1、第3節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.梳理不等式的性質(zhì),理解不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì).2.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.3.經(jīng)歷從實際背景中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義,能借助一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式相應(yīng)的函數(shù)、方程的聯(lián)系.必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基知識梳理1.兩個實數(shù)大小比較的基本事實=b .性質(zhì)2(傳遞

2、性)ab,bc .bca+cb+cacbcacb+dacbd0anbn不等式的性質(zhì)中,含有,的作用是什么?提示:不等式的性質(zhì)中,含有的只能用來證明不等式而不能解不等式,而含有的只能用來解不等式.釋疑3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表所示ax2+bx+c0(a0)的解集x|xx2ax2+bx+c0)的解集形如ax2+bx+c0的不等式一定是一元二次不等式嗎?提示:當(dāng)a0時,ax2+bx+c0是一元二次不等式,當(dāng)a=0時,不是一元二次不等式.釋疑重要結(jié)論1.涉及實數(shù)的倒數(shù)有關(guān)的結(jié)論(2)已知a,b均為正數(shù),s,t均為正整數(shù),則as+t+bs+tasbt+atbs.對點自測A

3、1.(必修第一冊P53練習(xí)T1改編)不等式-x2-5x+60的解集為( )A.x|-6x1 B.x|2x3C.x|x3或x2D.x|x1或x-6解析:不等式-x2-5x+60可化為x2+5x-60,即(x+6)(x-1)0,解得-6x1,所以不等式的解集為x|-6x1.故選A.C2.(必修第一冊P42練習(xí)T2改編)下列四個命題中為真命題的是( )解析:當(dāng)c=0時,A不成立;21,3-1,而2-3|b|知a0,所以a2b2,C成立.故選C.DB解析:由題意,函數(shù)f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x)=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+aa-3,又由xR,f(f(x)0恒成立,即f(t)

4、0對任意ta-3恒成立.當(dāng)a-3-2,即a1時,f(t)min=f(-2)=a-30,解得a3,此時無解;當(dāng)a-3-2,即a1時,f(t)min=f(a-3)=a2-a-20,解得a-1(舍去)或a2.綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為2,+).故選B.5.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是臺.解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,所以x2+50 x-30 0000,得x-200(舍去)或x150,又因為0 x24

5、0,xN,所以150 xxzB.zxyC.yzxD.zyx3.已知-1x4,2y3,則x-2y的取值范圍是 ,3x+4y的取值范圍是.解析:因為-1x4,2y3,所以-6-2y-4,所以-7x-2y0.由-1x4,2y3,得-33x12,84y12,所以53x+4yb,cda+cb+d不是可逆的,因此容易出現(xiàn)錯解.考點二一元二次不等式的解法及其應(yīng)用角度一 不含參數(shù)的一元二次不等式解題策略角度二 一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系解題策略1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點,也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點值.2.給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸

6、的交點,可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).角度二 含參數(shù)的一元二次不等式例1-3 解關(guān)于x的不等式:ax2+(2-4a)x-80.解題策略1.一般地,在解含參數(shù)的一元二次型不等式時,若所給不等式能夠直接通過因式分解求出方程的根,則需要從如下兩個方面進(jìn)行考慮:(1)關(guān)于不等式類型的討論:二次項系數(shù)a0,ax2,x1=x2,x13,解得x3或0 x1;當(dāng)x3,解得-3xf(1)的解集是(-3,1)(3,+).故選A.(3)(多選題)對于給定的實數(shù)a,關(guān)于實數(shù)x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)0的解集可能為()A.RB.(-1,a)C.(a,-1)D.(-,-1)(a,+)考點三 一元

7、二次不等式恒成立問題角度一一元二次不等式在R上的恒成立問題例2-1解題策略一元二次不等式恒成立的條件角度二 一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法例2-2 若對任意的x-1,2,都有x2-2x+a0(a為常數(shù)),則a的取值范圍是()A.(-,-3B.(-,0C.1,+)D.(-,1解題策略一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)最值轉(zhuǎn)化法:若f(x)0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,即已知函數(shù)f(x)的值域為m,n,則f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.角度

8、三一元二次不等式的有解問題例2-3 若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-2)B.(-,-2C.(-6,+)D.(-,-6)解題策略一元二次不等式在給定區(qū)間上的有解問題,常用分離參數(shù)的方法,通過分離參數(shù)后利用:af(x)在區(qū)間m,n上有解,則af(x)min,af(x)在區(qū)間m,n上有解,則af(x)max.(對于af(x),af(x)可類似處理)針對訓(xùn)練 (1)若存在實數(shù)x2,4,使x2-2x+5-mx2-2x+5,設(shè)f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x2,4,當(dāng)x=2時,f(x)min=5,x2,4,使x2-2x+5-mf(x)min,所以m5.故選B.答案:(1)B(2)若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2ax+10的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是.答案:(2)(0,1)(3)若對于任意的x0,2,不等式x2-2ax-10恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.備選例題例1 已知a-1,1時,不等式x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,則x的取值范圍為()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)例2例3解析:因為1是一