1、第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-1第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1 靜電場的基本方程與邊界條件3.2 電位及其電位方程3.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容3.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理3.5 直接積分法3.6 分離變量法3.7 鏡像法3.8 靜電場的數(shù)值解法電磁場理論B13-2基本要求掌握靜電場的基本方程和邊界條件；掌握電位的基本概念，會利用直接積分法求解簡單的問題；了解分離變量法的基本概念；會利用鏡像法求解平面與導(dǎo)體球的鏡像問題。第3章 靜電場及其邊值問題的解法第3章 靜電場及其邊值問題的解法電磁場理論B23-3第3章 靜電場及其邊值問題的解法第3章 靜電場及其邊值問題的解

2、法靜電場由靜止電荷所產(chǎn)生的電場。時變電磁場的退化情形?；痉匠蹋簾o磁場；場量不隨時間變化。靜電場邊界條件也可從時變場邊界條件導(dǎo)出。靜電場邊值問題=求解滿足一定邊界條件的微分方程。靜電場邊值問題的分析方法（解析方法、數(shù)值方法）可推廣。靜電場的基本概念電磁場理論B33-43.1 靜電場的基本方程與邊界條件3.1.1 靜電場的基本方程靜電場基本方程的積分形式第3章 靜電場及其邊值問題的解法（3.1.1）（3.1.2）基本方程：無磁場；場量不隨時間變化。靜電場基本方程的積分形式也可以由庫侖定律證明。電磁場理論B43-53.1 靜電場的基本方程與邊界條件3.1.1 靜電場的基本方程靜電場基本方程的積分形

3、式第3章 靜電場及其邊值問題的解法（3.1.1）（3.1.2）方程（3.1.1）為靜電場的環(huán)量定律：試驗電荷在靜電場中繞閉合回路移動一圈，電場力所做功為零。任意閉合導(dǎo)電回路無感應(yīng)電動勢。方程（3.1.2）為靜電場高斯定律：穿過任一閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷。電磁場理論B53-63.1 靜電場的基本方程與邊界條件靜電場基本方程的微分形式第3章 靜電場及其邊值問題的解法靜電場的微分方程形式可從麥克斯韋微分方程組導(dǎo)出?？捎酶咚苟ɡ砗退雇锌怂苟ɡ韽撵o電場方程的積分形式導(dǎo)出。可用矢量恒等式對體電荷的庫侖定律求旋度和散度而得到。（3.1.3）（3.1.4）3.1.1 靜電場的基本方程電

4、磁場理論B63-73.1 靜電場的基本方程與邊界條件3.1.1 靜電場的基本方程靜電場基本方程的微分形式第3章 靜電場及其邊值問題的解法方程（3.1.3）描述靜電場的旋度特性：靜電場是無旋場。電力線不閉合。方程（3.1.4）描述靜電場的散度特性：靜電場是有散場。電力線從正電荷（或無窮遠）出發(fā)終止于負(fù)電荷（或無窮遠） 。（3.1.3）（3.1.4）電磁場理論B73-83.1 靜電場的基本方程與邊界條件靜電場邊界條件的基本概念第3章 靜電場及其邊值問題的解法靜電場媒質(zhì)：主要有電介質(zhì)（以極化現(xiàn)象為主的物質(zhì)）和導(dǎo)體（以傳導(dǎo)現(xiàn)象為主的物質(zhì)）。電介質(zhì)內(nèi)部無自由電荷，而導(dǎo)體有大量自由電荷；在靜電平衡狀態(tài)，導(dǎo)

5、體總電荷及其內(nèi)部電場為零，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面； 靜電場的邊界條件：不同電介質(zhì)的分界面、電介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面。3.1.2 靜電場的邊界條件電磁場理論B83-93.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件1. 不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件不同電介質(zhì)的分界面上不存在自由面電荷，即分界面上的正法線單位矢量，其方向規(guī)定由第2種電介質(zhì)指向第1種電介質(zhì)。靜電場中的不同電介質(zhì)分界面上，電場強度的切向分量和電位移的法向分量均連續(xù)。電磁場理論B93-103.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件2. 導(dǎo)體與

