1、生物統(tǒng)計學(xué)課件-11方差分析而 則是拒絕H0的最小概率，也即顯著水平，是發(fā)生 I 型錯誤的概率。對四個樣本平均數(shù)進行成組數(shù)據(jù)的t 檢驗，則發(fā)生I型錯誤的概率為：方差分析方差分析60.95-1 由此可見，使用一般意義上的t t檢驗，對三個或三個以上的樣本平均數(shù)進行差異顯著性測驗時，是不合適的，需要引進新的檢驗方法。這就是我們即將介紹的6 24C第七章 方差（變量）分析（Analysis of variance，ANOVA）方差分析是一類特定條件下的統(tǒng)計推斷，或者說是平均數(shù)差異顯著性測驗的一種引申。第一節(jié) 方差分析的基本原理方差或稱均方，它是一個表示變異的量。在一項實驗或調(diào)查中，往往存在許多造成生

2、物性狀變異的因素。這些因素中有主要的，有次要的，方差分析就是要將總變異分裂為各個變異因素引起的變異，并對其作出數(shù)量估計，從而發(fā)現(xiàn)各個因素在變異中所占的重要程度。 在實驗中，除了可以控制的實驗因素造在實驗中，除了可以控制的實驗因素造成的變異以外，剩余的變異可以提供實成的變異以外，剩余的變異可以提供實驗誤差準確無偏的估計，作為統(tǒng)計假設(shè)驗誤差準確無偏的估計，作為統(tǒng)計假設(shè)測驗的依據(jù)。測驗的依據(jù)。 方差分析可以幫助我們掌握客觀規(guī)律的方差分析可以幫助我們掌握客觀規(guī)律的主要矛盾或技術(shù)關(guān)鍵，是科學(xué)研究工作主要矛盾或技術(shù)關(guān)鍵，是科學(xué)研究工作中的重要工具。中的重要工具。例例1：下表的數(shù)據(jù)，是用：下表的數(shù)據(jù)，是用A

3、、B、C、D四種不同的四種不同的藥劑，處理水稻種子，每處理各得藥劑，處理水稻種子，每處理各得4個苗高觀察值個苗高觀察值（cm） ，數(shù)據(jù)如下表，問不同藥劑的處理效果是，數(shù)據(jù)如下表，問不同藥劑的處理效果是否差異顯著？否差異顯著？ 處理處理株號株號ABCD119212022223241825321271927413201522分析：比較四個樣本平均數(shù)的差異顯著性。分析：比較四個樣本平均數(shù)的差異顯著性。 處理處理株號株號 ABCD119212022223241825321271927413201522和和 76927296平均平均 x19231824數(shù)據(jù)處理：現(xiàn)在的測驗?zāi)康木褪且容^ 19，23，18

4、，24 這四個平均數(shù)的差異顯著性。 處理處理株號株號 ABCD119212022223241825321271927413201522和和 76927296平均平均 x19231824現(xiàn)在，我們可以將A、B、C、D四種藥劑處理的種子當作四個亞總體看待，每處理的4個觀察值當作該亞總體的一個隨機樣本，比較四個樣本的平均數(shù)的差異顯著性。為了這一目的，我們有必要分析一下試驗數(shù)據(jù)的總變異即總的試驗方差是多少。1度的商方差是平方和除以自由22nxxsi： 分析：在這個實驗中，引起數(shù)據(jù)變異的原因有 不同的藥劑不同的藥劑 試驗誤差試驗誤差 我們可以嘗試將試驗的總變異分解為由藥劑處理我們可以嘗試將試驗的總變異分

5、解為由藥劑處理引起的變異（方差）和由于試驗誤差引起的變異引起的變異（方差）和由于試驗誤差引起的變異（方差），并且對兩者的差異顯著性作出判斷。（方差），并且對兩者的差異顯著性作出判斷。 若這兩個方差差異顯著，且藥劑的方差大于誤差方差，則必然不同處理（藥劑）間的差異顯著，即四個樣本平均數(shù)的差異是顯著的；否則，則樣本平均數(shù)間的差異不顯著。 據(jù)此，我們就可以對多個平均數(shù)進行比較。據(jù)此，我們就可以對多個平均數(shù)進行比較。處理處理平方和平方和誤差誤差自由度自由度處理處理自由度自由度方差方差=平方和平方和/自由度自由度總的平方和總的平方和總的自由度總的自由度誤差誤差平方和平方和若處理方差顯著大于誤差方差，則不

