1、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院陳利平.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章第二章 投資組合實(shí)際2.1 根本概念 Markowitz(1952)的投資組合實(shí)際的中心思想是投資者應(yīng)該采用分散化戰(zhàn)略，即不要把雞蛋放在一個(gè)籃子里。 分散化投資的思想可以追溯到十六世紀(jì)，莎士比亞在中寫(xiě)道： 我的買賣的成敗，并不全寄托在一艘船上， 更不是依賴著一處地方； 我的全部財(cái)富，也不會(huì)受一年盈虧的影響， 所以我的貨物并不能使我憂慮。 第一場(chǎng) 第一幕 安東尼奧.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 Markowitz(1952) 的投資組合實(shí)際建立在均值方差模型根底之上。他以為，假設(shè)個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)逃避的、不飽和的，那么給定資產(chǎn)的期望報(bào)答率，個(gè)體總是選擇較低

2、的方差，給定方差，個(gè)體總是追求較高的期望報(bào)答率，即個(gè)體偏好可以用均值-方差成效函數(shù)來(lái)描寫(xiě)：但這種假定是存在問(wèn)題的。 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章例：假定經(jīng)濟(jì)中存在兩個(gè)投資組合 和 ，它們的隨機(jī)報(bào)答率分別為： ， 。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得： ， ，即這兩個(gè)投資組合具有一樣的均值，但 的方差要大于 。 假定個(gè)體初始財(cái)富量為1，其成效函數(shù)取對(duì)數(shù)方式： ，那么個(gè)體對(duì)這兩個(gè)投資組合進(jìn)展投資后所能到達(dá)的期望成效值分別為：.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章因此個(gè)體投資在 上可以有更高的期望成效，雖然其方差比 的高。 該例子闡明，個(gè)體的成效函數(shù)寫(xiě)成僅依賴于均值、方差的函數(shù)是有條件的，這一點(diǎn)可以從下面的分析看出：其中 是一切三階矩以上的項(xiàng)。.

3、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 上式蘊(yùn)涵，對(duì)于一個(gè)不飽和的、風(fēng)險(xiǎn)逃避的個(gè)體，其期望成效不僅依賴于財(cái)富的均值和方差，還依賴于三階以上的中心矩。只需當(dāng)成效函數(shù)取特殊方式例如二次多項(xiàng)式，或資產(chǎn)的隨機(jī)報(bào)答率滿足特殊的分布正態(tài)分布、均勻分布、等概率的兩點(diǎn)分布時(shí)，期望成效函數(shù)才干表示為隨機(jī)財(cái)富均值、方差的函數(shù)。 1、當(dāng)個(gè)體成效函數(shù)取二次多項(xiàng)式 ，個(gè)體期望成效值可以簡(jiǎn)化為： 。 因此個(gè)體偏好可以用均值、方差的函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。但二次多項(xiàng)式成效函數(shù)蘊(yùn)涵當(dāng)財(cái)富量添加到一定程度，個(gè)體成效將減少；同時(shí)二次多項(xiàng)式成效函數(shù)中個(gè)體展現(xiàn)增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)逃避，這蘊(yùn)涵對(duì)個(gè)體而言風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種次品，因此二次多項(xiàng)式成效函數(shù)無(wú)法運(yùn)用到大多數(shù)覺(jué)得財(cái)富越多越好

4、的個(gè)體。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 2、當(dāng)資產(chǎn)的隨機(jī)報(bào)答率為正態(tài)分布時(shí)， 也服從正態(tài)分布。對(duì)于正態(tài)分布，其高階中心矩可以表示為一階、二階矩的函數(shù)：因此個(gè)體期望成效函數(shù)可以表示為均值方差的函數(shù)。 但資產(chǎn)報(bào)答率服從正態(tài)分布的假定太強(qiáng)了，計(jì)量檢驗(yàn)闡明，大多數(shù)資產(chǎn)并不服從這樣的假定。 基于以上的分析，均值-方差模型并不是一個(gè)普適的資產(chǎn)選擇模型，但由于該模型在分析上及所得出的結(jié)論都相對(duì)簡(jiǎn)單，同時(shí)在真實(shí)經(jīng)濟(jì)中運(yùn)用效果也比較令人稱心，因此得到了廣泛認(rèn)同。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2.2 完全風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下的投資組合前沿2.2.1 模型的建立 思索一個(gè)無(wú)摩擦經(jīng)濟(jì)，假定一切資產(chǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以無(wú)限賣空。假定經(jīng)濟(jì)中自然形狀

