1、第八章第八章 回歸的旋轉(zhuǎn)設(shè)計回歸的旋轉(zhuǎn)設(shè)計 回歸正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)：回歸正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)：(1)試驗次數(shù)少；試驗次數(shù)少；(2)計算簡便；計算簡便；(3)消除了回歸系數(shù)間的相關(guān)性。缺點(diǎn)：二次回歸的預(yù)測消除了回歸系數(shù)間的相關(guān)性。缺點(diǎn)：二次回歸的預(yù)測值值y的方差依賴于試驗點(diǎn)在因子空間的位置，不能根據(jù)的方差依賴于試驗點(diǎn)在因子空間的位置，不能根據(jù)預(yù)測值直接尋找最優(yōu)區(qū)域。為此提出回歸的旋轉(zhuǎn)設(shè)計預(yù)測值直接尋找最優(yōu)區(qū)域。為此提出回歸的旋轉(zhuǎn)設(shè)計(旋轉(zhuǎn)性旋轉(zhuǎn)性)。它不僅克服了正交設(shè)計的缺點(diǎn)，還能基本保。它不僅克服了正交設(shè)計的缺點(diǎn)，還能基本保留其優(yōu)點(diǎn)。留其優(yōu)點(diǎn)。 第七章證明了一次回歸正交設(shè)計的旋轉(zhuǎn)性，這里主要第七章證明了

2、一次回歸正交設(shè)計的旋轉(zhuǎn)性，這里主要討論二次回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計。根據(jù)設(shè)計方法的不同，又分為討論二次回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計。根據(jù)設(shè)計方法的不同，又分為二次回歸正交旋轉(zhuǎn)設(shè)計及二次回歸通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計。二次回歸正交旋轉(zhuǎn)設(shè)計及二次回歸通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計。 1 二次回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計與二次回歸正交設(shè)計類似，二次回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計與二次回歸正交設(shè)計類似，p個變個變量的組合設(shè)計由下列量的組合設(shè)計由下列n個點(diǎn)組成：個點(diǎn)組成：n=mc+2p+m02pp個坐標(biāo)軸上的星號點(diǎn)，要使設(shè)計具有旋轉(zhuǎn)性，個坐標(biāo)軸上的星號點(diǎn)，要使設(shè)計具有旋轉(zhuǎn)性，星號臂星號臂 滿足：滿足： =2p/4 (全面試驗全面試驗mc=2p)， 或或 =2(p-1)/4(1/2實施實施mc=2

3、p-1).m0零水平的中心點(diǎn)的重復(fù)試驗次數(shù)（任意）。零水平的中心點(diǎn)的重復(fù)試驗次數(shù)（任意）。其中：其中：mc=2p 或或2p-1，2p-2等等(二水平試驗點(diǎn)個數(shù)）。二水平試驗點(diǎn)個數(shù)）。 8.1 二次回歸旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計二次回歸旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計2部分部分 值表值表 二次旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計對二次旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計對m0的選擇相當(dāng)自由。如果適的選擇相當(dāng)自由。如果適當(dāng)?shù)剡x取當(dāng)?shù)剡x取m0，可得二次正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計，可得二次正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計 。 p 2 mc 2p23455(1/2實施實施)1.414 2.000 4 41.682 2.828 8 62.000 4.000 16 82.378 5.655 32 102.000

4、4.000 16 103二次正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計參數(shù)表二次正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計參數(shù)表 旋轉(zhuǎn)性是指在同一個球面上的預(yù)測值的方差相旋轉(zhuǎn)性是指在同一個球面上的預(yù)測值的方差相等。如果預(yù)測值的方差在半徑小于等。如果預(yù)測值的方差在半徑小于1(0 1)的球內(nèi)的球內(nèi)也相等，則稱設(shè)計具有通用性。也相等，則稱設(shè)計具有通用性。如果適當(dāng)選取如果適當(dāng)選取m0，可得二次通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計可得二次通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計 。 p mc m0 n23455(1/2實施實施)1.414 4 8 161.682 8 9 232.000 16 12 362.378 32 17 592.000 16 10 364二次通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計參數(shù)表二次通用旋轉(zhuǎn)

5、組合設(shè)計參數(shù)表p mc m0 n2345(1/2實施實施)1.414 4 5 131.682 8 6 202.000 16 7 312.000 16 6 325二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計的統(tǒng)計分析與二次正交設(shè)計同。二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計的統(tǒng)計分析與二次正交設(shè)計同。(略略) 8.2 二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計的統(tǒng)計分析二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計的統(tǒng)計分析例例8.1 原麻高產(chǎn)栽培試驗，選擇原麻高產(chǎn)栽培試驗，選擇5個因子個因子:播期播期z1(3月月20日日4月月11日日)，播量，播量z2(412斤斤/畝畝)，施純氮量施純氮量z3(016斤斤/畝畝)，施純磷量，施純磷量z4(06斤斤/畝畝)，施純鉀量施純鉀量z5(016斤斤/畝畝)，采用二次正交旋轉(zhuǎn)組

