1、專題05極限臨界方法極限臨界方法是解決物理問題經(jīng)常用到的一種方法。伽利略應(yīng)用極限臨界方法探究力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。他做了著名的斜坡實(shí)驗(yàn)，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)光滑斜坡對(duì)接，其中一個(gè)斜坡的傾角可以調(diào)節(jié)，當(dāng)從一個(gè)斜坡某一點(diǎn)讓小球自由滾下，能看到小球滾到另一斜坡與起點(diǎn)等高處，這個(gè)實(shí)驗(yàn)最關(guān)鍵的問題是要使阻力足夠小，使小球達(dá)到與起點(diǎn)等高處，只有這樣，才能進(jìn)行極限思維：當(dāng)斜坡傾角趨近于零時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，小球永不停息地運(yùn)動(dòng)下去。這就是伽利略的理想實(shí)驗(yàn)，它一方面以真實(shí)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)為根據(jù)，抓住關(guān)鍵性的科學(xué)事實(shí)，為理想實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行提供可靠的基礎(chǔ)；另一方面，又要充分發(fā)揮極限臨界方法的能動(dòng)作用，進(jìn)行合乎邏輯的推理。極限臨界

2、方法實(shí)際上是依據(jù)一定的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，進(jìn)行理想推演的思維過程，是思維由存在向虛無、或由虛無向存在推進(jìn)的過程，對(duì)于我們解決一些物理問題有所啟迪：一種情況是對(duì)于有些問題不容易得出通解，我們可以應(yīng)用極限臨界方法求其特解（特解是理想狀況下的不存在的解）由特解再回溯通解的有關(guān)特性；另一種情況是先求出問題的通解，再由極限臨界方法逼近其特解，得出極值。極限臨界方法是臨界方法與極限方法的綜合。典例1.（19年海南卷）如圖，一段半圓形粗銅線固定在絕緣水平桌面（紙面）上，銅線所在空間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向豎直向下。當(dāng)銅線通有順時(shí)針方向電流時(shí)，銅線所受安培力的方向（）A.向前B.向后C.向左D.向右【答案】A【解析】以豎

3、直軸為對(duì)稱軸，把半圓形通電銅線對(duì)稱等分，每一段通電銅線長(zhǎng)趨近于零但不為零，每一段通電銅線可以看作直線段，對(duì)稱軸兩邊的對(duì)稱直銅線受到的安培力由左手定則確定，其方向關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱且斜向上，合力豎直向上。由此得出半圓形通電銅線受到的合力豎直向上?！军c(diǎn)評(píng)與總結(jié)】本題利用極限思維方法將半圓形通電銅線化曲為直，從而有利于問題的解決。也可以用等效法處理：半圓形銅線的受力與水平直徑長(zhǎng)的銅導(dǎo)線等效。針對(duì)訓(xùn)練1（19年全國(guó)3卷）如圖，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有兩根位于同一水平面內(nèi)的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，兩相同的光滑導(dǎo)體棒ab、cd靜止在導(dǎo)軌上。t=0時(shí)，棒ab以初速度v0向右滑動(dòng)。運(yùn)動(dòng)過程中，ab、cd始終與導(dǎo)軌

4、垂直并接觸良好，兩者速度分別用v1、v2表示，回路中的電流用I表示。下列圖像中可能正確的是（）【答案】AC；【解析】ab棒向右運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，則受到向左的安培力，從而向左做減速運(yùn)動(dòng)，金屬棒cd受向右的安培力作用而做加速運(yùn)動(dòng)，隨著兩棒的速度差的減小安培力減小，加速度減小，當(dāng)兩棒速度趨近相等時(shí)，回路的磁通量沒有變化感應(yīng)電流為零，最終兩棒共速，一起做勻速運(yùn)動(dòng)，兩棒的加速度為零。故最終電路中電流為0，故AC正確，BD錯(cuò)誤?！军c(diǎn)評(píng)與總結(jié)】本題不僅要考慮過程物理量的變化，還要善于發(fā)現(xiàn)終極狀態(tài)。這是雙桿模型，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，雙桿最終速度趨近相同，可以得出末速度，兩者的相對(duì)速度趨近為零。

