1、第三章 函數(shù) 3.1函數(shù)的概念及表示法授課教師:游彥我們學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？一、復(fù)習(xí)回顧 設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù).其中x叫自變量，y叫因變量.初中函數(shù)定義：請(qǐng)同學(xué)們考慮以下兩個(gè)問(wèn)題：在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，設(shè)變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對(duì)于D內(nèi)的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么，把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù)概 念表 示 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知函數(shù)對(duì)應(yīng)法則自變量定義域函數(shù)兩個(gè)要素函數(shù)值當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)y=f(x)所對(duì)應(yīng)的值y0=f(x0)值域函數(shù)值的集合yy=f(

2、x),xD 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知 一般地，設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y和它 對(duì)應(yīng) ，那么就稱f: AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）,通常記為 其中, x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）； 與x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域（range）.函數(shù)的概念非空的數(shù)集某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f唯對(duì)應(yīng)每一個(gè)一函數(shù)概念的理解1明確三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（又稱三要素）：兩個(gè)非空集合即定義域（自變量x的取值范圍）與值域（與每一個(gè)x值對(duì)應(yīng)的所有y值的取

3、值范圍）；對(duì)應(yīng)關(guān)系.ABf1224368可以是一對(duì)一也可是多對(duì)一，關(guān)鍵把握好集合B中元素的唯一性。4理解概念2：對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的進(jìn)一步理解任務(wù)一：能利用函數(shù)的定義判斷一些對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系1.判斷下列對(duì)應(yīng)是否為數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)函數(shù)：(1) A= 1,2,3,4,5，B=2,4,6,8，f(x)=2x.(2) A=1,2,3，B=7,8,9，f(1)=f(2)=7，f(3)=8是不是是12341234AB(3)11234AB(4)1231234AB(5)不是是2.任務(wù)一：能利用函數(shù)的定義判斷一些對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系3. 下列數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，哪些不是函數(shù)？哪些是函數(shù)？任務(wù)一：能利用函數(shù)的定義判斷

4、一些對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系判斷對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)，一般從兩個(gè)方面入手：（1）D中的每一個(gè)值是否對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系都有意義；（2）由對(duì)應(yīng)法則f得到的值是否惟一。任務(wù)一：能利用函數(shù)的定義判斷一些對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系分析如果函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是用代數(shù)式表示的，那么函數(shù)的定義域就是使得代數(shù)式有意義的自變量的取值集合 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題 若f (x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R. 若f (x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集. 若f (x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于 或等于0的實(shí)數(shù)集. 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題 函數(shù)定義域 分析本題是求自變量x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，

5、方法是將x0代入到函數(shù)表達(dá)式中求值. 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題 例3、已知函數(shù)f(x)=2x2+3x+1,求f(1),f(f(-2),f(2t)分析：將1, f(-2), 2t依次代入函數(shù)的解析式中.解：f(1)=212311=6. f(-2)= 2(-2)23(-2) 1=3 f(f(-2)=f(3) =232331=28. f(2t)=2(2t)2 32t1 =8t2 6t1. . 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題分析 定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)視為同一個(gè)函數(shù). 對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，y才是x的函數(shù)。 例5.下列各式中，是自變量，請(qǐng)判斷是不是的函數(shù)？3y +1x4

6、.y=1.y 2x 2.y 解:1 y是x的函數(shù)。 2、y是x的函數(shù)。 3、y不是x的函數(shù)。 4、y是x的函數(shù). 例6.下列圖象中不能作為函數(shù)的是( ).（A）（B）（C）（D）B任意的xA，存在唯一的y與之對(duì)應(yīng)例7.判斷下列對(duì)應(yīng)能否表示y是x的函數(shù)（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x2 （4）y2=x (1)能 (2)不能 (3)能 (4)不能 例8.已知f(x)=3x2, x0,1,2,3,5， 求f(0), f(3)和函數(shù)的值域.解：值域?yàn)榻滩木毩?xí)3.1.1 應(yīng) 用 知 識(shí) 強(qiáng) 化 練 習(xí)練習(xí)1：下列數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，哪些不是函數(shù)，哪些是函數(shù)？練習(xí)2：已知集合 ,下列M到P

7、的各種對(duì)應(yīng)中，不是函數(shù)的是（ ） 練習(xí)3：判斷下列圖象能表示函數(shù)圖象的是（ ）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D-11-111-1-111設(shè)函數(shù) 則它的圖像與直線 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A.0B.1C.0或1D.2練習(xí)4：C練習(xí)5 判斷下列函數(shù)組表示同一個(gè)函數(shù)的是( ) 作業(yè)：1、下列數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，哪些不是函數(shù)，哪些是函數(shù)？2、下列函數(shù)與函數(shù) 是同一個(gè)函數(shù)嗎？說(shuō)明理由。(a是實(shí)數(shù)常數(shù))1. 某城市2008年8月16日至8月25日的日最高氣溫統(tǒng)計(jì)表：日 期16171819202122232425最高氣溫29292830252829282930表示函數(shù)的方法是： .它的優(yōu)點(diǎn)是： .觀