6、合，采用二次正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計進(jìn)行設(shè)計進(jìn)行1/2實施試驗。（泰安農(nóng)科所）略實施試驗。（泰安農(nóng)科所）略 8.3 應(yīng)用實例應(yīng)用實例6第九章第九章 回歸的回歸的D最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計 正交設(shè)計減少了試驗次數(shù)，使分析簡化。旋轉(zhuǎn)設(shè)計正交設(shè)計減少了試驗次數(shù)，使分析簡化。旋轉(zhuǎn)設(shè)計使同一球面上預(yù)測值的方差相等，排除了部分誤差干使同一球面上預(yù)測值的方差相等，排除了部分誤差干擾。如何比較試驗計劃的好壞？能否建立一定意義下擾。如何比較試驗計劃的好壞？能否建立一定意義下的最優(yōu)試驗計劃？從五十年代起人們先后提出了很多的最優(yōu)試驗計劃？從五十年代起人們先后提出了很多比較試驗設(shè)計好壞的標(biāo)準(zhǔn)，如比較試驗設(shè)計好壞的標(biāo)準(zhǔn)，如G優(yōu)良性，優(yōu)

7、良性，E優(yōu)良性優(yōu)良性和和D優(yōu)良性等，僅介紹優(yōu)良性等，僅介紹D最優(yōu)設(shè)計。最優(yōu)設(shè)計。 9.1 D最優(yōu)設(shè)計的基本概念最優(yōu)設(shè)計的基本概念最優(yōu)設(shè)計是從對模型參數(shù)最優(yōu)設(shè)計是從對模型參數(shù) 的估計好壞評價的。的估計好壞評價的。 7 對給定模型，可尋找一張試驗計劃對給定模型，可尋找一張試驗計劃 ，X( )表示這個表示這個計劃的設(shè)計矩陣，計劃的設(shè)計矩陣，A( )=X ( )X( )表示這個計劃的信息表示這個計劃的信息矩陣。通過試驗數(shù)據(jù)，獲得參數(shù)矩陣。通過試驗數(shù)據(jù)，獲得參數(shù) 的的LS估計估計b。不同的。不同的試驗計劃，可得到不同的估計。為評價這些估計的好試驗計劃，可得到不同的估計。為評價這些估計的好壞，需要對估計值

8、綜合考察，常用壞，需要對估計值綜合考察，常用b的廣義方差的廣義方差 其中其中: (x)是是 函數(shù)，函數(shù)，m是是 的元素個數(shù)，的元素個數(shù)，|A( )|是是A( )的行列式。的行列式。 2(2)( )( ( /2 1) | ( )|mmmVmA8 在同一模型下在同一模型下, 對兩張試驗計劃對兩張試驗計劃 1和和 2, 若若V( 1)|A( 2)|，或，或|C( 1)|C( 2)|，則在，則在D優(yōu)良性意優(yōu)良性意義下，計劃義下，計劃 1比計劃比計劃 2好。這里好。這里C( ) = A-1( ) 。 其中其中: (x)是是 函數(shù)，函數(shù)，m是是 的元素個數(shù)，的元素個數(shù)，|A( )|是是A( )的行列式。的

9、行列式。 2(2)( )( ( /2 1) | ( )|mmmVmA 定義定義 在因子空間中，在因子空間中， 若試驗計劃若試驗計劃 *，使，使|A( )|達(dá)到最達(dá)到最大，或使大，或使|C( )|達(dá)到最小，即達(dá)到最小，即*| ( )| max| ( )| ( )| min| ( )|AACC或則稱則稱 *為一個為一個D最優(yōu)計劃（設(shè)計）。最優(yōu)計劃（設(shè)計）。9 定義定義 在因子空間中，在因子空間中， 若試驗計劃若試驗計劃 *，使，使|A( )|達(dá)到最達(dá)到最大，或使大，或使|C( )|達(dá)到最小，即達(dá)到最小，即*| ( )| max| ( )| ( )| min| ( )|AACC或則稱則稱 *為一個為

