1、第3節(jié)橢圓知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練橢圓的定義及其應(yīng)用3,4,5橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2,7,1011橢圓的幾何性質(zhì)1,8,912,13直線和橢圓的位置關(guān)系6綜合問題14,15,16,17181.已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為(C)A.13 B.12 C.22 D.223解析:因為a2=4+22=8,所以a=22,所以e=ca=222=22.故選C.2.“2m0,6-m0,m-26-m,所以2m6,且m4.故“2mb0)相交于兩點A,B,線段AB的中點為M(1,1),則橢圓的離心率是(A)A.12 B.22C.32D.34解析:設(shè)A(x1,y1)

2、,B(x2,y2),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,兩邊同時除以x1-x2,得x1+x2a2+y1+y2b2y1-y2x1-x2=0,因為x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-34,代入得2a2+2(-34)b2=0,所以b2a2=34,e=12.故選A.7.設(shè)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若F2AB是面積為43的等邊三角形,則橢圓C的方程為.解析:由題意知

3、,|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由橢圓的定義知|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,聯(lián)立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a,所以SF2AB=12|AB|AF2|sin 60=43,所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23,所以c=3,所以b2=a2-c2=6,所以橢圓C的方程為x29+y26=1.答案:x29+y26=18.(2021浙江臨海高三模擬)已知C,F分別是橢圓:x2a2+y2b2=1的左頂點和左焦點,A,B分別是橢圓的下、上頂點,設(shè)AF和BC交于點D,若CD=2DB,則橢圓的離心率為.解析

4、:設(shè)橢圓的左焦點為F(-c,0),由題意得A(0,-b),B(0,b),C(-a,0),由CD=2DB可得,CB=3DB,則D(-a3,2b3),AF=(-c,b),AD=(-a3,5b3),因為向量AF,AD共線,所以-5bc3+ab3=0,解得e=ca=15.答案:159.橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=3(x+c)與橢圓的一個交點M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率為. 解析:由y=3(x+c)知直線的傾斜角為60,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以F1MF2=90.所以|MF1|=c,|MF2|=3c.又|M

5、F1|+|MF2|=2a,所以c+3c=2a,即e=23+1=3-1.答案:3-110.分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)與橢圓x24+y23=1有相同的離心率且經(jīng)過點(2,-3);(2)已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上,且P到兩焦點的距離分別為5,3,過點P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點.解:(1)由題意,設(shè)所求橢圓的方程為x24+y23=t1或y24+x23=t2(t1,t20),因為橢圓過點(2,-3),所以t1=224+(-3)32=2或t2=(-3)42+223=2512.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y26=1或y2253+x2254=1.(2)由于焦點的位置不確

6、定,所以設(shè)所求的橢圓方程為x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0),由已知條件得2a=5+3,4c2=52-32,解得a=4,c=2,所以b2=12.故橢圓方程為x216+y212=1或y216+x212=1.11.已知圓O:x2+y2=4,從圓上任意一點M向x軸作垂線段MN,N為垂足,則線段MN的中點P的軌跡方程為(A)A.x24+y2=1B.x2+y24=1C.x216+y24=1D.x24+y216=1解析:設(shè)線段MN的中點P(x,y),M(x0,y0),所以x=x0,y=y0+02,解得x0=x,y0=2y,又點M在圓O:x2+y2=4上,則x2+(2y)2=

7、4,即x24+y2=1.故選A.12.已知A,B,C是橢圓:x2a2+y2b2=1(ab0)上不同的三點,且原點O是ABC的重心,若點C的坐標(biāo)為(3a2,b2),直線AB的斜率為-33,則橢圓的離心率為(B)A.13 B.223C.23D.73解析:設(shè)AB的中點為點D,因為原點O是ABC的重心,所以C,O,D三點共線,所以kO D=kO C,由于kOCkAB=-b2a2b3a(-33)=-b2a2ba=13,所以e=223.故選B.13.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(ab0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點P,使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率

