1、函數(shù)的周期性與對稱性 對稱性的幾個(gè)結(jié)論若f（x+a）f（bx），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x 對稱，特別地，若f（a+x）f（ax），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線xa對稱；若有f（a+x）f（bx），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）中心對稱，特別地，若f（a+x）f（ax），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱.周期性的幾個(gè)結(jié)論若f（x+a）f（x+b）（ab），則f（x）是周期函數(shù)，ba是它的一個(gè)周期；若f（x+a）f（x）（a0），則f（x）是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期；若f（x+a） （a0，且f（x）0），則f（x）是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期.對稱軸對稱中心周期xoy

2、：若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，則 為周期函數(shù)，且命題1：若函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱，則 為周期函數(shù)，且命題2：若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 及點(diǎn) 對稱，則 為周期函數(shù)，且命題3（ 這里的周期不一定是最小正周期 ）已知函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足 ， 當(dāng) 時(shí)， ，則 。練習(xí)已知 是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對稱，當(dāng) 時(shí)， ，則 時(shí) = 。 (A) (B) (C) (D)D【例1】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中:若f（x2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x2對稱；若f（x+2）f（x2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)

3、于直線x2對稱；函數(shù)yf（x2）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對稱.其中正確的命題序號是 .【解析】是錯(cuò)誤的，由于f（x2）是偶函數(shù)得f（x2）f（x2），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x2對稱；是錯(cuò)誤的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），進(jìn)而得f（x+8）f（x），所以f（x）是周期為8的周期函數(shù)是錯(cuò)誤的，在第一個(gè)函數(shù)中，用x代x，y不變，即可得第二個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；是正確的，令x2t，則2xt，函數(shù)yf（t)與yf（t）的圖象關(guān)于直線t0對稱，即函數(shù)yf（x2）與yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對稱.【例2】 (2005年福建) f（x）是定義在R上的以

4、3為周期的奇函數(shù)，且f（2）0，則方程f（x）0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( )A2 B3 C4 D5【解析】f（x）為奇函數(shù)，f（0）0，又函數(shù)f（x）以3為周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解有1，2，3， 4，5.故選D.【例3】 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤xR且x1，f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f（x）2x2x+1，則當(dāng)x1時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是 （ ）A ，+） B（1， C ，+） D（1， 【解析】 由f（x+1）為奇函數(shù)得f（x+1）f（x+1），f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對稱，又由已

5、知可畫出f（x）在（，1）上的圖象，再根據(jù)中心對稱畫出f（x）在（1，+）上的圖象，由圖象易知，f（x）在 ，+）上單調(diào)遞減，故應(yīng)選C.【例4】 (2005年廣東)對函數(shù)f（x）， 當(dāng)x（，）時(shí)，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在閉區(qū)間0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）試判斷函數(shù)yf（x）的奇偶性；（2）試求方程f（x）0在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函數(shù)，又由f（2x）f（2+x），得函數(shù)yf（x）的對稱軸為x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函數(shù).故函數(shù)yf（x）是非奇非偶函數(shù)；(2)由f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），從而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)yf（x）在0，2005上有402個(gè)解，在上2005，0有400個(gè)解，所以函數(shù)yf（x）