1、14.1 勾股定理第14章 勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)上（HS） 教學(xué)課件1.直角三角形三邊的關(guān)系情境引入1.掌握勾股定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，理解定理的一般探究方法（重點(diǎn)）2.通過(guò)利用方格紙計(jì)算面積的方法探索勾股定理，經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，發(fā)展數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo) 某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米,請(qǐng)問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火? 導(dǎo)入新課問題情境（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是 平方厘米；（2）正方形Q的面積是 平方厘米；（3）正方形R的

2、面積是 平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2直角三角形三邊的關(guān)系講授新課上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？觀察正方形瓷磚鋪成的地面. 這說(shuō)明在等腰直角三角形ABC中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 那么,在一般的直角三角形中,兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?想一想P的面積(單位長(zhǎng)度)Q的面積(單位長(zhǎng)度)R的面積(單位長(zhǎng)度)圖2圖3P、Q、R面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系QPRQPRABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示1平方厘米

3、)試一試BC2+AC2=AB2QPRQPR把R看作是四個(gè)直角三角形的面積+小正方形面積.QPRQPR把R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積.S正方形R 分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.13512ABC做一做 由前面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有 a2+b2=c2勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語(yǔ)言：在RtABC中 ，C=90，a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc歸 納勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系

4、.溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法 “趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因?yàn)椋@個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.abcS大正方形c2S小正方形(b-a)2S大正方形4S三角形S小正方形趙爽弦圖證明：b-aaaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來(lái)，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理大正方形的面積可以表示為 ;也可以表示為 .(a+b)2c2 +4ab/2 (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 用四個(gè)全等的直角三角形，

5、還可以拼成如圖所示的圖形，你能否根據(jù)這一圖形，證明勾股定理. 做一做求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長(zhǎng)度（口答）： 已知直角三角形兩邊，求第三邊.練一練當(dāng)堂練習(xí)1.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積 為 .15 cm17 cm64 cm2.判斷題 ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13 ( ) ABC的a=6,b=8,則c=10 ( ) 3.填空題 在ABC中, C=90,AC=6,CB=8,則ABC面積為_,斜邊為上的高為_.244.8ABCD4.一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖),這時(shí)梯腳與墻的距離是多少? ABC解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得

6、：BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42 =0.49，所以BC=0.7.5.飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上方4 km處，過(guò)了15 s，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5 km.這一過(guò)程中飛機(jī)飛過(guò)的距離是多少千米？4554CBA解：在RtABC中，答：飛機(jī)飛過(guò)的距離是3km.6.如圖,一根旗桿在離地面9 m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處.旗桿原來(lái)有多高?12 m9 m解：設(shè)旗桿頂部到折斷處的距離為x m，根據(jù)勾股定理，得x=15, 15+9=24(m).答：旗桿原來(lái)高24 m.認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為 c ，那么a2+b2=c2 課堂小結(jié)

7、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算14.1 勾股定理第14章 勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)上（HS） 教學(xué)課件2.直角三角形的判定情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直角三角形的判定條件（重點(diǎn)）2.能夠運(yùn)用勾股數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題（難點(diǎn)）(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道這是什么道理嗎? 據(jù)說(shuō),古埃及人曾用下面的方法畫直角： 他們用13個(gè)等距離的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉

8、緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形,其直角在第4個(gè)結(jié)處.問題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角?導(dǎo)入新課講授新課直角三角形的判定一問題：試畫出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什么樣的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10.試一試 可以發(fā)現(xiàn)，按（1）、（3）所畫的三角形都是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；按（2）所畫的三角形不是直角三角形.這三組數(shù)都滿足 a2+b2=c2嗎？ 在這三組數(shù)據(jù)中，（1）、（3）兩組數(shù)據(jù)恰好都滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，

9、那么這個(gè) 三角形是直角三角形，且邊c所對(duì)的角為直角. 對(duì)于任意一個(gè)三角形，若三邊長(zhǎng)滿足 a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形嗎？BC 例1 已知：如圖，在ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a+b=c，求證：C=90.ABCA證明：如圖，作ABC,使C=90 AC=b，BC=a， 則AB=a+b=c， 即AB=c. 在ABC和ABC中， BC=a=BC， AC=b=AC， AB=c=AB， ABCABC. C=C=90.典例精析 分析：根據(jù)勾股定理的逆定理, 判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形, 只要看兩條較短邊長(zhǎng)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊長(zhǎng)的平方. 例2 判斷由線段a，b，c組成的三角形

10、是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最長(zhǎng)邊為25， a2+c2=72+242 =49+576 =625，b2=252 =625， a2+c2=b2. 以7, 25, 24為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形. (2)最長(zhǎng)邊為13， b2+c2=112+92 =121+81 =202，a2=132 =169， b2+c2a2. 以13, 11, 9為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形.例 3 一個(gè)零件的形狀如圖1所示,按規(guī)定這個(gè)零件中A和DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖2所示,你說(shuō)這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312D

11、ABC圖1圖2在BCD中， 所以BCD 是直角三角形，DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.解：在ABD中， 所以ABD 是直角三角形，A是直角. 例4 已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1（n為大于1的正整數(shù)）.試問ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說(shuō)明理由解：AB+BC=(n-1)+(2n) =n4 -2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n+1) =AC，ABC直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.先確定AB、BC、AC、的大小 能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n-1,2n,n+1(n為大于1的正

12、整數(shù))等都是勾股數(shù).勾股數(shù)二例5 下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.當(dāng)堂練習(xí)1.如果線段a,b,c能組成直角三角形,則它們的比可以是( ) A.347 B.51213 C.124 D.135將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形BA4.如果三條線段a，b，c滿足a2=c2-b2,這三條線段組成的三角形是直