6、電介質(zhì)分界面的邊界條件導(dǎo)體表面電場強度的切向分量等于零，即電力線總是垂直于導(dǎo)體表面。導(dǎo)體表面電位移的法向分量等于導(dǎo)體表面的面電荷密度。導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，表面存在自由面電荷導(dǎo)體的外法線方向，即從導(dǎo)體指向電介質(zhì)。電磁場理論B103-113.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件解：從靜電場電介質(zhì)分界面的邊界條件可以得出將上列兩式相除，得 例3.1.1 設(shè)靜電場中有一個電介質(zhì)分界面，兩邊介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 。已知在介質(zhì) 1 一側(cè)，電場強度的大小為 ，方向與界面正法線方向的夾角為 。試求介質(zhì) 2 一側(cè)的電場強度的大小 及其與界面正法線方向的夾角

7、 。電磁場理論B113-123.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件 例3.1.1 設(shè)靜電場中有一個電介質(zhì)分界面，兩邊介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 。已知在界面的介質(zhì) 1 一側(cè)，電場強度的大小為 ，方向與界面正法線方向的夾角為 。試求介質(zhì) 2 一側(cè)的電場強度的大小 及其與界面正法線方向的夾角 。解：靜電場折射定律（3.1.13）電磁場理論B123-133.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件 例3.1.1 設(shè)靜電場中有一個電介質(zhì)分界面，兩邊介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 。已知在界面的介質(zhì) 1 一

8、側(cè)，電場強度的大小為 ，方向與界面正法線方向的夾角為 。試求介質(zhì) 2 一側(cè)的電場強度的大小 及其與界面正法線方向的夾角 。解：容易解得電磁場理論B133-143.1 靜電場的基本方程與邊界條件第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.1.2 靜電場的邊界條件靜電場折射定律（3.1.13）在界面上電場強度的方向?qū)l(fā)生突變。電磁場理論B143-153.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差根據(jù)場論，靜電場無旋，可用一標(biāo)量函數(shù)的梯度描述。 由靜電場的環(huán)量定律，電場力所做功（電場沿一個開放路徑的線積分）僅與路徑的起、終點有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差

9、 靜電場中兩點之間的電位差被定義為電場力將電荷從一點移動到另外一點是，電場力對單位電荷所作的功（與路徑無關(guān)）。電磁場理論B（3.2.4）153-163.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差電位將單位正電荷由某點移動至零電位點時電場力所做的功（3.2.6）零電位參考點電位與電位差一樣，是一個標(biāo)量，單位為伏特（ ）。電磁場理論B163-173.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差有限的區(qū)域內(nèi)不同形式電荷分布的電位選擇無限遠處為零電位參考點，有真空中的點電荷所產(chǎn)生電位場點的位置矢徑

10、點電荷所在點（源點）的位置矢徑（3.2.9）電磁場理論B173-183.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差（3.2.10）（3.2.12）（3.2.11）點電荷系體電荷面電荷線電荷有限的區(qū)域內(nèi)不同形式電荷分布的電位電磁場理論B183-193.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差源電荷分布區(qū)域延伸至無限遠時的電位 零電位參考點不能選擇在無限遠處，而須選在有限遠處，電位表達式應(yīng)加待定常數(shù)。點電荷體電荷電磁場理論B193-203.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解

11、法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差等位面電位相同之點組成的空間曲面因為每一點只對應(yīng)著一個確定的電位值，所每一點必屬于也僅屬于一個等值面。所有的點均有等值面通過，所有的等值面均互不相交。同一個電位值可以對應(yīng)幾個分離的等位面。電磁場理論B203-213.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度1. 電位和電位差 例3.2.1 真空中有一圓形帶電結(jié)構(gòu)，如圖3.2.2所示。設(shè)這個圓形帶電結(jié)構(gòu)分別為（1）半徑為 的均勻帶電圓盤，其上面電荷密度為 ；（2）半徑為 的均勻帶電圓環(huán)，其上的線電荷密度為 ，試分別計算中心垂直軸線上的電位。圓柱坐標(biāo)系中的長度元和面

12、積元圓柱坐標(biāo)系中的距離計算取無限遠為參考點電磁場理論B213-223.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度2. 電位梯度對體電荷所產(chǎn)生的電位計算梯度分布可以得到電磁場理論B223-233.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度2. 電位梯度電場強度等于電位的負(fù)梯度。（3.2.15）大小等于電位的梯度（最大的方向?qū)?shù)）。方向指向電位減小的方向。電力線與等位面相互垂直。電位不唯一，取決于零電位參考點。電場強度唯一，與零電位參考點無關(guān)。電磁場理論B233-243.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.

