1、會計學1函數的求導法則函數的求導法則88870定理定理1.并且并且處可導處可導都在點都在點點外點外除分母為零的除分母為零的、商、商那么它們的和、差、積那么它們的和、差、積可導可導處處都在點都在點和和如果函數如果函數, )( , )( )( xxxvvxuu );()( )()()1(xvxuxvxu );()()()( )()( )2(xvxuxvxuxvxu ).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu第1頁/共28頁證證: :則則令令 ),()()( xvxuxf xxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxx )()(

2、lim)()(lim00);()(xvxu vuvu )( 1)(xxfxxfxfx )()(lim)(0此法則可此法則可推廣到任意有限項推廣到任意有限項的情形的情形. 例如例如,.)(wvuwvu 第2頁/共28頁證證: 設設, )()()(xvxuxf 則則xxfxxfxfx )()(lim)(0 xxvxuxxvxxux )()()()(lim0故結論成立故結論成立.);()()()(xvxuxvxu xxxux )(lim0)(xu)(xxv xxv)( )(xu)(xxv 推論推論: : )()1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu ( C為常數為常數 )vuvuuv )(

3、2)()()()()(xxvxuxxvxu 第3頁/共28頁)()()()(xvxuxvxu )()( lim0 xvxxvxxxvxxvxxvxuxvxxu )()()()()()(證證: 設設則有則有xxfxxfxfx )()(lim)(0 xx lim0,)()()(xvxuxf )()(xxvxxu )()(xvxu xxxu )()(xu )(xvxxxv )()(xu )(xv 故結論成立故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu 特殊地特殊地: : v1( C為常數為常數 )2)( 3)(vvuvuvu .2vv 第4頁/共28頁例例1.735223的導數的導數求求

4、xxxy解解: :)7()3()5()2(23 xxxyx25 例例2. )2( )( ,2sincos4)(3 fxfxxxf 及及求求已知已知解解: :)2(sin)cos4()()(3 xxxf3 23x 232x 0 . 31062 xx2)()2( xxff. 4432 2sin4)2(32 xsin4 0 ,sin432xx uCCuuuuuuu )()(321321第5頁/共28頁例例3.ln的的導導數數求求xxy 解：解：xxyln)( )(ln xxxxxx1ln21 例例4. ),cos(sineyxxyx 求求).1ln21(1 xx解：解：)cos(sine)cos(s

5、in)e ( xxxxyxx)sin(cose)cos(sinexxxxxx .cose2xx vuvuuv )(第6頁/共28頁例例5.tan的導數的導數求求xy 解：解： xxxycossin)(tanxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 .sec)(tan2xx 即即同同理理.sec2x .csc)(cot2xx 2vvuvuvu 例例6.sec的導數的導數求求xy 解：解： xxycos1)(secxxx2cos)(cos1cos)1( .tansecxx xx2cossin 同理同理.tansec)(sec xxx 即即.c

6、otcsc)(cscxxx 第7頁/共28頁即即 反函數的導數等于反函數的導數等于直接函數導數的倒數直接函數導數的倒數. .)(1 )(1yfxf 定理定理2. 且由反函數的連續(xù)性知且由反函數的連續(xù)性知 內內單單調調、可可導導且且在在區(qū)區(qū)間間若若函函數數yIyfx)( , 0)( yfyxxydd1dd 或或,00 yx時必有時必有xyxfx 01lim )( lim0 yyx .)(1yf 1),(|)( 1yxIyyfxxIxfy 在在則其反函數則其反函數可導且可導且證證:在在 x 處給增量處給增量由反函數的單調性知由反函數的單調性知,0 x)()(11xfxxfy ,0 xyyx 1第8

7、頁/共28頁例例7.arcsin的的導導數數求求函函數數xy 解：解： , 2,2 sin內單調、可導內單調、可導在在因為因為 yIyx, 0cos)(sin yy且且 )1 , 1(內有內有所以在所以在 xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理同理;11)(arctan2xx .11)(arcsin 2xx 即即.11)(arccos2xx .11)cotarc(2xx 第9頁/共28頁在點在點 x 可導可導, lim0 xxuxuuf )(xyxyx 0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在點在點)(xgu 可導可導復合函數復合函數 fy

8、 )(xg且且)()(ddxgufxy 在點在點 x 可導可導,證證:)(ufy 在點在點 u 可導可導, 故故)(lim0ufuyu uuufy )(（當（當 時時 )0u0).()(xguf uy)(uf)0()( xxuxuufxy .dddddd xuuyxy 或或第10頁/共28頁例例8.tanln的導數的導數求函數求函數xy 解：解： tan ,lntanln 復合而成復合而成可由可由xuuyxy xuuyxydddddd u1.seccot2xx x2sec.e .93的的導導數數求求例例xy 解：解：, ,e e 33復復合合而而成成可可由由xuyyux xuuyxydd dd