13、角三角形嗎?為什么? 解：是直角三角形，因?yàn)閍2+b2=c2,滿足勾股定理的逆定理.3.以ABC的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形, 依次得到的面積是25, 144 , 169, 則這個(gè)三角形是_三角形.直角5.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？ 與你的同伴交流.412243解:由題意可知ABE，DEF，F(xiàn)CB均為直角三角形. 由勾股定理，知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25， BE2+EF2=BF2. BEF是直角三角形.一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b

14、2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.課堂小結(jié)勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)14.1 勾股定理第14章 勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)上（HS） 教學(xué)課件3.反證法情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法的證明步驟，體會(huì)反證法證明問題的思想，并能夠運(yùn)用反證法來(lái)證明一些問題.(重點(diǎn))2.理解并體會(huì)反證法的思想內(nèi)涵.（難點(diǎn)）3.通過(guò)反證法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)辯證唯物主義觀念.導(dǎo)入新課 如圖，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（abc）有關(guān)系a2 +b2 =c2時(shí)，這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？cabACB 解析：由a2 +b2 c2 ，根據(jù)勾股定理的逆定理可知C=90，這個(gè)三角

15、形一定是直角三角形.復(fù)習(xí)引入講授新課反證法 若將上面的條件改為“在ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（abc）,a2 +b2 c2”，請(qǐng)問這個(gè)三角形是否一定不是直角三角形呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.cabACB 探究： （1）假設(shè)它是一個(gè)直角三角形;（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 c2，與已知條件a2 +b2 c2矛盾；（3）因此假設(shè)不成立，即它不是一個(gè)直角三角形.問題探究 這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的;(2)然后通過(guò)邏輯推理，得出與基本事實(shí)、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)從而說(shuō)明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確。探究發(fā)現(xiàn)像這樣的證明方法叫“

16、反證法”.例1 寫出下列各結(jié)論的反面：（1）ab； （2）a0；（3）b是正數(shù)；（4）ab.a60,B60,C60三角形的內(nèi)角和為180ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60點(diǎn)撥：至少的反面是沒有！A+B+C60+60+60=1801.試說(shuō)出下列命題的反面：（1）a是實(shí)數(shù); （2)a大于2;（3）a小于2; （4）至少有2個(gè); （5）最多有一個(gè); （6）兩條直線平行;2.用反證法證明“若a2 b2,則a b”的第一步是 .3.用反證法證明“如果一個(gè)三角形沒有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是等腰三角形”的第一步 .a不是實(shí)數(shù)a小于或等于a大于或等于沒有兩個(gè)一個(gè)也沒有兩直線相交假設(shè)a=b假設(shè)這個(gè)三角

17、形是等腰三角形當(dāng)堂練習(xí)4.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（ ） A.有兩個(gè)內(nèi)角是直角 B.有三個(gè)內(nèi)角是直角 C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D.沒有一個(gè)內(nèi)角是直角5.否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為（ ） A.a，b，c都是奇數(shù) B. a，b，c都是偶數(shù) C. a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D. a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)CD6.已知：a是整數(shù)，2能整除a2. 求證：2能整除a. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2不能整除a”,因?yàn)閍是整數(shù)，故a是奇數(shù). 不妨設(shè)a=2n+1(n是整數(shù)), a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+

18、1, a2是奇數(shù)，則2不能整除a2 ，這與已知矛盾. 假設(shè)不成立，故2能整除a.原詞語(yǔ) 否定詞 原詞語(yǔ) 否定詞 等于任意的是 至少有一個(gè) 都是 至多有一個(gè) 大于 至少有n個(gè) 小于 至多有n個(gè) 對(duì)所有x成立對(duì)任何x不成立 7.準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見的關(guān)鍵詞的否定形式. 不是不都是不大于 不小于一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n-1)個(gè)至少有（n+1)個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立不等于某個(gè)反證法概念課堂小結(jié)反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立正確的推理,得出矛盾肯定待定命題的結(jié)論.證明步驟14.2 勾股定理的應(yīng)用第14章 勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)

19、數(shù)學(xué)上（HS） 教學(xué)課件情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(重點(diǎn))2.經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過(guò)程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用條件.（難點(diǎn)） 如圖所示，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)導(dǎo)入新課問題情境ABC分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬動(dòng)，如果將這半個(gè)側(cè)面展開，得到長(zhǎng)方形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是這一展開圖長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC之長(zhǎng).ABCACBD解：如圖，在RtABC中，BC=底面周長(zhǎng)的 一半=10c

20、m.由勾股定理，可得答:爬行的最短路程約為10.77cm. 把幾何體適當(dāng)展開成平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”性質(zhì)來(lái)解決問題. 例1 如果圓柱換成如圖的棱長(zhǎng)為10cm的正方體盒子，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精確到0.01cm)講授新課勾股定理的應(yīng)用一ABAB101010BCA解：最短路程即為長(zhǎng)方形的對(duì)角線AB,答：爬行的最短路程約是22.36cm, 例2 如果盒子換成如圖長(zhǎng)為3cm，寬為2cm，高為1cm的長(zhǎng)方體，螞蟻沿著表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ABCDB1C1D1A1分析：螞蟻由A爬到C1過(guò)程中較短的路線有多少種情況？(1)經(jīng)過(guò)前面和上底面;(2)經(jīng)過(guò)前面和右面;(3)經(jīng)過(guò)左面和上底面.ABCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1321ABCB1C1A1321ADD1A1B1C1 (1)當(dāng)螞蟻經(jīng)過(guò)前面和上底面時(shí)，如圖，最短路程為解:AAB4.24（cm）.BCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1(2)當(dāng)螞