8、察下面的三個(gè)例子，分別用什么樣的形式呈現(xiàn)函數(shù)？ 創(chuàng) 設(shè) 情 景 興 趣 導(dǎo) 入列表法不需 計(jì)算，自變量的值與函數(shù)值一目了然2. 天津市溫度自動(dòng)記錄儀記錄的氣溫時(shí)段圖：觀察下面的三個(gè)例子，分別用什么樣的形式呈現(xiàn)函數(shù)？表示函數(shù)的方法是： .它的優(yōu)點(diǎn)是： . 創(chuàng) 設(shè) 情 景 興 趣 導(dǎo) 入直觀形象地表示自變量和函數(shù)值變化的趨勢(shì)圖像法3.用 S 來(lái)表示半徑為r的圓的面積，則S=r2這個(gè)公式清楚地反映了半徑r與圓的面積S之間的函數(shù)關(guān)系，這里函數(shù)的定義域?yàn)镽+觀察下面的三個(gè)例子，分別用什么樣的形式呈現(xiàn)函數(shù)？表示函數(shù)的方法是： .他的優(yōu)點(diǎn)是： .常用的函數(shù)表示方法有列表法、圖像法和解析法三種. 創(chuàng) 設(shè) 情

9、景 興 趣 導(dǎo) 入簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系解析法.下面的表格是某商家銷售計(jì)算機(jī)的統(tǒng)計(jì)表，你能從表格中得到哪些信息？ 季 度第一季度第二季度第三季度第四季度數(shù)量(臺(tái))400405632605類似的,在生活中你還見(jiàn)過(guò)哪些表格？列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系 . 優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算，直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知.類似的,在生活中你還見(jiàn)過(guò)哪些圖像？圖像法：用函數(shù)圖像表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系. 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象地表示出自變量和相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì).下面是某商店一年的銷售額隨季度的變化曲線，你能從表格中得到哪些信息？ 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知.在勻

10、速直線運(yùn)動(dòng)中，位移與時(shí)間之間有確定的依賴關(guān)系，比如當(dāng)速度為5m/s時(shí)，位移s=5t.解析法：用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系（解析式） . 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系，可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知正方形的周長(zhǎng)C和邊長(zhǎng)a之間也有類似的依賴關(guān)系，能寫出它們的函數(shù)關(guān)系式嗎？.解 （1）關(guān)系式y(tǒng)=0.12 x就是函數(shù)的解析式， 故函數(shù)的解析法表示為 y=0.12 x， x 1,2,3,4,5,6 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題例 文具店內(nèi)出售某種鉛筆，每支售價(jià)為0.12元，應(yīng)付款額是購(gòu)買鉛筆數(shù)的函數(shù)，當(dāng)購(gòu)買6支以內(nèi)（含6支）的鉛筆時(shí)，請(qǐng)

11、用三種方法表示這個(gè)函數(shù).例 文具店內(nèi)出售某種鉛筆，每支售價(jià)為0.12元，應(yīng)付款額是購(gòu)買鉛筆數(shù)的函數(shù)，當(dāng)購(gòu)買6支以內(nèi)（含6支）的鉛筆時(shí)，請(qǐng)用三種方法表示這個(gè)函數(shù)解 （2）依照售價(jià)，分別計(jì)算出購(gòu)買1-6支鉛筆所需款數(shù)， 列成下面的表格，即為函數(shù)的列表法表示x（支）123456y（元） 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題.解 :（3）以上表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次作出點(diǎn)（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）（3 ， 0.36）、（4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），則函數(shù)的圖像法表示如圖所示 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題例 文具店內(nèi)出售某種鉛筆，每支售

12、價(jià)為0.12元，應(yīng)付款額是購(gòu)買鉛筆數(shù)的函數(shù)，當(dāng)購(gòu)買6支以內(nèi)（含6支）的鉛筆時(shí)，請(qǐng)用三種方法表示這個(gè)函數(shù) 動(dòng) 腦 思 考 探 索 新 知作函數(shù)圖像的一般方法描點(diǎn)法 1.確定函數(shù)的定義域； 2.選取自變量x的若干值（一般選取某些代表性的值）計(jì)算出它們 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，列出表格； 3.以表格中x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出 相應(yīng)的點(diǎn)（x，y）； 4.根據(jù)題意確定是否將描出的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成光滑的曲線.分析 按照“描點(diǎn)法”的步驟進(jìn)行 鞏 固 知 識(shí) 典 型 例 題. 應(yīng) 用 知 識(shí) 強(qiáng) 化 練 習(xí)教材練習(xí)3.1.2 函數(shù)概念 計(jì)算函數(shù)值求定義域判斷相同函數(shù) 作函數(shù)圖像 函數(shù)表示法 歸 納