9、 dd 23exu .e332 xx 分解復合函數是關鍵分解復合函數是關鍵! !第11頁/共28頁例例10.12sin2的導數的導數求函數求函數xxy 解：解：xuuyxydd dd dd 2222)1()1(2)1()2(cosxxxxxu .12cos)1()1(22222xxxx 212cosxxu復合而成復合而成由由2212 ,sin 12sin xxuuyxxy 第12頁/共28頁例例11.)1(102的導數的導數求函數求函數 xy解：解： xyddxx2)1(1092 .)1(2092 xx)1(2 x 92)1(10 x例例12.21 32的的導導數數求求xy 解解：)21(dd

10、312 xxy1312)21 (31 x)4()21(31322xx .)21(34322xx )21(2 x由外到里逐層求導由外到里逐層求導! !第13頁/共28頁例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvx uydd vuddxvdd關鍵關鍵: : 搞清復合函數結構搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導由外向內逐層求導.( (鏈式法則鏈式法則) )的的導導數數為為則則復復合合函函數數 )( xfy 第14頁/共28頁例例13.e )2( ;)ecos(ln )1( 1sinxxyy 求下列函數的導數：求下列函數的導數：解解: : (1) )ecos(1

11、x )esin(xxe).etan(exx xvvuuye ,cos ,ln xvvuuyxydd dd dd dd xvue)sin(1 解解: : (2)xvvuuyydddddd xvu1cose.1cose11sin2xxx xvvuyu1 ,sin ,e 第15頁/共28頁例例14. )(sin,)( 2的導數的導數求函數求函數可導可導設設xfyxf 解解: :xvvuufysin , ),( 2 xvvuuyxydddddddd )(uf ).(sin 2sin2xfx v2 xcos 第16頁/共28頁.)()2( ;)()1( xxx 解解: (1)e ()(ln xx xln

12、e )ln( x x x .1 x)e ()(ln xxxxxx lne )ln( xxxx ).1ln( x(2)uvvulne 第17頁/共28頁,tansec)(sec,sec)(tan,cos)(sin, 0)(2xxxxxxxC 1. 常數和基本初等函數的導數公式常數和基本初等函數的導數公式,cotcsc)(csc,csc)(cot,sin)(cos,)(21xxxxxxxxx ,ln1)(log,ln)(axxaaaaxx ,1)(ln,e)e (xxxx ,11)(arctan,11)(arcsin22xxxx .11)cotarc(,11)(arccos22xxxx 第18頁/

13、共28頁2. 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則 , )( ),( 則則都可導都可導設設xvvxuu ),()()2(,)()1(是常數是常數CuCCuvuvu ).0()4(,)( (3)2 vvvuvuvuvuvuuv3. 反函數的求導法則反函數的求導法則.dd1dd )(1 )(,),(|)( ,0)( )(11yxxyyfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 或或且有且有內也可導內也可導在區(qū)間在區(qū)間則它的反函數則它的反函數且且內單調、可導內單調、可導在區(qū)間在區(qū)間如果函數如果函數第19頁/共28頁4. 復合函數求導法則復合函數求導法則的導數為的導數為，則復

14、合函數，則復合函數設設)( )(, )( xfyxuufy xydd)()(xuf 5. 初等函數在定義區(qū)間內可導初等函數在定義區(qū)間內可導,uyddxudd 且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數.第20頁/共28頁. )( sinsinynxnxyn ，求求為為常常數數解解: :)(sinsinsin)(sin xnxxnxynnxnxnnsincos xxnnxncossinsin1 )cossinsin(cossin1xnxxnxxnn .)1sin(sin1xnxnn 第21頁/共28頁例例17.)2(21ln32的導數的導數求函數求函數 xxxy解解: :)2ln(31)1ln(21

15、2 xxy)2(3121121 2 xxxy.)2(3112 xxx第22頁/共28頁解解:. ,1arctane2sin2yxyx 求求1arctan) (2 xy) (e2sinx 2sinex2cos x x2 21x1212 xx2 x2 1arctan2 x2sinex2cos x.e2sinx112 xx第23頁/共28頁例例19.).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解: :; 1)()( xxf,0時時當當 x,0時時當當 x)1(11)( xxxf;11x ,0時時當當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf總之總之第24頁/共28頁,ch)sh(xx ,sh)ch(xx ,ch1)th(2xx *6. 雙曲函數與反雙曲函數的導數雙曲函數與反雙曲函數的導數,11)arsh(2xx ,11)arch(2 xx.11)arth(2xx 證證 )ee (21)sh(xxx)ee (21xx .chx )ee (21)ch(xxx)ee (21xx .shx 第25頁/共