13、2.1 電位和電位梯度 例3.2.2 設(shè)真空中的電偶極子由間距為 的一對等值異號電荷 和 構(gòu)成，試求遠離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場。解：根據(jù)電位的疊加性可得其中電磁場理論B243-253.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度 例3.2.2 設(shè)真空中的電偶極子由間距為 的一對等值異號電荷 和 構(gòu)成，試求遠離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場。解：當(dāng)觀察點遠離電偶極子時，應(yīng)用二項式展開（或平行線概念），可以近似得到電磁場理論B253-263.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度 例3.2.2 設(shè)真空中的電偶極子由間

14、距為 的一對等值異號電荷 和 構(gòu)成，試求遠離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場。解：遠離電偶極子處的電位和電場強度電磁場理論B263-273.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.1 電位和電位梯度 例3.2.2 設(shè)真空中的電偶極子由間距為 的一對等值異號電荷 和 構(gòu)成，試求遠離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場。解：遠離電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場強度的分布圖電磁場理論B273-283.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方程電位的泊松方程和拉普拉斯方程由兩個

15、微分形式基本方程和矢量恒等式可以得到電磁場理論B 線性各向同性 二階偏微分方程283-293.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方程電位的泊松方程和拉普拉斯方程均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中有源區(qū)電位的泊松方程（3.2.19）均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中無源區(qū)電位的拉普拉斯方程（3.2.20）電磁場理論B293-303.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方

16、程電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中有源區(qū)電場的泊松方程（3.2.21）均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中電荷均勻分布時電場強度的拉普拉斯方程（3.2.25）電磁場理論B均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中無源區(qū)電場的拉普拉斯方程（3.2.25）303-313.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方程直角坐標(biāo)系中的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.4）直角坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程電磁場理論B313-323.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的

17、解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方程直角坐標(biāo)系中的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.4）直角坐標(biāo)系中電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程電磁場理論B323-333.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程和拉普拉斯（Laplace）方程圓柱坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程體電荷密度電磁場理論B333-343.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件1. 電位的泊松（Poisson） 方程

18、和拉普拉斯（Laplace）方程球面坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程體電荷密度電磁場理論B343-353.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件2. 電位的邊界條件電位邊界條件與電場邊界條件的關(guān)系電位邊界條件可由電場邊界條件導(dǎo)出；由梯度定義得到的法向分量、切向分量與方向?qū)?shù)的關(guān)系（3.2.26）（3.2.27）電位沿界面的切向和法向的方向?qū)?shù)電磁場理論B353-363.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件2. 電位的邊界條件兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件由電位的定義（電場力所做的功）可知

19、，電位連續(xù)，包括在邊界上。（3.2.29）（3.2.28）電磁場理論B363-373.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件2. 電位的邊界條件兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件（3.2.29）（3.2.28）電磁場理論B373-383.2 電位及其電位方程第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.2.2 電位的微分方程和邊界條件2. 電位的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體內(nèi)部不存在靜電場；導(dǎo)體必為等位體，導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面為等位面。（3.2.32）（3.2.33）電磁場理論B383-393.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法

20、3.3.1 靜電場的能量和能量密度靜電場的能量基本概念靜電場是有能量分布的系統(tǒng)，對其中的電荷有作用力。由于產(chǎn)生靜電場的電荷靜止，所以不必考慮與運動有關(guān)的動能，只考慮與位置有關(guān)的位能。在討論靜電場的能量時，假設(shè)電荷的移動足夠慢，以至動能和輻射效應(yīng)可忽略。電磁場理論B393-403.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.1 靜電場的能量和能量密度靜電場的能量基本概念點電荷電場的位能：把該點電荷從零電位的無窮遠處移動到所在位置上時，外力為克服電場力所需做的功。任意形式的分布電荷：靜電場所具有的能量等于建立該電場的過程中所需外力做的功。圖3.3.1 點電荷系統(tǒng)的能量 電磁

21、場理論B403-413.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.1 靜電場的能量和能量密度點電荷系的電場的能量外力所做的總功（3.3.1）電場能量的單位是焦耳（ ）。 是由除電荷 本身以外的其它點電荷所產(chǎn)生的的電位。這里的能量僅代表相互作用的能量，即互能。沒有涉及每個點電荷本身建立時所需的能量，即自能。電磁場理論B413-423.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.1 靜電場的能量和能量密度體電荷分布的電場的能量用電荷密度和電位表示的能量（3.3.2）用場量表示的能量（3.3.3）電磁場理論B423-433.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電