5、的全體可以描寫(xiě)為： ，其中 代表 中元素個(gè)數(shù)，即自然形狀的總個(gè)數(shù)。 給定恣意一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)或投資組合，該資產(chǎn)或投資組合的隨機(jī)報(bào)答率向量 可以表示為一個(gè) 維的向量 。 假定該經(jīng)濟(jì)中存在N種可以進(jìn)展買賣的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其隨機(jī)報(bào)答率向量 、 、 線性無(wú)關(guān)，具有有限方差和不相等的期望，其它風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資組合都是這N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的線性組合。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 記 為由N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望報(bào)答率構(gòu)成的 向量，記為： 其中上標(biāo)“T表示轉(zhuǎn)置。 為由1構(gòu)成的 向量，記為： 記V為N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)隨機(jī)報(bào)答率的方差-協(xié)方差矩陣，可以表示為： 任給一個(gè)權(quán)重為w的投資組合，其方差 ，因此V是一個(gè)對(duì)稱、正定矩陣。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 給

6、定期望報(bào)答率，一切期望報(bào)答率等于 的投資組合的權(quán)重向量全體服從： 和 ，等方差曲面 是橢球面 。 當(dāng)N=3時(shí)，在3維空間中 是一個(gè)2維橢球面， 和 是2維平面， 與平面 相交成一個(gè)橢圓，等均值平面 與平面 相交成一條直線，如圖2.1所示。 在期望報(bào)答率 給定下求解極小方差投資組合，相當(dāng)于在平面 中，尋覓與等均值線相切的等方差曲線及切點(diǎn)。 從圖中可以看出，一切切點(diǎn)位于同一根直線上，構(gòu)成一個(gè)一維子空間。我們稱該直線為組合前沿，稱該組合前沿上的恣意投資組合為前沿組合。在組合前沿上任給兩個(gè)前沿組合，其他前沿組合可以表示為這兩個(gè)前沿組合的線性組合。 .圖2.1：三資產(chǎn)極小方差投資組合 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章

7、 當(dāng)N3時(shí)，給定投資組合的期望報(bào)答率 ，極小方差投資組合的求解相當(dāng)于在N-1維超平面 中求出N-2維的橢球面與N-2維超平面相切的切點(diǎn)組合。可以證明，一切切點(diǎn)都位于同一條直線上，構(gòu)成一個(gè)一維子空間，即組合前沿，該組合前沿可以由恣意兩個(gè)前沿組合線性張成。 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2.2.2 模型的求解假設(shè)記 為前沿組合在各資產(chǎn)上的投資組合權(quán)重向量，那么 是如下最小化問(wèn)題的解： 。 Subject to: ， 。求解得前沿組合權(quán)重向量 可以表示為：其中 ， 。 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章其中定理2.2.1：完全風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下恣意前沿組合都可以表示為 的方式，反之亦然。 推論：整個(gè)投資組合前沿可以由恣意兩個(gè)不同的前沿

8、組合線性生成。 推論：前沿組合的恣意線性組合是一個(gè)前沿組合。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2.2.3 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合前沿的一些性質(zhì) 性質(zhì)2.2.1：恣意兩個(gè)前沿組合p和q的報(bào)答率之間的協(xié)方差可以表示為： 。 性質(zhì)2.2.2：恣意前沿組合報(bào)答率的方差可以表示為： 或 。 性質(zhì)2.2.2蘊(yùn)涵，在平面 中，投資組合前沿是一條雙曲線，如圖2.2.2所示；在平面 中，投資組合前沿是一條拋物線，如圖2.2.3所示。在圖2.2.2和圖2.2.3中，一切位于投資組合前沿左邊的組合都是不可行投資組合，位于組合前沿右邊包括組合前沿的投資組合是可行投資組合。.圖2.2.2： 平面中的 (圖2.2.3)： 平面中的 投資組合前沿

9、投資組合前沿.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 性質(zhì)2.2.3：極小方差投資組合mvp的報(bào)答率與其它恣意投資組合報(bào)答率的協(xié)方差等于 ，即極小方差投資組合本身報(bào)答率的方差。 定義：一切期望報(bào)答率嚴(yán)厲超越mvp期望報(bào)答率的前沿組合稱為有效組合(efficient portfolio)；一切期望報(bào)答率嚴(yán)厲低于mvp期望報(bào)答率的前沿組合稱為無(wú)效組合(inefficient portfolio)。 性質(zhì)2.2.4：一切有效組合的全體是一個(gè)凸集。 性質(zhì)2.2.5：恣意一個(gè)不等于mvp的前沿組合p，都存在獨(dú)一的一個(gè)與p的協(xié)方差為零的前沿組合zc(p) 。 我們稱前沿組合zc(p)是前沿組合p的零-協(xié)方差組合。由上式知，當(dāng)前