10、一個D最優(yōu)計劃（設(shè)計）。最優(yōu)計劃（設(shè)計）。 D最優(yōu)設(shè)計的直觀意義，不難由最優(yōu)設(shè)計的直觀意義，不難由 的的LS估計估計b的的協(xié)方差協(xié)方差 COV(b)= 2(X X)-1看出?？闯?。D最優(yōu)設(shè)計是使最優(yōu)設(shè)計是使b的廣義方差達(dá)到最小的估的廣義方差達(dá)到最小的估計。因此，計。因此，y的預(yù)測值具有較高的估計精度。的預(yù)測值具有較高的估計精度。 這里僅討論飽和這里僅討論飽和D最優(yōu)設(shè)計。最優(yōu)設(shè)計。 10 試驗點(diǎn)最少的試驗計劃，即試驗點(diǎn)的個數(shù)等于回歸試驗點(diǎn)最少的試驗計劃，即試驗點(diǎn)的個數(shù)等于回歸系數(shù)的個數(shù)，這樣的計劃稱為系數(shù)的個數(shù)，這樣的計劃稱為飽和計劃飽和計劃。 9.2 飽和飽和D最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計一、一次飽和一、

11、一次飽和最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計對對p維立方體維立方體 -1 xj 1，j=1,2,p上的一次回歸模型上的一次回歸模型存在這樣一個定理：存在這樣一個定理： 定理定理8.1 在在p維立方體上選取維立方體上選取p+1個點(diǎn)以組成一次飽個點(diǎn)以組成一次飽和和D最優(yōu)計劃時，只要考慮選取各個坐標(biāo)都為最優(yōu)計劃時，只要考慮選取各個坐標(biāo)都為-1或或1的那些點(diǎn)。的那些點(diǎn)。01 12 2.ppybbxb xb x 11 在這個定理的基礎(chǔ)上，用計算機(jī)找到了在在這個定理的基礎(chǔ)上，用計算機(jī)找到了在p維立方體維立方體上的一次飽和上的一次飽和D最優(yōu)設(shè)計如下：最優(yōu)設(shè)計如下： 定理定理8.1 在在p維立方體上選取維立方體上選取p+1個點(diǎn)以

12、組成一次飽個點(diǎn)以組成一次飽和和D最優(yōu)計劃時，只要考慮選取各個坐標(biāo)都為最優(yōu)計劃時，只要考慮選取各個坐標(biāo)都為-1或或1的那些點(diǎn)。的那些點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng)p=2時，正方形區(qū)域的任何三個頂點(diǎn)都可組成時，正方形區(qū)域的任何三個頂點(diǎn)都可組成D最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。 當(dāng)當(dāng)p=3時，立方體區(qū)域上有時，立方體區(qū)域上有23-1個部分頂點(diǎn)所構(gòu)成的個部分頂點(diǎn)所構(gòu)成的計驗計劃是計驗計劃是D最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。當(dāng)當(dāng)p=4時，時，D最優(yōu)計劃是：最優(yōu)計劃是： 12 x1 x2 x3 x4 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1-1 -1-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1

13、 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 當(dāng)當(dāng)p=4時，時，D最優(yōu)計劃是：最優(yōu)計劃是： 一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)p+1是是2的整數(shù)次冪時，的整數(shù)次冪時，p個因子的一個因子的一次飽和次飽和D最優(yōu)計劃可用最優(yōu)計劃可用2p型的全因子試驗的部分型的全因子試驗的部分實施法給出。實施法給出。 13二、二次飽和二、二次飽和最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計對二次回歸模型對二次回歸模型是否存在試驗點(diǎn)個數(shù)為是否存在試驗點(diǎn)個數(shù)為m=(p+1)(p+2)/2的飽和的飽和D最優(yōu)最優(yōu)計劃？已證明，對計劃？已證明，對p 7不存在飽和不存在飽和最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。01ppjjijijji jybb xb x x 當(dāng)當(dāng)p=2,3時，飽和時，飽和

14、D最優(yōu)計劃列于下表，同時還列最優(yōu)計劃列于下表，同時還列出了出了p=2時的時的7點(diǎn)和點(diǎn)和8點(diǎn)非飽和點(diǎn)非飽和D最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。14當(dāng)當(dāng)p=2時的飽和時的飽和D最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。試驗號試驗號6點(diǎn)設(shè)計點(diǎn)設(shè)計7點(diǎn)設(shè)計點(diǎn)設(shè)計8點(diǎn)設(shè)計點(diǎn)設(shè)計x1 x2x1 x2x1 x212345678 -1 -1 1 -1 -1 1-0.1315 -0.1315 1 0.3945 0.3945 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1-0.092 0.092 1 -0.067 0.067 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 0 0.082 1 0.082 -1 -0.215 0p=2時的飽和時的飽和6

