1、數(shù)學(xué)物理方法建模 物理1002班20100922042問題：將一只四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，問是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地。椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？在下列假設(shè)條件下，回答是肯定的。模型假設(shè)1 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 數(shù)學(xué)建模 12 地面相對(duì)平坦，椅子的腿是足夠長的，椅子在任意位置至少有三只腳同時(shí)著地；3 四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形；4 以椅子的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線的初始位置為坐標(biāo)軸，椅子繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，椅子位置用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示。xBADCODC B A 模型構(gòu)建由假設(shè)1由假設(shè)2記 A,C 兩腳與地面距離之和為記 B,D 兩腳

2、與地面距離之和為是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意現(xiàn)不妨設(shè)數(shù)學(xué)問題已知： 是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意 且. 證明：存在 ，使模型求解 將椅子旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，對(duì)角線AC和BD互換。所以令 ,則 為連續(xù)函數(shù),且據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在 ,使 即 .因?yàn)?, 所以評(píng)注和思考考察四腳呈長方形的椅子建模的關(guān)鍵是 和 的確定問題(商人們?cè)鯓影踩^河)： 三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨. 但是如何乘船渡河由商人決定，問商人應(yīng)如何安排才能安全渡河。河小船(至多2人) 數(shù)學(xué)建模 2問題分析 這是一類智力游戲問題，可經(jīng)過一番邏輯推理

3、求解。當(dāng)然也可視為一個(gè)多步?jīng)Q策問題，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要對(duì)船上的人員作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多）經(jīng)有限步使全體人員過河 由于該問題是虛擬的，已經(jīng)理想化了，所以不必再作假設(shè)。模型構(gòu)建 記 第k次渡河前此岸的商人數(shù)為 ，隨從數(shù)為 ，而 為過程中的狀態(tài)。 安全渡河條件下的狀態(tài)稱為允許狀態(tài)，全體允許狀態(tài)構(gòu)成的集合記為 記 第k次渡船上的商人數(shù)為 ，隨從數(shù)為 ，而 為過程中的決策。多步?jīng)Q策問題模型： 安全渡河條件下的決策稱為允許決策，全體允許決策構(gòu)成的集合記為 因?yàn)椋?為奇數(shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸， 為偶數(shù)時(shí)船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移律為 求 使 并按轉(zhuǎn)移律由

4、到達(dá) 模型求解 窮舉法從通過且使得得到例如可能的通過且得到如果則還原，故如果則如果也有故且 窮舉法適宜編程上機(jī)運(yùn)算 圖解法狀態(tài)s=(x,y)為16個(gè)格點(diǎn)允許決策為移動(dòng)1或2格;k為奇數(shù)時(shí),向左、下移;k為偶數(shù)時(shí),向右、上移.d1, ，d11給出安全渡河方案允許狀態(tài)為10個(gè)點(diǎn)xy3322110s1sn+1d1d11評(píng)注和思考考慮4名商人各帶一隨從的情況 十五世紀(jì)中期，哥白尼提出了震驚世界的日心說。丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué)家第谷花了二十多年時(shí)間,觀察紀(jì)錄下了當(dāng) 時(shí)已發(fā)現(xiàn)的五大行星的運(yùn)動(dòng)情況。第谷的學(xué)生和助手開普勒對(duì)這些資料進(jìn)行了九年時(shí)間的分析計(jì)算后得出著名的Kepler三定律。牛頓根據(jù)開普勒三定律和牛

5、頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即 萬有引力定律例（萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) ） 數(shù)學(xué)建模 3開普勒三大定律1.行星軌道是一個(gè)橢圓，太陽位于此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 2.行星在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積不變。3.行星運(yùn)行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（絕對(duì)常數(shù)）行星r太陽這其中必定是某一力學(xué)規(guī)律的反映，哼哼，我 要找出它。如圖，有橢圓方程 :矢徑所掃過的面積A 的微分為:由開普勒第二定律:常數(shù)立即得出:即:簡單推導(dǎo)如下：橢圓面積由此得出常數(shù)我們還需算出行星的加速度，為此需要建立兩種不同的坐標(biāo)架。第一個(gè)是固定的，以太陽為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿長軸方向的單位向量記為i,沿短軸方向的單位向量記為j，于是：進(jìn)而有加速度以行星為坐標(biāo)原點(diǎn)建立活動(dòng)架標(biāo)，其兩個(gè)正交的單位向量分別