1、第3章 流體靜力學3.1 作用在流體上的力3.2 流體靜力學的基本方程3.3 重力場中的靜止液體3.4 非慣性坐標系中的靜止液體 流體靜力學的學習是為流體動力學打基礎 流體靜力學分析方法本身具有廣泛的工程應用本章任務：研究流體處于靜止或相對靜止(即流體對于選定的坐標系無相對運動)狀態(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布規(guī)律及其應用。本章內(nèi)容3.1 作用在流體上的力PZyxAVFn3.1.1質(zhì)量力（體積力、徹體力、非接觸力）例如重力、慣性力、電場力、磁場力等。可用單位質(zhì)量流體受到的質(zhì)量力 來表征(大小,方向)： 總質(zhì)量力：,是空間位置和時間的函數(shù)微元的體積,微元體平均密度單位：牛頓/千克, N/Kg注意：對體積

2、積分！作用在流體上的外力有表面力和質(zhì)量力兩種 3.1.2 表面力（接觸力、近程力、面積力）由相鄰流體質(zhì)點或其他物體直接作用于流體上微團表面上的力。例如：壓力（壓強）、切應力單位面積受到的表面力：PZyxAVFn作用在流體表面A上的總表面力：(N/m2, Pa)注意：對面積積分！和體積力一樣，單位面積上的表面力一般情況下也是空間位置和時間的函數(shù)。：也稱為流體微元面上的應力 的方向一般情況下與微元面法向 不重合，可分解為與表面垂直（正應力）和平行（切應力）的兩個分量。3.1.3靜止流場中的表面力（流體靜壓強的特點）靜止流體中，由于流體質(zhì)點之間沒有相對運動，故不存在平行于表面的切應力，此時表面力就是

3、正應力（或法向應力），即：流體靜壓強特點一：靜壓強引起的作用力總是垂直于作用面，且指向作用面的內(nèi)法線方向。證明：反證法,剪切則變形（不靜止）； 向外，則拉伸（流體不可拉伸）abpdApdAX軸方向：又因為：所以有：同理有：則有：概括：靜止流場中的法向應力值是各向同性的，是空間和時間的函數(shù),數(shù)值上即是該點的流體靜壓強。表面總靜壓力：證明：如圖，利用力平衡方程可得：pypzzYxPxPn(2) 特點二：流體內(nèi)部一點的靜壓強在各方向相等，即靜壓強的大小與作用面的方向無關(guān)，是一個標量。()3.1.4 壓力的表示方法及單位絕對壓強、相對壓強(表壓)和真空度之間的關(guān)系單位名稱單位符號 單位換算關(guān)系應力單位

4、法 帕 Pa1Pa=1N/m2液柱高度法 米水柱 mH2O1mH2O=9.8103Pa液柱高度法毫米汞柱 mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa工程大氣壓法1公斤力壓強 Kg/cm21Kg/cm2=9.8 104N/m2壓強度量：hh玻璃管插在水中玻璃管插在水銀中問題：在(a)、(b)兩種情況下，問玻璃管內(nèi)自由液面液體側(cè)的相對壓強是大于零還是小于零？3.2 流體靜力學的基本方程3.2.1流體靜力學的基本方程靜止流體團（體積V、表面積A）所受合外力0：(合外力矩為零時，合外力是否為零？合外力為零時，合外力矩是否為零？)Gauss定理：慣性坐標系中，物體靜止的必要條件：合外力和合外

5、力矩均為0流體平衡微分方程，是流體靜力學的基本方程式，1755年歐拉（Euler）推出。注意“靜止”與“平衡”的關(guān)系流體平衡微分方程也可由“靜止微元體”受力平衡得出，與前面的推導其實是一回事：類似地：1). 流體平衡微分方程 表明，靜止流體內(nèi)的壓強梯度僅與體積力 有關(guān)。該方程是使靜止流體保持靜止（平衡）時質(zhì)量力和表 面力應滿足的條件。2). 前面推導只用到了靜止流體 的條件。習題3-1，若只 用到 條件，也能導出“流體平衡微分方程”。 3). 但“物體靜止的必要條件”為何同時要 ？ 請思考，并歡迎討論！3.2.2 靜止流場的基本特性1) 流體靜止時質(zhì)量力必須滿足的條件是：2) 不可壓縮靜止流場

6、中的質(zhì)量力有勢:質(zhì)量力勢函數(shù)(標量梯度的旋度為0）可見此時質(zhì)量力 有勢?？扇?即質(zhì)量力的勢，反映單位質(zhì)量流體具有的勢能。3) 有勢質(zhì)量力場中靜止流體的分界面是等壓面。等壓面：流體中壓強相等的點組成的面。等壓面的方程：等壓面油水密度分別為 和 的兩種靜止流體混放，如果具有明確的分界面，則分界面既是等壓面又是等勢面。證明如下：等壓面的方程也可寫成： 可見靜止流體中質(zhì)量力 與等壓面處處垂直。設等壓面上任意兩點之間矢量為 ，則兩點間質(zhì)量力勢差為：可見靜止流體中等壓面也是等勢面。4) 正壓流場中等壓面與等密度面重合如果流體的密度僅是壓力的函數(shù)，這種流場稱為正壓流場。分界面上任意一點都處于平衡狀態(tài)A B可