5、電路中的電動(dòng)勢(shì)是切割類型，EBlv，速度是兩桿的相對(duì)速度，相對(duì)速度逐漸減小，安培力逐漸減小，加速度逐漸減小，當(dāng)兩桿的相對(duì)速度為零，安培力為零，加速度也為零。典例2.（19年海南卷）一透明材料制成的圓柱體的上底面中央有一球形凹陷，凹面與圓柱體下底面可透光，表面其余部分均涂有遮光材料。過圓柱體對(duì)稱軸線的截面如圖所示。O點(diǎn)是球形凹陷的球心，半徑OA與OG夾角=120?。平行光沿軸線方向向下入射時(shí)，從凹面邊緣A點(diǎn)入射的光線經(jīng)折射后，恰好由下底面上C點(diǎn)射出。已知ABFG1cm，BC3cm，OA=2cm。（i）求此透明材料的折射率；（ii）撤去平行光，將一點(diǎn)光源置于球心O點(diǎn)處，求下底面上有光出射的圓形區(qū)域

6、的半徑（不考慮側(cè)面的反射光及多次反射的影響）。【答案】（i）3（ii）26cm2【解析】（i）通過幾何關(guān)系求得，入射角600，折射角300，nsinisinr3（ii）點(diǎn)光源處在球心，在進(jìn)入介質(zhì)的時(shí)候不會(huì)折射，當(dāng)光線從CD面射向空氣，剛好發(fā)生全反射時(shí)，入射角為臨界角C.sinC1tanCn1n2-1OC31ROCtanC262【點(diǎn)評(píng)與總結(jié)】點(diǎn)光源光線射向CD面，能透射出來的臨界狀態(tài)事其入射角剛好達(dá)到臨界角。小于臨界角的透射光束在CD面形成圓形光斑。針對(duì)訓(xùn)練2（19年全國(guó)3卷）如圖，直角三角形ABC為一棱鏡的橫截面，A=90，B=30。一束光線平行于底邊BC射到AB邊上并進(jìn)入棱鏡，然后垂直于AC

7、邊射出。（i）求棱鏡的折射率；（ii）保持AB邊上的入射點(diǎn)不變，逐漸減小入射角，直到BC邊上恰好有光線射出。求此時(shí)AB邊上入射角的正弦。【答案】（i）n=3，（ii）sini=322【解析】（i）光路圖及相關(guān)量如圖所示。光束在AB邊上折射，由折射定律得sinisinn式中n是棱鏡的折射率。由幾何關(guān)系可知+=60由幾何關(guān)系和反射定律得=B聯(lián)立式，并代入i=60得n=3（ii）設(shè)改變后的入射角為i，折射角為，由折射定律得sinisin=n依題意，光束在BC邊上的入射角為全反射的臨界角c，且sinc=1n由幾何關(guān)系得c=+30由式得入射角的正弦為sini=322典例3（19年江蘇卷）如圖所示，勻強(qiáng)磁

8、場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B磁場(chǎng)中的水平絕緣薄板與磁場(chǎng)的左、右邊界分別垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上時(shí)會(huì)被反彈（碰撞時(shí)間極短），反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子速度一定，可以從左邊界的不同位置水平射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為d，且d0）。質(zhì)量為m，電荷量為q（q0）的粒子自G的左端上方距離G為h的位置，以速度v0平行于紙面水平射入電場(chǎng)，重力忽略不計(jì)。（1）求粒子第一次穿過G時(shí)的動(dòng)能，以及它從射入電場(chǎng)至此時(shí)在水平方向上的位移大??；（2）若粒子恰好從G的下方距離G也為h的位置離開電場(chǎng)，則金屬板的長(zhǎng)度最短應(yīng)為多少？2qh；lv（2）L=2l

9、2vdqq【答案】（1）E=1mv2k02mdhmdh00qEhEmv22【解析】（1）PG、QG間場(chǎng)強(qiáng)大小相等，均為E，粒子在PG間所受電場(chǎng)力F的方向豎直向下，設(shè)粒子的加速度大小為a，有E2dF=qE=ma設(shè)粒子第一次到達(dá)G時(shí)動(dòng)能為Ek，由動(dòng)能定理有1k0設(shè)粒子第一次到達(dá)G時(shí)所用時(shí)間為t，粒子在水平方向的位移為l，則有h12at2E=mv2qh2dl=v0t聯(lián)立式解得12k0lv0mdhq（2）設(shè)粒子穿過G一次就從電場(chǎng)的右側(cè)飛出，則金屬板的長(zhǎng)度最短，由對(duì)稱性知，此時(shí)金屬板的長(zhǎng)度L為0qL=2l2vmdh典例4.（18年天津卷）如圖所示，在水平線ab下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向下