10、沿組合p是一個(gè)有效組合時(shí)，它的零-協(xié)方差組合zc(p)是一個(gè)無(wú)效組合；當(dāng)是p無(wú)效組合時(shí)，zc(p)是一個(gè)有效組合。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 性質(zhì)2.2.6：在 平面上，過(guò)恣意前沿組合p關(guān)于組合前沿的切線與期望報(bào)答率軸相交，截距為 。 () 在 平面上，過(guò)恣意前沿組合p與mvp的連線與期望報(bào)答率軸相交，截距為 . 性質(zhì)2.2.7：設(shè)p是一個(gè)前沿組合， ，那么對(duì)恣意可行投資組合q，我們有： 。 此處 是貝塔系數(shù)。 性質(zhì)2.2.8：設(shè)p是一個(gè)前沿組合， ，那么對(duì)恣意可行投資組合q，我們有： 其中 ， 不依賴于前沿組合的選取。 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 記 ,性質(zhì)2.2.8蘊(yùn)涵，恣意一個(gè)可行投資組合q可以正交投影

11、為一個(gè)前沿組合 和一個(gè)期望報(bào)答率為零的噪聲項(xiàng) 。 由于 ， 。 所以假設(shè)個(gè)體偏愛(ài)較高的期望報(bào)答率和較低的方差，那么在給定期望報(bào)答率下，該個(gè)體可以經(jīng)過(guò)選擇前沿組合 來(lái)逃避掉由帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn) 。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章例2.2.1：表2.2.1：三種資產(chǎn)的隨機(jī)報(bào)答率取值。假定各自然形狀等概率出現(xiàn)。 自然形狀報(bào)答率200211220202.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章這三種資產(chǎn)的期望報(bào)答率分別為： ； ；因此期望報(bào)答率向量可以描寫(xiě)為： 。.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章在各自然形狀下，資產(chǎn)的隨機(jī)報(bào)答率對(duì)期望值的偏離可以描寫(xiě)為： 1-1-11-1/2-1/21/21/2-11-11.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章因此我們有： ， ， ， ， ，因此方

12、差-協(xié)方差矩陣V可以描寫(xiě)為：.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 給定 ，平面 與平面 相交 成一條直線；同時(shí)平面 與橢球面 相交成一個(gè)橢圓， 的取值決議了橢圓的大小，這些橢圓有些與直線相交，有些無(wú)交點(diǎn)，其中有一個(gè)與直線相切，切點(diǎn)即為前沿組合。 最優(yōu)化問(wèn)題(2.2.3)可以簡(jiǎn)化為：Subject to: ， 。 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得：前沿組合的期望報(bào)答率與方差之間的關(guān)系可以簡(jiǎn)化為： ，.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2.3 引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的投資組合前沿2.3.1 組合前沿的求解 假定經(jīng)濟(jì)中除了N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)外，還存在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。記N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望報(bào)答率向量為e，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的期望報(bào)答率為 ， V為N種風(fēng)險(xiǎn)

13、資產(chǎn)報(bào)答率的方差-協(xié)方差矩陣， 為由1構(gòu)成的N向量；記w為投資組合在N風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的權(quán)重， 為該投資組合在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的權(quán)重。假定經(jīng)濟(jì)中個(gè)體可以無(wú)限制地賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，無(wú)限制地以 借錢投資，市場(chǎng)是無(wú)摩擦的。 令p是一個(gè)由N+1種資產(chǎn)構(gòu)成的前沿組合，給定期望報(bào)答率 ，那么 應(yīng)該滿足：.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章 前沿組合可以經(jīng)過(guò)下述最小化問(wèn)題求得： Subject to: ， 求解得前沿組合可以表示為； 。 此處 ,其中 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2.3.2 組合前沿的性質(zhì) 性質(zhì)2.3.1：恣意前沿組合的方差可以表示為： 。 因此在 平面上可以表示為過(guò)點(diǎn) 、斜率為 和 的射線。 這兩條射線可以表示為：.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二

14、章 在 平面中，描寫(xiě)前沿組合的兩條射線按三種情況分別由圖(2.3.1-3)給出：1 。 引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的前沿組合由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和切點(diǎn)組合e線性生成，即 平面中的射線 和 見(jiàn)圖2.3.1。其中位于線段 上的前沿組合可以經(jīng)過(guò)部分投資于切點(diǎn)組合e、部分投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而到達(dá)；位于射線 上的前沿組合可以經(jīng)過(guò)賣空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、投資于切點(diǎn)組合而到達(dá)；位于射線 上的前沿組合可以經(jīng)過(guò)賣空切點(diǎn)組合e、投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而到達(dá)。(圖2.3.1)：當(dāng) 時(shí)的前沿組合.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章2當(dāng) 時(shí)，類似地我們可以證明，引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的前沿組合由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和切點(diǎn)組合線性生成，即圖2.3.2中的射線 和 。其中射線 上的前沿組合可以經(jīng)過(guò)賣空切點(diǎn)組合e、投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)實(shí)現(xiàn)；線段 上的前沿組合可以經(jīng)過(guò)部分投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、部分投資切點(diǎn)組合e來(lái)實(shí)現(xiàn)；射線 可以經(jīng)過(guò)賣空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、投資切點(diǎn)組合e來(lái)實(shí)現(xiàn)。 圖2.3.2： 時(shí) 的前沿組合 .金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章3