22、容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.1 靜電場的能量和能量密度靜電場的能量密度靜電場的能量密度（線性和各向同性的介質(zhì)中）（3.3.4）靜電場的總儲能能量（3.3.5）能量密度的單位是焦耳每立方米（ ）。能量密度恒大于零，也就是說，靜電場能量恒為正。電磁場理論B433-443.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念在靜電場中，導(dǎo)體中的自由電荷處于靜電平衡狀態(tài)。導(dǎo)體內(nèi)總電荷及其電場為零，電荷只分布在導(dǎo)體表面。導(dǎo)體的表面的電荷在周圍空間產(chǎn)生電場。電磁場理論B443-453.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值

23、問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念由導(dǎo)體所組成的電容器就是利用導(dǎo)體的充放電來儲存和釋放電場能量的。電容器這種能力的大小就用電容來描述。電磁場理論B453-463.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容“孤立”的帶電導(dǎo)體的電容導(dǎo)體所帶的電量與導(dǎo)體的電位之比（3.3.6）例如：真空中一個半徑為 的帶電球體的電容電磁場理論B463-473.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容兩個帶電導(dǎo)體的電容電磁場理論B令 自部分電容 互部分電容473-483.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3

24、章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容電容器的電容電容器兩個帶有等值異號電荷的導(dǎo)體電磁場理論B電容器的電容兩個導(dǎo)體的電位差和電量之比的倒數(shù)（3.3.13）電容器的電容僅與電容器的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，而與電容器極板上所帶的電荷量的多少無關(guān)，也與兩個極板間的電位差無關(guān)。它是一個大于零的正數(shù)。483-493.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容電容器的電容電容器的電容與場量的關(guān)系上式再一次證明，靜電場能量恒為正。電容器中的儲能與電容的關(guān)系（3.3.18）（3.3.17）電磁場理論B493-503.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電

25、容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容平板電容器的電容（3.3.19）而比較可得設(shè)電容器的帶電量為 ，每個平板的面積為 ，兩個平板的間距為 電磁場理論B503-513.3 靜電場的能量和導(dǎo)體的電容第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容常見簡單電容器的電容同軸電容器的電容和電導(dǎo)是指單位長度的電容和電導(dǎo)。電磁場理論B513-523.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.4.1 靜電場邊值問題的分類分布型問題和邊值型問題靜電場分布型問題已知場中的電荷分布，求取場內(nèi)的電場強度分布或電位分布。例如利用庫侖定律或高斯定律求靜電場

26、分布。靜電場邊值型問題根據(jù)已知某一給定區(qū)域內(nèi)的電荷分布以及包圍該區(qū)域的表面上的邊界條件來求電場的問題。其中最常見的是已知兩種不同媒質(zhì)分界面上（主要是指導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面上）的電位邊界條件，通過求解電位泊松方程或拉普拉斯方程以獲取電介質(zhì)內(nèi)的電位分布。電磁場理論B523-533.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.4.1 靜電場邊值問題的分類靜電場的三類邊值問題（1）第一類邊值問題（Dirichlet狄利赫里邊值問題） 已知邊界上（導(dǎo)體表面）的電位分布（2）第二類邊值問題（Neumann諾依曼邊值問題） 已知的是邊界上（導(dǎo)體表面）的電位沿法線方向的 方向?qū)?shù)

27、分布（即導(dǎo)體表面的面電荷密度分布）電磁場理論B533-543.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.4.1 靜電場邊值問題的分類靜電場的三類邊值問題（3）第三類邊值問題（混合邊值問題） 已知部分邊界上的電位 和另一部分邊界上電位沿法線方向的方向?qū)?shù)電磁場理論B543-553.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.4.2 靜電場唯一性定理靜電場的唯一性定理如果帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置均已固定，則滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。靜電場的唯一性定理的證明是采用反證法，利用格林第一定理，通過以泊松方程為例來證明

28、。證明靜電場中唯一性定理的過程，完全可以推廣到以后的恒定電場和恒定磁場以及時變電磁場中。電磁場理論B553-563.4 靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.4.2 靜電場唯一性定理靜電場的邊值問題解法直接積分法求解一維場滿足的常微分方程。分離變量法坐標(biāo)曲面邊界內(nèi)的拉普拉斯方程。鏡象法形狀簡單的邊界及其附近的點電荷和線電荷。復(fù)變函數(shù)法二維平面場，由解析函數(shù)確定的特殊邊界。數(shù)值解法有限差分法，有限元法，矩量法其它解法格林函數(shù)法靜電場邊值問題的各種不同的解法都可以推廣應(yīng)用至一般的電磁場邊值問題的分析中去。電磁場理論B563-573.5 直接積分法（Direct In