7、見分界面也是等壓面。類似可說明分界面也是等勢面。- 例如理想氣體的等溫流動：因為此時壓力與密度一一對應，所以此時等壓面和等密度面重合。還可證明，靜止的正壓流體中質(zhì)量力是有勢的。【例題31】即：由于：得:要使上式對流場中任意點（x,y,z）恒成立，須各項系數(shù)為零，即：解方程組，得 的取值是：3.3 重力場中的靜止液體3.3.1 重力場靜止流體的壓力分布1) 重力場中靜止流體的壓力微分方程通常取z軸為垂直向上為正，與重力加速度的方向相反，則：因此重力場中靜止流體的壓力微分方程為：- 適用于重力場中靜止的任何流體（氣體、液體）2) 重力場中靜止液體的壓力分布特點ppaZyh=常數(shù)， （大氣壓），積分

8、得：I. 等壓面為水平面。II. 連通管路/容器中同一種靜止液體，同一水平 位置的壓力相同。(U形管測壓原理，馬上講)III. 不同流體分界面既是等壓面又是等勢面(上節(jié))3.3.2 U形管測壓原理 （液柱式測壓計工作原理）原理：連通管路/容器中，在同一種靜止液體內(nèi)，同一水平位置的壓力相同。大氣壓力計原理水銀大氣壓pah單管壓力計h1Mh21pa2A12U型管傾斜管微壓計平面葉柵試驗臺1、U型液壓計 pM=2gh2- 1gh1測點壓強大于大氣壓若12，即被測介質(zhì)為氣體，U型管內(nèi)工作介質(zhì)為液體時，可以不及氣體介質(zhì)自重引起的壓強。那么： pM=2gh2h1Mh21pa2A12U型管pM 測點壓強小于

9、大氣壓 pMg=-2gh2- 1gh1 若12：pMg=-2gh2h1Mh21pa2A12U型管pM關(guān)鍵：找到正確的等壓面；自一側(cè)開始，每次在同種流體里利用流體靜力學基本關(guān)系式，然后根據(jù)等壓面向另一側(cè)推進。 U型管串聯(lián)【例題32】復式測壓計（P46）解： 找等壓面，自一側(cè)開始，每次在同種流體里利用流體靜力學基本關(guān)系式，然后根據(jù)等壓面向另一側(cè)推進。這里從左側(cè)開始.大氣壓，所以容器中液面壓力（表壓）為：0p1h1h2p2aLAss02、傾斜式微壓計 可見：減小，K增加，L加長，讀數(shù)誤差下降。測壓杯與傾斜管橫截面積分別為A和a。測量時，p1接到待測壓力上，液面下降h1，右側(cè)上升h2, 則有：討論：判

10、斷1-1，2-2，3-3，4-4四個水平面，哪個是等壓面(重力場下）？重力場中同種液體連通的靜止液體中美國海狼級：最大潛深1200米 俄羅斯鯊魚級：最大600米 俄羅斯奧斯卡級：潛深500米 國內(nèi)潛艇的下潛深度國外潛艇的下潛深度3.3.3 靜止液體中固體壁面的壓力明級：300米 基洛級:最大300米，工作深度240米 “R”級常規(guī)動力潛艇（033型）:300米 “蛟龍?zhí)枴钡南聺撋疃?062米，但關(guān)鍵的承壓設備都是進口潛水深度越大，水壓越大，潛艇殼體的抗壓要求越高！潛艇殼體抗壓校核修正利用靜力學計算潛艇殼體受到的合力記平板型心的豎直坐標為 (y=0為水面)，1） 豎直平壁的受力靜止流場中表面靜壓

11、力：()型心則平板的面上的平均壓強（表壓）為：總的表壓壓力如果已知平板型心至頂部的垂直距離 (即 )，則豎直平板所受作用力為水平方向，大小為：型心上的壓強靜止流體中平面受到的流體作用力等于平面質(zhì)心上的壓強與平板面積的乘積。 這一結(jié)論對于非豎直平板也適用。 力的作用方向： 與平板和靜止流體的相對位置有關(guān)，流體的作用力總是擠壓被作用面。2） 水平壁面的受力yF=ApdA=p0A+ghA=p0A+gV作用方向: 總是擠壓被作用面!3） 彎曲或傾斜壁面的受力大?。河嬎愫唵危蚯闆r而異、不必死記、不可照搬。方向：總是擠壓被作用面!推演說明來歷！哪是上游、哪是下游？關(guān)于壓力水頭，后面介紹伯努利方程時還會詳