6、同實驗處若處理方差顯著大于誤差方差，則不同實驗處理間的平均數(shù)，至少有兩個是差異顯著的理間的平均數(shù)，至少有兩個是差異顯著的 處處 理理株株 號號 ABCD119212022223241825321271927413201522和和 76927296平均平均 x19231824一、平方和與自由度的分解一、平方和與自由度的分解目的：將總的自由度與總的平方和分解為各個變目的：將總的自由度與總的平方和分解為各個變異因素引起的自由度與平方和，從而求出各個變異因素引起的自由度與平方和，從而求出各個變異因素引起的方差。異因素引起的方差。1、自由度的分解：、自由度的分解： df 總總= dfT=kn-1=44-

7、1= 15 df 處處= dft=k-1=4-1=3df 誤誤= dfe=k（n-1）=4（4 -1）= 12df 總總= df 處處 + df 誤誤 =3+12=15，dfT = dft+ dfe=3+12=15其中其中 k k 為樣本數(shù)，為樣本數(shù)，n n 為每個樣本的樣本容量。為每個樣本的樣本容量。2 2、平方和的分解：、平方和的分解： 處處 理理株株 號號 ABCD119212022223241825321271927413201522和和 76927296平均平均 x19231824kinjijTxxSS112未考慮不同藥劑對株高的影響NoImagekinjijTxxSS112kinj

8、iikinjiijkinjiijxxxxxxxx112111122kinjiiijxxxx121kinjiijiikinjiijxxxxxxxx1111220021kiixxtekinjikinjiijTSSSSxxxxSS 112112kinjiiijxxxx112104212421182123211942222121處njikitxxSSSS22221112112kinjijkinjijT總xxxSSSS11818143056112kinjiije誤xxSSSSet誤處總SSSS , SSSSSSSS3、求各個變異原因引起的方差、求各個變異原因引起的方差67343104） 不同藥同藥劑間（

9、試驗22.dfSSssttt處：83912118試驗誤差：22.dfSSsseee誤 二、二、F 檢驗檢驗在我們的試驗中，我們想推斷不同藥劑對水稻苗高的影響差異是否顯著。我們已經(jīng)分析了在這個實驗中，引起水稻苗高變異的原因有兩個，一個是不同藥劑的處理效果，一個是試驗誤差，在這兩個原因中，哪一個占主導(dǎo)地位？如果由于不同藥劑的處理引起的變異即處理方差明顯大于誤差方差，則不同藥劑間的苗高平均數(shù)必然差異顯著，否則，則平均數(shù)的差異不顯否。現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是處理方差和誤差方差是否差異顯著？若測驗兩個方差 的差異顯著性，我們可以進行F 檢驗。在方差分析的體系中，F(xiàn) 測驗是用于測驗?zāi)稠椬儺愐蛩氐男?yīng)是否真實存在，

10、所以在計算F值時，總是將要測驗的那一項變異因素的方差 做分子，而以另一項變異因素的方差做分母，在測驗時，若分子的方差小于做分母的方差，則F 0.05，接受H0。H0： t2= e2 , HA： t2 e2 ， =0.053.5279.8334.67ssF2e2tF3，12，0.05 = 3.49， F F0.05,3,12 , 拒絕拒絕H0： t2= e2 , 接受HA： t2 e2 ，即藥劑間對水稻苗高的影響差異是顯著的。 三、進行平均數(shù)的多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）原理：在兩個獨立樣本（成組數(shù)據(jù)）的平均數(shù)的差異顯著性測驗中，若： 1= 2= ，且n1=n2= n則：nssxxt2

11、22121若：,222221ees nsxxnssxxte2212221212則：若：| t | t0.05/2,dfe則：兩個平均數(shù)差異顯著即：edfetnsxx, 2/05. 02212也即：nstxxedfe2, 2/05. 0212稱 為最小顯著差數(shù)，并以LSD表示。nstedfe2, 2/05. 02nstLSDedfe2, 2/2即：稱 均數(shù)差異標準差nssexx2221本例中，當時，且179. 2,1212, 2/05. 0tdfe83. 4483. 92179. 222, 2/05. 005. 0nstLSDedfe據(jù)此，不同平均數(shù)在據(jù)此，不同平均數(shù)在0.05顯著水平進行的多重