10、，ab的上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)中有一內(nèi)、外半徑分別為R、3R的半圓環(huán)形區(qū)域，外圓與ab的交點(diǎn)分別為M、N。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子在電場(chǎng)中P點(diǎn)靜止釋放，由M進(jìn)入磁場(chǎng)，從N射出，不計(jì)粒子重力。（1）求粒子從P到M所用的時(shí)間t；（2）若粒子從與P同一水平線上的Q點(diǎn)水平射出，同樣能由M進(jìn)入磁場(chǎng)，從N射出，粒子從M到N的過程中，始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，且所用的時(shí)間最少，求粒子在Q時(shí)速度v0的大小?！窘馕觥浚?）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，所受洛倫茲力提供向心力，有qvBm設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受電場(chǎng)力為F，有F=qE；設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛

11、頓第二定律有F=ma；粒子在電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有v=at；聯(lián)立式得tv23R3RBE；（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期和速度、半徑無關(guān)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間只由粒子所通過的圓弧所對(duì)的圓心角的大小決定，故當(dāng)軌跡與內(nèi)圓相切時(shí)，所有的時(shí)間最短，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系可知rR2(3R)2r2設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與ab的夾角為，即圓弧所對(duì)圓心角的一半，由幾何關(guān)系可知tan3RrR；粒子從Q射出后在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)方向上的分運(yùn)動(dòng)和從P釋放后的運(yùn)動(dòng)情況相同，所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沿豎直方向的速度同樣為v，在垂直于電場(chǎng)方向的分速度始終為v0，由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可

12、知tanvv0聯(lián)立式得vqBR0m【點(diǎn)評(píng)與總結(jié)】第二小題中，首先要畫出粒子從M到N的過程中（始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)）所用的時(shí)間最少的軌跡，由于粒子做完整圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定，如果在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角最小，粒子軌跡與內(nèi)環(huán)頂點(diǎn)相切，這條軌跡時(shí)臨界軌跡，這樣的軌跡時(shí)間最短。針對(duì)訓(xùn)練4a.如圖，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A和B。若滑輪有一定大小，質(zhì)量為m且分布均勻，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪與軸之間的磨擦。設(shè)細(xì)繩對(duì)A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個(gè)關(guān)于T1的表達(dá)式中有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的物理知識(shí)，通過一定的分析判斷正

13、確的表達(dá)式是（）A.T1(m2m)mgB.T1(m2m)mg2112m2(mm)m4(mm)1212D.T1C.T1(m4m)mg(m4m)mg2112m2(mm)m4(mm)1212【答案】C【解析】假定滑輪質(zhì)量m趨近于零（實(shí)際上滑輪總有質(zhì)量），對(duì)于A有：Tmgma。111對(duì)于B有;mgTma。222又知TT12以上三式解得：TT2m1m2mm1212g把m0代入本題四個(gè)選擇項(xiàng)，可得出C答案與之相符?！军c(diǎn)評(píng)與總結(jié)】本題的機(jī)械叫阿特伍德機(jī)，阿特伍德機(jī)問題是大學(xué)物理經(jīng)典問題，在高考試題中出現(xiàn)這樣給定選項(xiàng)的問題，顯然不需要高深的理論推導(dǎo)。本題如果考慮滑輪的質(zhì)量，高中生是無法直接求解的，因此要應(yīng)用極

14、限思維方法。針對(duì)訓(xùn)練4b.如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)、內(nèi)壁光滑的直管與水平地面成30角固定放置。將一質(zhì)量為m的小球固定在管底，用一輕質(zhì)光滑細(xì)線將小球與質(zhì)量為M=km的小物塊相連，小物塊懸掛于管口?，F(xiàn)將小球釋放，一段時(shí)間后，小物塊落地靜止不動(dòng)，小球繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，通過管口的轉(zhuǎn)向裝置后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球在轉(zhuǎn)向過程中速率不變。(重力加速度為g)(1)求小物塊下落過程中的加速度大小；(2)求小球從管口拋出時(shí)的速度大??；(3)試證明小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移總小于2L2k1g,（2）v0【答案】（1）a2k12k22k1gL【解析】（1）設(shè)細(xì)線中張力為L(zhǎng)對(duì)于Mm分別隔離，由牛頓第二定律得MgTMaTmgsinma又有Mkm解得a2k12k1g（2）設(shè)M落地時(shí)速度為v，m從管口射出時(shí)速度為v0，M落地后m的加速度為a0對(duì)m有mgsinma0k1gL2v22aLsinv2v22aL(1sin)00解得vk20(k2)（3）m射出后，作