程如下，定理定理5 5 厄密算符的本征函數(shù)系具有完備性，構(gòu)成完備系.完備性：完備性：任一態(tài)函數(shù)都可用任一力學量的本征函數(shù)系展開，不再需要使用其他任何函數(shù)。.nnnkkkcc( , )( )( )( , )( )( ).nnnkkkr tc trr tc tr如何理解這種完備性？比較空間矢量與態(tài)矢量：112233nnPxiyjzkx ex ex ex emnmnee坐標基矢正交歸一： 是一組完備的正交歸一系（

7、基組），123 ,e e e 如何理解這種完備性？所以，空間上任意矢量都可以用這個基組展開，不再需要添加其他任何基矢。坐標基組是完備的！三維空間任一矢量：(,)(,)(,)nmnmmnmnmmmmmncccc nnnc我們來看態(tài)函數(shù)的展開系數(shù)：數(shù)學理解：態(tài)函數(shù)就象矢量，本征函數(shù)就象基矢；態(tài)函數(shù)的展開系數(shù)就是在相應基矢上的投影；所有的投影構(gòu)成了態(tài)函數(shù)在這組本征函數(shù)基組上的坐標；坐標構(gòu)成的數(shù)集可以用來表示這個態(tài)矢量.nnkknkcc繼續(xù)n nPx e它是態(tài)矢量在相應本征函數(shù)上的投影！12( ,. )nc cc123( ,)Px x x證明如下：( ,A)( ,A)( ,A)( ,)nnnnnnnn

8、nnccc a(,)mmnnnmncc a*,mnnmnnnnm nnc c ac c a2| |nnnca說明它的確就是測得本征值an的概率！( ,)nnnnnnc 統(tǒng)計理解：任一波函數(shù) 都可在本征函數(shù)系（基組 ）上 展開，展開系數(shù) 就是 處于本征態(tài) 的概率n2|ncn測量理解：展開系數(shù) 就是在 態(tài)時對力學量A進行測量時， 所得值是本征值 的概率；并且，每一測量值都 屬于本征值集na2|ncna2| |1nnc測得值只能是本征值系中的一個，不可能是其他的什么值。證畢！就如三維空間一個矢量與其坐標數(shù)組是等效的；123( ,)( , , )Px x xi j k量子力學的態(tài)矢量也與其在任一本征函

9、數(shù)集上的展開系數(shù)所構(gòu)成的數(shù)組（一維矩陣）等效。12( ,.,c ) nnc c波函數(shù)與矩陣的等效性Tips:由基矢i, j, k所張開的空間叫三維矢量空間。由本征函數(shù)系 所張開的n維矢量空間，稱為Hilbert空間，波函數(shù)是這個空間的一個矢量n封閉性是完備性的充要條件：( )( )nnnxcx*( ) ( )nncxx dx*( )()( ) ()nnnxxxx dx*()( )()nnnxxxx( ),( )()nnxxxx完備性封閉性：本征函數(shù)在自身的投影是一個函數(shù)定理定理6 6 厄密算符的本征函數(shù)具有封閉性.*()( )()nnnxxxx*()()( )nnnxxxx1.本征函數(shù)的封閉性

10、也可看作是 函數(shù)按本征函數(shù)展開時，其展開系數(shù)恰好是本征函數(shù)的復共軛。2. 本征函數(shù)在自身的投影是函數(shù), 在其它本征函數(shù)上 的投影是01 12212.c( ,.,)nnnccc cc12( )00.()(0,0,., ()nnxxxxx封閉性的理解為什么投影是“” 函數(shù)，( )(0,0,., , .)1 .nx( )( )nnnxcx(1( )( )nnnnnxcxx( )( )( )()nnnnnxcxxxx原因在于基函數(shù)是一種函數(shù)，帶有自變量x；也就是說，即算對于同一個基函數(shù)，自變量x的值不同，函數(shù)的值也是不同的！本征函數(shù)小結(jié)：完備性：nnnc正交歸一性：*mnmnd封閉性：*( )( )(

11、 )nnnxxxx投影：*( )( )nnxxc(,)mnmn( ),( )( )nnxxxx( ),( )( )nnxxxx(,)nnc再論波函數(shù)：1. 統(tǒng)計解釋：波函數(shù)的模方描述粒子的概率分布 (r, t) = |(r, t)|2 2.波函數(shù)已知， 則任意力學量的本征值、權(quán)重及它們的統(tǒng)計平均都可知道。即描寫粒子狀態(tài)的一切力學量都能知道。波函數(shù)完全描述體系的量子態(tài)，也稱態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)。3.波函數(shù)可在任一力學量算符的本征函數(shù)系上的展開，且與由展開系數(shù)矩陣等效。波函數(shù)是Hilbert空間的一個矢量。 4. 知道體系初始時刻的態(tài)函數(shù)及其所處的力場，通過解薛定諤方程即可確定以后各時刻的體系的態(tài)函數(shù)。波函數(shù)完全描述微粒的狀態(tài)作業(yè)：作業(yè)：1. . 試述波函數(shù)是試述波