12、比較的最小顯著顯著水平進行的多重比較的最小顯著差數(shù)差數(shù)LSD0.05= 4.83。不顯著,83. 44231921 xx不顯著,83. 41181931 xx顯著, *83. 45241941 xx顯著, *83. 45182332 xx不顯著,83. 41242342 xx顯著, *83. 46241843 xx這種比較會加大犯 I 型錯誤的概率。因此，實際應(yīng)用于在試驗設(shè)計中有標準或?qū)φ盏脑囼灁?shù)據(jù)的分析。若該試驗的 A A 藥劑為對照，則前述多重比較的結(jié)果：處理處理平均數(shù)平均數(shù)各處理與平均數(shù)的各處理與平均數(shù)的差數(shù)差數(shù)B234C18-1D245*A19LSD法多重比較的結(jié)果法多重比較的結(jié)果 2

13、、最小顯著極差法（、最小顯著極差法（LSR法）法） 這種方法的特點是不同的平均數(shù)間的比這種方法的特點是不同的平均數(shù)間的比較采用不同的顯著差數(shù)標準，因而克服較采用不同的顯著差數(shù)標準，因而克服了了LSD法的局限性。法的局限性。 可以用于任意兩個平均數(shù)間的所有相互可以用于任意兩個平均數(shù)間的所有相互比較。比較。最小顯著極差的計算公式：xksdfkSSRLSR,其中：, 3 , 2kk ,2nssex,edfdf SSR（k，df）可以從附表9 9中查出。 SSR (k，df）由兩個參數(shù)決定，一個是自由度，另一個是秩次距秩次距k k。附表9即為SSR值表。改 r 為 SSR。dfk23456789102

14、050100190.0214.038.268.58.646.516.86.955.705.966.11204.024.224.33403.891003.71附表附表9 多重比較中的多重比較中的Duncan表表r0.01(k,df)秩次距k是兩個欲比較的平均數(shù)間包含的平均數(shù)的個數(shù)。把平均數(shù)按照從小到大的次序排列起來，確定秩次距：據(jù)此，可以計算出據(jù)此，可以計算出 LSR LSR 值表，用以平均數(shù)的多重比較。值表，用以平均數(shù)的多重比較。LSR值計算表值計算表k234SSR0.053.083.223.33SSR0.014.324.554.68LSR0.054.845.075.23LSR0.016.78

15、7.147.35例例:4種藥劑對水稻苗高影響多重比較的種藥劑對水稻苗高影響多重比較的LSR值的計算值的計算:當當df=dfe =12，查，查SSR值表，計算值表，計算LSR：,57. 1483. 92nssexxsdfkSSRLSR,編號編號43216*5125431 梯形表法處理代號處理代號DBAC平均數(shù)平均數(shù)24231918編號編號12343、多重比較的表示方法將平均數(shù)按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕胁⒕幋a：將不同編號的平均數(shù)的差數(shù)列在相應(yīng)的位置上，標星號的為平均數(shù)間的差異顯著。處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23A19C18 利用字母標記法表示多重比較

16、的結(jié)果處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23 aA19C18處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23 aA19 aC18 處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23 aA19 aC18 b 處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23 aA19 abC18 b 處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aB23 abA19 abC18 b 處理代號處理代號平均數(shù)平均數(shù)顯著水平顯著水平0.050.01D24 aAB23 abAA19

17、 abAC18 b Ak234LSR0.054.845.075.23LSR0.016.787.147.35knxxSST22CnTxxnssikiit221tTnjiijkiessssxxss211knxC2方差分析中平方和與自由度分解的計算公式：方差分析中平方和與自由度分解的計算公式：四、方差分析的基本假定四、方差分析的基本假定1 1、可加性、可加性每個處理的效應(yīng)與誤差的效應(yīng)是可加的，即每個處理的效應(yīng)與誤差的效應(yīng)是可加的，即誤差效應(yīng)，處理效應(yīng)，ijiijiijx 處處 理理株株 號號 ABCD119212022223241825321271927413201522平均平均 x19231824