29、tegral Method）第3章 靜電場及其邊值問題的解法直接積分法的基本概念直接積分法直接求解一維電位分布所滿足的二階常微分方程，即直接求解一維的泊松方程（有源區(qū)）或一維的拉普拉斯方程（無源區(qū)）?？梢圆捎弥苯臃e分法分析的電磁場問題必須滿足的條件：（1）電荷分布本身是一元函數(shù)；（2）媒質(zhì)分界面都是坐標(biāo)曲面；（3）給定的等位面是坐標(biāo)曲面。電磁場理論B573-583.5 直接積分法（Direct Integral Method）第3章 靜電場及其邊值問題的解法直接積分法的基本概念直接積分法的解題步驟： （1）根據(jù)題目給定的條件選定坐標(biāo)系，設(shè)定各區(qū)域內(nèi)的一元電位函數(shù)；（2）求解每個電位分布所滿足的

30、泊松方程或拉普拉斯方程得到電位函數(shù)的通解；（每個函數(shù)帶有兩個待定常數(shù)）（3）利用邊界條件以及特殊的定解條件（有界、零電位、對稱性）確定待定常數(shù)得到各區(qū)域內(nèi)的電位分布，從而得到其它得物理量（電場、能量、電容）。 電磁場理論B583-593.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.1 已知在兩塊相互平行的導(dǎo)體極板之間充滿著介電常數(shù)為 的電介質(zhì)和均勻分布著體電荷密度為 的電荷，極板之間的距離 遠小于極板平面的尺寸，極板之間的電壓為 ，如圖3.5.1所示。試求極板之間的電位和電場強度。解：忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為板間電位僅與坐標(biāo) 有關(guān)，它應(yīng)滿足下列泊松方程，

31、即電磁場理論B593-603.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.1 已知在兩塊相互平行的導(dǎo)體極板之間充滿著介電常數(shù)為 的電介質(zhì)和均勻分布著體電荷密度為 的電荷，極板之間的距離 遠小于極板平面的尺寸，極板之間的電壓為 ，如圖3.5.1所示。試求極板之間的電位和電場強度。解：將上式直接積分，得出電位的通解表示式為式中， 和 為積分常數(shù)，它可以通過邊界條件來確定，即電磁場理論B603-613.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.1 已知在兩塊相互平行的導(dǎo)體極板之間充滿著介電常數(shù)為 的電介質(zhì)和均勻分布

32、著體電荷密度為 的電荷，極板之間的距離 遠小于極板平面的尺寸，極板之間的電壓為 ，如圖3.5.1所示。試求極板之間的電位和電場強度。解：求得極板平面之間的電位和電場強度分別為注意：該兩塊平板不是所謂的電容器，不能定義電容。電磁場理論B613-623.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。解：由于內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位僅隨 坐標(biāo) 而變化，即內(nèi)

33、外導(dǎo)體之間的電位應(yīng)滿足一維的拉普拉斯方程電磁場理論B623-633.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：對上式直接積分，得出通解表示式為積分常數(shù) 和 可以通過下面的邊界條件來確定 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。電磁場理論B633-643.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：對上式直接積分，得出通解表示式為積分常數(shù) 和 可

34、以通過下面的邊界條件來確定 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。電磁場理論B643-653.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：求出內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位及其電場強度分布分別為 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度

35、分布以及單位長度電纜的電容。電磁場理論B653-663.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：內(nèi)導(dǎo)體的表面的電荷密度為 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。電磁場理論B663-673.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：單位長度同軸電纜的電容為 例3.5.2 設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別 為 和 （ ），它們之間填

36、充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。電容器的電容總是為正。電磁場理論B673-683.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的直接積分法實例解：設(shè)球內(nèi)的電位和電場強度分別表示為 和 ，球外的電位和電場強度分別表示為 和 ，它們均僅為坐標(biāo) 的函數(shù)。 和 分別滿足一維的泊松方程和拉普拉斯方程，即 例3.5.3 有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。電磁場理論B683-693.5 直接積分法第3章 靜

37、電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.3 有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。解：將上述兩方程分別直接積分兩次，得出通解為在球體表面上，依不同介質(zhì)的分界面上的邊界條件有電磁場理論B693-703.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.3 有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。解：除此以外還有另外兩個定解條件前一個條件是由設(shè)定無限遠為零電位參考點得到。后一個條件可以借助