13、小 結(jié) 強(qiáng) 化 思 想P49/A組 4、作出各函數(shù)的圖像：（1）y=2x+1，x-1,0,1,2,3解：x、y的函數(shù)關(guān)系列表如下： 畫函數(shù)圖像如下： y 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 x -1習(xí)題解答X-10123y-11357習(xí)題解答(2)y=2-x,x0,2解：列表 畫圖 y 2 1 0 1 2 x X012y210P50/A組（3）一根彈簧不掛重物是長(zhǎng)12CM，掛重物后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所管重物的質(zhì)量成正比的函數(shù)。 解：設(shè)彈簧總長(zhǎng)為y（單位：cm），所掛重物x（單位：kg），彈簧的彈性系數(shù)為k，則變化的函數(shù)解析式為： y=kx+12，（k為任意正數(shù)，xx/0 x限重）

14、y(cm) 12 0 限重 x(kg)彈簧掛重物不能超過(guò)彈性限度！ P50/B組 A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)、從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別是每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別是每噸15元和24元，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最少？（提示：可以把調(diào)運(yùn)總費(fèi)用看成運(yùn)往某地肥料數(shù)量的函數(shù)）解：設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)的肥料量為（200 x）噸，則B城運(yùn)往C的肥料量為（240 x）噸，B城運(yùn)往D鄉(xiāng)的肥料量260（200 x）=（60+x）噸 由總運(yùn)費(fèi)與各運(yùn)輸量的關(guān)系可知，

15、反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：y=20 x+25（200 x）+15（240 x）+24（60+x） 化簡(jiǎn)得y=4x+10040（0 x200） 由解析式和圖象可看出：當(dāng)x=0時(shí)，y的最小值10040 即：從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸； 從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸， 此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最小值是10040元 1解析法數(shù)學(xué)表達(dá)式y(tǒng)10 x，x1,2,3,4用_表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示方法叫做解析法，這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做函數(shù)的解析式練習(xí) 1：某種鋼筆的單價(jià)是 10 元，買 x(x1,2,3,4)支鋼筆需要 y 元，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi).57習(xí)題2圖象法橫

16、坐標(biāo)縱坐標(biāo)圖象 以自變量x的取值為_(kāi)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為_(kāi)，在平面直角坐標(biāo)系中描出各個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)構(gòu)成了函數(shù)yf(x)的圖象，這種用_表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法【問(wèn)題探究】1已知 f(x)x2x1，則 f(x1)_.2已知 f(x1)x2x1，則 f(x)_.x2x1x23x3x1題型 1作函數(shù)的圖象【例 1】 作出下列函數(shù)的圖象：(1)y2x1(xZ)；(2)yx22x2(0 x3)；(3)y|x1|；(4)yx.思維突破：作函數(shù)的圖象，首先應(yīng)分析函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)作函數(shù)的圖象一般有兩種思路：一是利用描點(diǎn)法；二是轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，利用基本函數(shù)圖象作復(fù)雜函數(shù)的圖象

17、解：(1)函數(shù)定義域?yàn)?xZ，這個(gè)函數(shù)的圖象是直線y2x1 上的所有整點(diǎn)如圖 D8(1)(2)0 x3，這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線 yx22x2在 0 x3 之間的一段曲線如圖 D8(2)圖 D8先觀察函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)化簡(jiǎn)函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，然后利用列表描點(diǎn)法或利用基本函數(shù)圖象去作復(fù)雜函數(shù)的圖象【變式與拓展】1(2013 年湖北)小明騎自行車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛.)與以上事件吻合得最好的圖象是(ABCD解析：時(shí)間越長(zhǎng)，離學(xué)校越遠(yuǎn)，A 顯然錯(cuò)誤； 途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，距離不變，D 錯(cuò)誤； 開(kāi)始時(shí)勻速行駛，后為了趕時(shí)間加快

18、速度行駛，后面的直線應(yīng)該陡一些故選 C.答案：C題型 2待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式【例 2】 已知二次函數(shù) yf(x)的最大值為 13，且 f(3)f(1)5，求 f(x)的解析式解：方法一：利用二次函數(shù)的一般式求解設(shè) f(x)ax2bxc(a0)由條件知，點(diǎn)(3,5)，(1,5)，(1,13)在 f(x)的圖象上，f(x)2x24x11.方法二：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求解由 f(3)f(1)，可知：對(duì)稱軸為 x1，又最大值為 13，故可設(shè) f(x)a(x1)213.將 x3，f(x)5 代入，得 a2.f(x)2(x1)213，即 f(x)2x24x11.對(duì)于求二次函數(shù)解析式的問(wèn)題，應(yīng)注意已知條件，選擇恰當(dāng)?shù)拇ㄐ问健咀兪脚c拓展】2已知 f(x)是一次函數(shù)，且 ff(x)4x3，求 f(x)的解析式解：設(shè) f(x)axb，則 ff(x)f(axb)a2xabb.a2