18、2、正態(tài)性試驗誤差 ijij 是服從正態(tài)分布N（0，2）的獨立隨機變量。若實驗誤差之間可能存在某種關(guān)聯(lián)時，可以采用隨機化的方法去破壞，例如取對數(shù)或取反正弦值等。3、方差的齊性各處理的誤差方差應(yīng)具備齊性，它們具有一個公共的總體方差2，一般以實驗的誤差方差Se2來作為2的點估計值。五、兩種不同的處理效應(yīng)（一）有關(guān)試驗設(shè)計的幾個概念1、試驗指標：衡量試驗結(jié)果的標準2、試驗因素：就是影響試驗指標的人為條件或措施3、（因素）水平：是對試驗因素在質(zhì)的方面或量的方面進行的分級4、處理（組合）（二）兩種不同的處理效應(yīng)1、固定因素及固定效應(yīng)模型)0(0:0:210不為至少有一個iiAiHH 2、隨機因素及隨機效

19、應(yīng)模型若試驗因素的水平是從該因素的所有水平中隨機選取的，則稱該試驗因素為隨機因素，該數(shù)據(jù)方差分析的效應(yīng)模型為隨機模型00:0aAaHH：，不同模型對結(jié)論的解釋不同，隨機模型的結(jié)論可以外延和擴展，固定模型的結(jié)論，不可以擴展，只在選定的水平內(nèi)有效。第二節(jié) 單向分組資料的方差分析一、單向分組資料的特點： 重復(fù)重復(fù)處理處理III N12kx二、組內(nèi)重復(fù)觀察值數(shù)相等的方差分析211xxSSijnjkiT,22knxxijijknxCij221kiitxxnSSCnTi2tTeSSSSSSn1= n2= nk（一）平方和與自由度的分解公式) 1( nkdfe1 kdft1 kndfT（二）例題1調(diào)查了5個

20、不同小麥品系的株高，列于下表，問這5個小麥品系的株高，差異是否顯著？68.670.867.364.465.3平均數(shù)平均數(shù)343.0354.0336.5322.0326.5和和67.571.068.563.965.8568.369.166.863.766.0469.870.067.164.664.8368.272.166.365.365.3269.271.867.864.564.61VIVIIIIII 品系品系株高株高固定因素模型固定因素模型解：解：1、平方和與自由度的分解、平方和與自由度的分解241551 kndfTknxxSSijijT224151 kdft20) 15(5) 1(nkdfe

21、32.14796.11316428.11331296.1131642knxCij68.670.867.364.465.3平均數(shù)平均數(shù)343.0354.0336.5322.0326.5和和67.571.068.563.965.8568.369.166.863.766.0469.870.067.164.664.8368.272.166.365.365.3269.271.867.864.564.61VIVIIIIII 品系品系株高株高58.1574.13132.147tTeSSSSSSCnTSSit296.1131643435 .3265122 74.13168.670.867.364.465.3平

22、均數(shù)平均數(shù)343.0354.0336.5322.0326.5和和67.571.068.563.965.8568.369.166.863.766.0469.870.067.164.664.8368.272.166.365.365.3269.271.867.864.564.61VIVIIIIII 品系品系株高株高2 2、列方差分析表，進行、列方差分析表，進行 F F 檢驗檢驗431. 4,866. 201. 0,20, 405. 0,20, 4FF3、多重比較、多重比較 （無對照，（無對照，LSR法）法）（1）平均數(shù)排序）平均數(shù)排序品系號：品系號： IV V III I II平均數(shù)：平均數(shù)： 70

23、.8 68.6 67.3 65.3 64.4順序號：順序號： 1 2 3 4 5（2）計算均數(shù)標準差：）計算均數(shù)標準差：395. 0578. 02nssexnsdfkSSRLSRek2),(（3）列）列LSR值表值表( df = 20) k 2 3 4 5 SSR0.05 2.95 3.10 3.18 3.25 SSR0.01 4.02 4.22 4.33 4.40LSR0.05 1.165 1.225 1.256 1.284LSR0.01 1.588 1.667 1.710 1.738 梯形表表示法： 5 4 3 2 1 6.4* 5.5* 3.5* 2.2* 2 4.2* 3.3* 1.5