38、積分形式的高斯定律直接求出。和電磁場理論B703-713.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.3 有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。解：將四個定解條件代入電位的通解表達式，聯(lián)立解得四個積分常數(shù)為電磁場理論B713-723.5 直接積分法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的直接積分法實例 例3.5.3 有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。解：最終得出球內(nèi)外的電位和電場強度分布分

39、別為電磁場理論B723-733.6 分離變量法（Method of Separation of Variables）第3章 靜電場及其邊值問題的解法分離變量法的基本概念分離變量法將待求的多變量的未知函數(shù)分離成多個單變量的函數(shù)后分別進行求解。分離變量法的適用范圍求解給定邊界條件的標(biāo)量拉普拉斯方程 或標(biāo)量亥姆霍茲方程 。（1）無源區(qū)的邊值問題，即 和 ， 但 ， ；（2）邊界為坐標(biāo)曲面，否則得不到邊值問題的解。電磁場理論B733-743.6 分離變量法（Method of Separation of Variables）第3章 靜電場及其邊值問題的解法分離變量法的基本概念分離變量法將待求的多變量的

40、未知函數(shù)分離成多個單變量的函數(shù)后分別進行求解。分離變量法的解題步驟三個步驟（1）選定坐標(biāo)系，分離變量，找出含有分離常數(shù)和積分常數(shù)的通解；（共性問題要求）（2）由邊界條件確定分離常數(shù)以及解的具體形式；（特定問題不講）（3）利用調(diào)和函數(shù)的正交性定出積分常數(shù)，得到問題的特解。（數(shù)學(xué)問題不講）電磁場理論B743-753.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法令 代入拉普拉斯方程得等式兩端同除以 可得（3.6.3）直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離左邊的每一項僅與一個坐標(biāo)變量有關(guān)，要使其成立，每一項必然與任何坐標(biāo)變量都無關(guān)，即均為常數(shù)。電磁場理論B753

41、-763.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 如果令直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離 直角坐標(biāo)系中三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程分離常數(shù)（3.6.4）（3.6.5）（3.6.6）電磁場理論B763.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離方程（3.6.7）分離常數(shù)可以是實數(shù)、虛數(shù)或零， 可以是一切實數(shù)，即大于零、小于零或等于零； 不能同時大于零或小于零，即不能同號；3-77如果是二維場（ ），必有 。電磁場理論B773.6 分離變量法第3

42、章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離函數(shù) 的解：3-78電磁場理論B783.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離函數(shù) 的解：3-79電磁場理論B793.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離函數(shù) 的解：3-80電磁場理論B803.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的通解直角坐標(biāo)系中的變量分離3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量

43、法關(guān)于通解的說明：3-81通解包含了三種函數(shù)形式，即線性函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。通解只是滿足了直角坐標(biāo)系中邊值問題所滿足的微分方程，即拉普拉斯方程。通解對所有能夠采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法求解的邊值問題都是適用的。邊值問題的解還必須滿足特定的邊界條件，只有在通解中滿足邊界條件的函數(shù)才是該特定邊值問題的解。分離變量法最重要的就是確定既能滿足拉普拉斯方程又能滿足邊界條件的函數(shù)形式。電磁場理論B813.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-82選擇通解中的函數(shù)形式的幾個原則：（1）通解中的分離常數(shù)可以取各種不同的

44、數(shù)值。在三維空間中，三個分離常數(shù)中只有兩個是獨立的，第三個由分離方程所確定。如果是二維場，只有一個獨立的分離常數(shù)；（2） 不能同時大于零或小于零，即不能同號。所以靜電場的三個分離函數(shù)的通解不可能同為三角函數(shù)和同為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。對于二維場，一個分離函數(shù)是三角函數(shù)，另一個必為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。電磁場理論B823.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-83選擇通解中的函數(shù)形式的幾個原則：（3）滿足邊界條件的分離常數(shù)不止一個。當(dāng)分離常數(shù)為離散值，解是所有的分離常數(shù)所對應(yīng)的解的和，即級數(shù)形式；當(dāng)分離常數(shù)為連續(xù)值，解是一

45、個積分。（4）分離常數(shù)是利用給定的邊界條件，根據(jù)三角函數(shù)、線性函數(shù)和雙曲函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)來確定；例如，三角函數(shù)具有兩個以上的函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的零點，雙曲函數(shù)在無窮遠處趨于無限大等等。函數(shù)選擇的合適將會給求解帶來方便。電磁場理論B833.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-84兩種典型的二維問題的邊界面無限長的矩形區(qū)域和無限長的半無限深的矩形區(qū)域電磁場理論B843.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-85二維場的基本問題沿著

