1、復復 習習前面我們已經學過兩種插值方法，：前面我們已經學過兩種插值方法，：LangrangeLangrange插值法和插值法和NewtonNewton插值法。插值法。共同點共同點 1 1）插值條件相同，即）插值條件相同，即2 2）求一個次數不超過）求一個次數不超過n n的代數多項式的代數多項式不同點不同點 構造方法（思想）不同構造方法（思想）不同LangrangeLangrange插值法采用基函數的思想插值法采用基函數的思想 niiinxlyxL0)()(NewtonNewton插值法采用承襲性的思想插值法采用承襲性的思想)()(,)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfx

2、fxN注：注：兩種方法的結果相同（唯一性）兩種方法的結果相同（唯一性）一、埃爾米特插值多項式一、埃爾米特插值多項式 二、解法二、解法1 1：基函數法：基函數法三、解法三、解法2 2：承襲法承襲法一、一、 HermiteHermite插值多項式的定義插值多項式的定義插值條件中除插值條件中除函數值插值條件函數值插值條件外，外，還有還有導數值插值條件導數值插值條件，即，即已知：已知：2n+22n+2個條件個條件)(iixfy 0y 1y ny 求求: :一個次數不超過一個次數不超過2n+12n+1的多項式的多項式H H2n+12n+1( (x x) )例例1. 1.已知：已知：3 3個條件個條件)(

3、iixfy 0y 求求: :一個次數不超過一個次數不超過2 2的多項式的多項式H H2 2( (x x) )二、解法二、解法1 1：基函數法：基函數法解：解：用用基函數的方法基函數的方法，設，設)()()()(0011002xyxyxyxH 則可求得則可求得)1()(,)(,1)(02120 xxxxxxx 其中其中 是基函數，滿足是基函數，滿足)(),(),(010 xxx （1 1）都是）都是2 2次多項式次多項式（2 2）開關性）開關性1) 0(, 0) 1 (, 0) 0(0) 0(, 1) 1 (, 0) 0(0) 0(, 0) 1 (, 1) 0(000111000 )()(! 3

4、)()()()(1202xxxxfxHxfxR 例例2.2.已知：已知：4 4個條件個條件)(iixfy 0y 求求: :一個次數不超過一個次數不超過3 3的多項式的多項式H H3 3( (x x) )1y 注意用基函數的方法注意用基函數的方法2120)4(3)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 例例3 3：已知：已知2n+22n+2個條件個條件)(iixfy 0y 1y ny 求求: :一個次數不超過一個次數不超過2n+12n+1的多項式的多項式H H2n+12n+1( (x x) )注意用基函數的方法注意用基函數的方法例例1 1：給定如下數據表，求次數不高于給定如下數據表，

5、求次數不高于2 2次的代數插值多項式。次的代數插值多項式。)(ixf 三、解法三、解法2 2：承襲性方法承襲性方法例例1 1擴充：擴充：給定如下數據表，求次數不高給定如下數據表，求次數不高于于2 2次的代數插值多項式。次的代數插值多項式。)(ixf 例例2 2：給定如下數據表，求次數不高于給定如下數據表，求次數不高于3 3次的代數插值多項式。次的代數插值多項式。)(ixf 例例3 3：給定如下數據表，求次數不高于給定如下數據表，求次數不高于4 4次的代數插值多項式。次的代數插值多項式。)(ixf 例例4 4：給定如下數據表，求次數不高于給定如下數據表，求次數不高于5 5次的代數多項式。次的代數

6、多項式。)(ixf 解：解：先構造插值于四個函數值的插值多項式先構造插值于四個函數值的插值多項式用用NewtonNewton插值法可得：插值法可得：322030010036161914)1()1(61)1()1(410)()(,)(,)()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN 再構造插值于兩個導數值的插值多項式再構造插值于兩個導數值的插值多項式)2)(1()1)()()(35 xxxxBAxxNxH解出系數解出系數360161,36059 BA例例5 5：給定如下數據表，求次數不高于給定如下數據表，求次數不高于3 3次的代數多項式。次的代數多項式。)(ixf )(0 xf)(ixf )(0 xf )()()()(12023xxxxAxHxH例例6 6：給定如下數據表，求首項系數為給定如下數據表，求首項系數為1 1的的4 4次的代數多項式。次的代數多項式。)(ixf )(ixf )()()()(324cxaxxHxH0)