12、談4） 合力的作用點（壓力中心）依據(jù)：物體受到的外合力對某點的力矩等于作用在該物體上的分力對同一點的力矩之和 力矩合成定理求：對Z方向單位寬度大壩的作用力？解：=12.25 (MN/m)=-5.94 (MN/m)(1) 流體靜壓對大壩的作用力 更簡便的計算方法:(2) 流體靜力對大壩的力矩 (為計算合力作用點服務，力矩中心選擇？)對坐標原點處z軸取力矩，注意正負號：(3) 合力大小及作用位置 合力與x軸正向夾角古人的認識：春秋管子指出堤坎的斷面應修成“大其下，小其上”的形狀。注意到上例中，水平方向力Fx的作用點yc=16.67m,即位于水面已下h1+h2-16.67=33.33米，低于x方向投

13、影的幾何中心位置hc=(h1+h2)/2.流體靜力學的計算，在中學物理、大學物理、高數(shù)微積分和理論力學等課程中學習過。沒有什么高深的理論，也沒有什么技巧。關(guān)鍵：1) 壓強大?。号了箍?Pascal)定理2) 力的方向：總是擠壓被作用面!3) 力的計算：矢量函數(shù)曲面積分可用大學物理學過的轉(zhuǎn)動慣量“平行軸定理”解釋。3.3.4 靜止液體中物體的浮力與浮力矩物體所受的浮力阿基米德定律完全浸沒或部分浸沒在液體中的物體，要受到液體對它表面的作用力，其合力稱為浮力。完全浸沒物體的浮力物體所受浮力：由Gauss公式得：ZyFP0hdAA,VnPA: 物體與液體接觸表面積；P0: 大氣壓強；：液體密度； :

14、A的單位外法矢量；z: 豎直向上坐標軸，始于液面。計算浮力、浮力矩是水閘和潛艇設計中的重要工作。部分浸沒物體的浮力FP0ZyhdAA1,V1nPA2,V2在分界面處，因為Z=0沿分界面為A0（Z=0）分成上下兩部分，則物體所受浮力：物體所受浮力它所排開液體的重量浸沒物體的浮力矩以坐標原點為參考點，矢徑 處微元面 所受表面力的力矩為 ，因此靜止液體中浸沒物體所受表面力的合力矩是：根據(jù)Gauss公式(附錄A18式)可知：所以完全浸沒物體的浮力矩為：1.這一公式也適用于部份浸沒，此時V和A是浸沒部份的體積/面積2.浮力向上（z軸正向），浮力矩在x-y平面內(nèi)，兩矢量互相垂直。當A為封閉表面時（完全浸沒

15、）：浮力中心浮力矩在x-y平面（水平面）內(nèi)。設浮力中心位于 ,FP0ZyhdAA1,V1nPA2,V2由于：解得：可見浮力中心與重力中心在一條垂直線上.課本P52進一步得出：聲稱浮力中心與重心重合。這一進一步的結(jié)論是錯誤的，毫無根據(jù)！3.4 非慣性坐標系中的靜止液體zax液體的相對平衡因為處于相對平衡的流體中切應力0，因此仍然有：dp=(fxdx+fydy+fzdz)同樣地：任意兩點間的壓力差為：與絕對靜止不同之處：1). 坐標系是運動的；2). 質(zhì)量力中須包含慣性力,即：3.4.1 非慣性坐標系中的質(zhì)量力，或展開：如仍取重力為z軸的負方向，則axzAgap0流體受到的質(zhì)量力為： fx=-a

16、fy=0 fz=-g在等壓面上： dp=fxdx+fzdz=-adx-gdz=0所以有: ax+gz=const.可見等壓面為一簇斜率為-a/g的平面。3.4.2 等加速度水平直線運動 自由液面方程：ax +gzs=0 壓強分布：式中h:液面下的淹沒深度，可見p也正比于淹深h。Aaxzhzsp0dp=(-adx-gdz),積分得：（2）壓強分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面斜面 與絕對靜止情況的比較axzhzszhggaf za問題：充滿了液體的密閉容器中液體壓強分布與等壓面？問題：容器做等加速度鉛垂運動時液體壓強分布與等壓面？a 充滿了液體的密封容器通氣孔例 一開口容器固定在以等加速度a向右運動的汽車上，已知容器的高H1=1.2m,長L=3m, 容器內(nèi)水深H=1m.求: (1)容器內(nèi)水不溢出的最大加速度a？（2）容器左壁面的壓力分布？ axzALH1H質(zhì)量力等壓面方程等壓面為一簇拋物面3.4.3 等角速度旋轉(zhuǎn)下流體的相對平衡令dp=(fxdx+fydy+fzdz)0，積得:自由液面方程壓強分布與z同r處的液面坐標液面下的淹沒深度xzH02RhH 測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后液體體積保持不變例35： 一繞自己中心軸線以等角速度旋轉(zhuǎn)的容器內(nèi)充滿了水。（1）容器頂蓋的中心測壓管液面比頂蓋液面高h,求容器內(nèi)液體壓力分布表達式（2）容器頂蓋所受總的軸