46、某一個坐標(biāo)方向的兩個邊界上場的邊界條件為齊次（函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)為零）的二維場。電磁場理論B853.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-86二維場的基本問題通解的形式（1）沿 方向的兩個邊界上具有齊次的邊界條件 一般情況下，場域有限時，選取雙曲函數(shù)；場域無限時，選取指數(shù)函數(shù)。電磁場理論B863.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-87二維場的基本問題通解的形式（2）沿 方向的兩個邊界上具有齊次的邊界條件 一般情況下，場域有

47、限時，選取雙曲函數(shù)；場域無限時，選取指數(shù)函數(shù)。電磁場理論B873.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-88二維場的基本問題通解的形式例如：電磁場理論B883.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題通解的選擇3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-89二維場邊值問題的分解利用場的疊加性，可以將任意的二維場分解成若干個二維基本問題的場的疊加。（有時還要加上一個線性項）由于分解的方式不止一種，所以最后得到的解的形式也是不一樣的。但是根據(jù)解的唯一性，它們都是原問題的解。電磁場

48、理論B893.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中二維靜電場邊值問題解的確定3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-90由邊界條件確定解的具體形式的兩個步驟：（1）代入相關(guān)的齊次邊界條件確定分離常數(shù)和部分待定常數(shù)。由于分離常數(shù)通常不止一個，所以將會得到級數(shù)形式的解，其中級數(shù)的每一項的系數(shù)還是未定的；（2）代入非齊次的邊界條件，利用三角函數(shù)的正交性確定級數(shù)中每一項的待定系數(shù)，得到問題的最終解。也可以直接利用確定傅立葉級數(shù)系數(shù)的公式來確定級數(shù)的系數(shù)。電磁場理論B903.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變

49、量法3-91 例3.6.1 有一只長直的金屬槽，其橫截面如圖3.6.1所示。上方的蓋板與槽壁有無限小的間隙以使之相互絕緣，蓋板的電位為 ，槽壁電位為零。試求該槽內(nèi)的電位分布。解：這是一個二維場的基本問題。由于在槽內(nèi)場沿著 軸方向?qū)⒊霈F(xiàn)兩個電位零點，即電位沿著 軸方向必為三角函數(shù)，通解應(yīng)選擇成下列形式：電磁場理論B913.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-92 例3.6.1 有一只長直的金屬槽，其橫截面如圖3.6.1所示。上方的蓋板與槽壁有無限小的間隙以使之相互絕緣，蓋板的電位為 ，槽壁電位為零。試求該槽內(nèi)的電位分

50、布。解：該邊值問題的解為級數(shù)的每一項都獨立地滿足三個齊次的邊界條件，而級數(shù)求和后滿足第四個非齊次的邊界條件。電磁場理論B923.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-93解：利用數(shù)值計算，可以畫出該導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。其中實線代表等位面，而虛線代表的是電力線。 例3.6.1 有一只長直的金屬槽，其橫截面如圖3.6.1所示。上方的蓋板與槽壁有無限小的間隙以使之相互絕緣，蓋板的電位為 ，槽壁電位為零。試求該槽內(nèi)的電位分布。電磁場理論B933.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.

51、6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-94 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的一個例子電磁場理論B943.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-95 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的一個例子第一個邊值問題的解已經(jīng)求過了（例題3.6.1）。第二個邊值問題的解可以按照類似的過程求得，也可以利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和平移的方法由第一個邊值問題的解直接寫出來。（ ）電磁場理論B953.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-96 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的一個例子電磁場理

52、論B963.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-97 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的另一個例子電磁場理論B973.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-98 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的另一個例子第一個邊值問題的解與平板電容器的解是一樣的。第二個邊值問題的由于沿著 方向場域是無限的，所以解取指數(shù)函數(shù)而不是雙曲函數(shù)。電磁場理論B983.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變

53、量法3-99 根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的另一個例子電磁場理論B993.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的三維邊值問題的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-100例3.6.2 有一長方形金屬盒子，如圖3.6.5所示。在除頂面以外的五個矩形表面上，電位均為零；頂面與其它表面絕緣，其上電位為常數(shù)。試求盒內(nèi)電位分布。解：這是一個三維邊值問題的基本問題，其通解為電磁場理論B1003.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法直角坐標(biāo)系中的三維邊值問題的分離變量法的實例3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-101例3.6.2 有一長方形金屬盒子，如圖3