15、點(diǎn)設(shè)計稱為點(diǎn)設(shè)計稱為26設(shè)計。設(shè)計。15當(dāng)當(dāng)p=3時的飽和時的飽和D最優(yōu)計劃。最優(yōu)計劃。試驗號試驗號 x1 x2 x312345678910 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 0.1925 0.1925 0.1925 -1 0.1925 0.1925 0.1925 -1 -0.2912 1 1 1 -0.2912 1 1 1 -0.2912 p=3時的飽和設(shè)計稱為時的飽和設(shè)計稱為310設(shè)計。設(shè)計。16 關(guān)于關(guān)于p 4的飽和的飽和D最優(yōu)計劃問題，至今尚未解決。最優(yōu)計劃問題，至今尚未解決。對于對于p=4，有人找到了一個較好的，有人找到了一個較好的15點(diǎn)設(shè)計點(diǎn)設(shè)

16、計 。見。見188頁頁表表9-3。 根據(jù)根據(jù)p=2,3的二次飽和的二次飽和D最優(yōu)計劃的譜點(diǎn)結(jié)構(gòu)，得最優(yōu)計劃的譜點(diǎn)結(jié)構(gòu)，得到一般的二次飽和設(shè)計的方案表到一般的二次飽和設(shè)計的方案表9-4(188頁頁)。17 本節(jié)討論在因子空間本節(jié)討論在因子空間-1xj1, j=1,2,p上的二次飽和上的二次飽和最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計(如如p=2,3)及較優(yōu)設(shè)計及較優(yōu)設(shè)計(如如p=4,5等等)的統(tǒng)計的統(tǒng)計分析。因此，試驗設(shè)計的方法與編碼同一次回歸正交分析。因此，試驗設(shè)計的方法與編碼同一次回歸正交設(shè)計。當(dāng)然，試驗后的設(shè)計（結(jié)構(gòu)）矩陣不同。另外，設(shè)計。當(dāng)然，試驗后的設(shè)計（結(jié)構(gòu)）矩陣不同。另外，由于最優(yōu)設(shè)計一般不具有正交性，所

17、以，回歸系數(shù)的由于最優(yōu)設(shè)計一般不具有正交性，所以，回歸系數(shù)的計算應(yīng)采用一般多元線性回歸（第二章）的方法。應(yīng)計算應(yīng)采用一般多元線性回歸（第二章）的方法。應(yīng)注意的是，這里回歸系數(shù)的個數(shù)是注意的是，這里回歸系數(shù)的個數(shù)是k=C2p+2，而不是，而不是p+1。下面通過具體實例，說明設(shè)計與分析方法。下面通過具體實例，說明設(shè)計與分析方法。 9.3 最優(yōu)設(shè)計的統(tǒng)計分析最優(yōu)設(shè)計的統(tǒng)計分析18例例9.2 小麥?zhǔn)┯玫←準(zhǔn)┯玫?N)z1和磷和磷(P)z2肥盆栽試驗。采用肥盆栽試驗。采用D飽和最優(yōu)設(shè)計，無重復(fù)。飽和最優(yōu)設(shè)計，無重復(fù)。z1和和z2最高用量分別為最高用量分別為32和和16；最低用量均為；最低用量均為0。采

18、用。采用(7-1)，(7-2)，(7-3)式式進(jìn)行編碼，可得進(jìn)行編碼，可得z01=(32+0)/2=16; z02=(16+0)/2=8 1=(32-0)/2=16; 2=(16-0)/2=8z1=z01+ 1x1=16+16x1; z2=z02+ 2x2=8+8x2因子及編碼因子及編碼xj z1 (N) z2(P)10.3945-0.1315-1 32 16 22.32 11.13 13.9 6.93 0 019試驗計劃及試驗結(jié)果試驗計劃及試驗結(jié)果試驗號試驗號 x1(N) x2 (P) 試驗結(jié)果試驗結(jié)果y 123456 -1 (0) -1 (0) 1 (32) -1 (0) -1 (0) 1

19、 (16)-0.1315 (13.9) -0.1315 (6.93) 1 (32) 0.3945 (11.13) 0.3945 (22.32) 1 (16)15.5017.5417.1818.3017.6818.70因子及編碼因子及編碼xj z1 (N) z2(P)10.3945-0.1315-1 32 16 22.32 11.13 13.9 6.93 0 0201 -1 -1 1 1 11 1 -1 -1 1 11 -1 1 -1 1 11 -0.1315 -0.1315 0.0173 0.0173 0.01731 1 0.3945 0.3945 1 0.15561 0.3945 1 0.3945 0.1556 115.5017.5417.1818.3017