24、* 3 2.9* 2.0* 4 0.9 4 nsdfkSSRLSRek2),(字母標記法：字母標記法：顯顯著著水水平平 品品系系 平平均均數(shù)數(shù) 0.05 0.01 IV 70.8 V 68.6 III 67.3 I 65.3 II 64.4 k 2 3 4 5 LSR0.05 1.165 1.225 1.256 1.284LSR0.01 1.588 1.667 1.710 1.738abcddABBCC（二）例題2為了探討不同窩的動物出生重是否存在差異，隨機選取4窩動物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下表，問不同窩別動物的出生重是否存在顯著差異？29.50026.22530.02531.450平均

25、數(shù)平均數(shù)118.0104.9120.1125.8和和28.026.732.331.6425.727.828.626.2331.423.326.033.3232.927.133.234.71IVIIIII 窩別窩別編號編號解：解：由于不同窩別的動物是隨機選取的，因此為隨機因素的試驗1、平方和與自由度的分解、平方和與自由度的分解knxxSSijijT2252.177448.46836.13913284.137352knxCij29.50026.22530.02531.450平均數(shù)平均數(shù)118.0104.9120.1125.8和和28.026.732.331.6425.727.828.626.233

26、1.423.326.033.3232.927.133.234.71IVIIIII 窩別窩別編號編號不要進行數(shù)據(jù)的編碼處理！不要進行數(shù)據(jù)的編碼處理！CnTSSit2151441 kndfT84.137350 .1188 .1254122 575.5884.13735466.55177945.118575.5852.177tTeSSSSSS3141 kdft12) 14(4) 1(nkdfe29.50026.22530.02531.450平均數(shù)平均數(shù)118.0104.9120.1125.8和和28.026.732.331.6425.727.828.626.2331.423.326.033.3232

27、.927.133.234.71IVIIIII 窩別窩別編號編號2、列方差分析表，進行、列方差分析表，進行F檢驗檢驗變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值F0.05窩窩 別別58.575319.5251.973.49誤誤 差差118.945129.912總總 和和177.52153、多重比較、多重比較由于由于 F 檢驗的結(jié)果差異不顯著，說明不同窩別的動物的出檢驗的結(jié)果差異不顯著，說明不同窩別的動物的出生體重差異不顯著，不用再進行多重比較。生體重差異不顯著，不用再進行多重比較。注意：該結(jié)論適于該試驗因素的全體水平！注意：該結(jié)論適于該試驗因素的全體水平！三、處理間重復(fù)數(shù)不等的方差

28、分析三、處理間重復(fù)數(shù)不等的方差分析（至少有兩個處理的樣本容量不相等）（至少有兩個處理的樣本容量不相等）（一）平方和與自由度的分解（一）平方和與自由度的分解kiietkiiTndfkdfndf11111,)(22iTnxxSS) 1(11nkdfkdfkndfetTinxC2)(,2CnTSSiittTeSSSSSSknxxSSijijT22CnTSSit22、均數(shù)標準差的計算、均數(shù)標準差的計算,112kiiexnnssknni其中例：抽測了品種不同的五頭母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)，其資例：抽測了品種不同的五頭母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)，其資料見下表，試檢驗五頭母豬平均窩產(chǎn)仔數(shù)的差異是料見下表，試檢驗五頭母豬平均窩產(chǎn)仔

29、數(shù)的差異是否顯著？否顯著？母母 豬豬 號號窩窩 產(chǎn)產(chǎn) 仔仔 數(shù)數(shù)總總 和和平平 均均次次 數(shù)數(shù)18131299960106278107328431314101112127212641398810489.6551211151452134分析：試驗因素為固定因素！分析：試驗因素為固定因素！1、平方和與自由度的分解、平方和與自由度的分解201415124125111kiietkiiTndfkdfndf,)(22iTnxxSS8 .2787)(2inxC0 .698 .27878 .28562CnTSSiit63.29.062 .132tTeSSSSSS2 .1322 2、列方差分析表，并進行、列方差分析表，并進行F F檢驗檢驗方方 差差 分分 析析 表表變變 異異原原 因因平方平方和和自由自由度度均均 方方 F 值值F 0.05F 0.01母豬間母豬間69.0417.25 5