54、.6.5所示。在除頂面以外的五個矩形表面上，電位均為零；頂面與其它表面絕緣，其上電位為常數(shù)。試求盒內(nèi)電位分布。解：利用三角函數(shù)的正交性得到最后的解為級數(shù)的每一項滿足齊次的邊界條件，而級數(shù)的和滿足非齊次的邊界條件。電磁場理論B1013.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的通解圓柱坐標(biāo)系中的變量分離3.6.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法3-102令 ，得到三個微分方程（3.6.25）（3.6.26）（3.6.27）圓柱坐標(biāo)系的分離變量法只有兩個分離常數(shù)，它們都是獨立的，不需要滿足分離方程。電磁場理論B1023.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中的通解圓

55、柱坐標(biāo)系中的變量分離3.6.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法3-103圓柱坐標(biāo)系中的三個分離方程的常用解電磁場理論B1033.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程3.6.3 球面坐標(biāo)系中的分離變量法3-104（3.6.48）（3.6.54）（3.6.53）方程（3.6.54）稱為歐拉（Euler）方程，它的解為冪函數(shù)；方程（3.6.53）稱為勒讓德（Legendre）方程，它的解為勒讓德函數(shù)；方程（3.6.54）的解類似于直角坐標(biāo)系。電磁場理論B1043.6 分離變量法第3章 靜電場及其邊值問題的解法球面坐標(biāo)系中的常用的通解3.6.3 球面坐標(biāo)

56、系中的分離變量法3-105（3.6.55）（3.6.56）（3.6.50） 和 分別稱為第一類和第二類 階 次連帶勒讓德函數(shù)。電磁場理論B1053.7 鏡像法（Method of Images）第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-106鏡像法的基本概念導(dǎo)體附近的點電荷與照鏡子電磁場理論B1063.7 鏡像法（Method of Images）第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-107鏡像法的基本概念照鏡子時，對觀察者而言 人鏡子人像（無鏡子）采用鏡像法時，對場點而言 電荷導(dǎo)體面電荷鏡像電荷（無導(dǎo)體面）導(dǎo)體附近的點電荷與照鏡子電磁場理論B1073.7 鏡像法（Method of Images）第

57、3章 靜電場及其邊值問題的解法3-108鏡像法的基本概念鏡像法用鏡像電荷代替導(dǎo)體面或介質(zhì)面的影響，利用原電荷和鏡像電荷來求解場分布。當(dāng)電荷附近存在著形狀比較特殊的導(dǎo)體面或介質(zhì)面（無限大平面、無限長圓柱面、球面等）時，可以采用鏡像法。鏡像法的關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號，使場量原來所滿足的方程及其邊界條件保持不變。若能做到這一點，則根據(jù)靜電場唯一性定理，用鏡像法所求出的解就成為所要求的場的唯一解。鏡像電荷實際上并不存在，它只是導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或者是介質(zhì)表面的極化電荷的一種等效。鏡像電荷不能出現(xiàn)在所求的場的區(qū)域。電磁場理論B1083.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-109

58、點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷大小相等、極性相反，位置以平面為對稱。電磁場理論B1093.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-110無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法（3.7.3）電磁場理論B1103.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-111無限大導(dǎo)體平面上的電荷密度和總電荷3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法（3.7.6）電磁場理論B1113.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-112無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生場

59、的分布圖3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法電磁場理論B1123.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-113幾點說明：3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法鏡像電荷實際上并不存在，它只是導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷的一種等效。等效性僅僅在導(dǎo)體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性是不存在的。（下半空間電場為零）電磁場理論B1133.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-114幾點說明：3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法嚴(yán)格地說，只有當(dāng)導(dǎo)電平面為無限大時，鏡像電荷才與原電荷等值異號，并位于原電荷的鏡像位置上。對于有限的導(dǎo)體平面，利用鏡像法得到的只是近似結(jié)果。 實

60、際中，只要導(dǎo)電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，都可以按無限大導(dǎo)體平面處理。此外，如果導(dǎo)電面是曲率半徑足夠大的光滑曲面（地球表面），也可以利用鏡像法求解。電磁場理論B1143.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-115點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法（1）線電荷與無限大導(dǎo)體平面的鏡像法鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平面為對稱電磁場理論B1153.7 鏡像法第3章 靜電場及其邊值問題的解法3-116點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用3.7.1 點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法（1）線電荷與無限大導(dǎo)體平面的鏡像法上半