1、八年級(jí) 上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短將軍飲馬問題： 兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題： 將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為將軍飲馬而廣為流傳的問題。P兩點(diǎn)之間線段最短. 根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最

2、短？ 最短路線：將軍飲馬：A -P- B. 例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B， 途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？ AB河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：例2變式：已知：P、Q是ABC的邊AB、 AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R， 使PQR的周長(zhǎng)最短嗎？?jī)牲c(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A，問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例3變式：已知P是ABC的邊BC上的點(diǎn)， 你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R， 使PQ

3、R的周長(zhǎng)最短嗎？(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部ABA/B/PQ最短路線：A P Q BlMN例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上， 試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部.AABBCDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，A

4、和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA(五)造橋選址問題思維分析BA 1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ 2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？ 我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵!上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與

5、交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時(shí)路徑最短.理由；另任作橋，連接，.由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為.在中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN問題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處思維方法 沿垂直于第一條河岸方向平移點(diǎn)至