8、的取值范圍是(C)A. 12,1)B. 22,32C. 22,1)D. 32,1)解析:從橢圓上長軸端點P向圓引兩條切線PA,PB,則兩切線形成的APB最小.若橢圓C1上存在點P,所作圓C2的兩條切線互相垂直,則只需APB90,即=APO45,所以sin =basin 45=22.又b2=a2-c2,所以a22c2,所以e212,即e22.又0e1,所以22eb0)上一點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,焦距為2c(c0),若F1PF2是直角,則(ABC)A.|OP|=c(O為原點)B.SF1PF2=b2C.F1PF2的內(nèi)切圓半徑r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:RtF1PF2中,O為

9、斜邊F1F2的中點,所以|OP|=12|F1F2|=c,故A正確;設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12(m+n)2-(m2+n2)=2b2,所以SF1PF2=12mn=b2,故B正確;SF1PF2=12(m+n+2c)r=b2,r=2SF1PF2m+n+2c=2b22a+2c=2(a2-c2)2(a+c)=a-c,故C正確;|PF1|=a+c,當(dāng)且僅當(dāng)P為橢圓右頂點,此時P,F1,F2不構(gòu)成三角形,故D錯誤.故選ABC.15.(多選題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,點M(2,1)在橢圓C上,直線l平行于OM且在

10、y軸上的截距為m,直線l與橢圓C交于A,B兩個不同的點.下面結(jié)論正確的有(ABC)A.橢圓C的方程為x28+y22=1B.kOM=12C.-2m0,解得-2m2,C正確,D錯誤.故選ABC.16.(2021浙江杭州高三模擬)如圖,M(1,0),P,Q是橢圓x24+y2=1上的兩點(點Q在第一象限),且直線PM,QM的斜率互為相反數(shù).若|PM|=2|QM|,則直線QM的斜率為.解析:延長PM,交橢圓于點N,由橢圓的對稱性和直線PM,QM的斜率互為相反數(shù)可知|QM|=|MN|,如圖所示.設(shè)直線PM的斜率為k,所以直線PM的方程為y=k(x-1)(k0,設(shè)P(x1,y1),N(x2,y2),根據(jù)根與

11、系數(shù)的關(guān)系,可得y1+y2=-2k1+4k2,因為|PM|QM|=2,所以y1=-2y2,所以y1+y2=-y2=-2k1+4k2,則y2=2k1+4k2,x2=21+4k2+1,把N(21+4k2+1,2k1+4k2)代入橢圓方程中,得(21+4k2+1)2+4(2k1+4k2)2=4,解得k2=512,所以k=-512=-156,所以直線QM的斜率為-k=156.答案:15617.橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點為F,右頂點、上頂點分別為A,B,且|AB|=52|BF|.(1)求橢圓C的離心率;(2)若斜率為2的直線l過點(0,2),且l交橢圓C于P,Q兩點,OPOQ,求直

12、線l的方程及橢圓C的方程.解:(1)由已知|AB|=52|BF|,即a2+b2=52a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以3a2=4c2.所以e=ca=32.(2)由(1)知a2=4b2,所以橢圓C:x24b2+y2b2=1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l的方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1,消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0,=322+1617(b2-4)0,解得b21717,x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.因為OPOQ,所以

13、OPOQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.從而5(16-4b2)17-12817+4=0,解得b=1,滿足b21717.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.綜上可知,直線l的方程為2x-y+2=0,橢圓C的方程為x24+y2=1.18.已知橢圓C的方程為x2a2+y23=1,斜率為k(k0)的直線與C相交于M,N兩點.(1)若G為MN的中點,且kOG=-34k,求橢圓C的方程;(2)在(1)的條件下,若是橢圓C的左頂點,kPMkPN=-14,F是橢圓的左焦點,要使F在以MN為直徑的圓內(nèi),求k的取值范圍.解:(1)設(shè)

14、M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點G(x0,y0),代入橢圓方程得x12a2+y123=1,x22a2+y223=1,-得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)3=0,可得kMN=y1-y2x1-x2=-3a2x1+x2y1+y2=-3a22x02y0=-3a2x0y0=k,因為kOG=-34k=y0 x0,所以-3a2(-4k3)=k,所以a2=4,橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)設(shè)MN方程為y=kx+m,則3x2+4y2=12,y=kx+m,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k(-8km3+4k2)+2m=6m3+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k24m2-123+4k2+km(-8km3+4k2)+m2=3m2-12k23+4k2,kPMkPN=y1x1+2y2x2+2=y1y2(x1+2)(x2+2)=y1y2x1x2+2(x1+