1、第三章 生命年金的精算現(xiàn)值第一節(jié) 生命年金概述生命年金（生存年金）的概念與種類 ：生命年金是指按預(yù)先約定的金額 , 以一定的時間為周期綿延不斷地進(jìn)行一系列的給 付 , 且這些給付必須以原指定的領(lǐng)取人的生存為前提條件 , 一旦原指定的領(lǐng)取人死亡 , 或 預(yù)先約定給付期屆滿時 , 給付即宣告結(jié)束 生命年金在人壽保險、退休金體系、殘疾保險及撫恤保險中均起著重要作用。如在人 壽保險中保險費通常是以生命年金的方式分期繳納的 , 在退休金體系中退休金通常是以生 存年金的方式分期給付的 7/25/20221生命年金的種類離散型與連續(xù)型；期初支付與期末支付；即期與延期； 終身與定期以及變額生命年金與生命年金。

2、精算現(xiàn)值的計算方法 保險金額為 1 個單位的 n 年生存保險 , 其給付保險金現(xiàn)值的期望 ，稱為躉繳純保費 ( 這是與保險相聯(lián)的緣故）。而在生命年金中 ,n 年期生存保險的期望現(xiàn)值 E(Z)( 即建繳純保費 ) 稱為精算現(xiàn)值， 精算 一詞意味著除含利率外 , 還含有死亡率等 其他因素 7/25/20222 在生命年金中 , 保險金額為 1 個單位的 n 年生存保險的精算現(xiàn)值 E(Z) 用符號nEx 表示, 即精算現(xiàn)值的計算方法 對于生命年金的精算現(xiàn)值 , 其計算方法有兩種 : 其一是現(xiàn)時支付法 , 其二是總額支付法 現(xiàn)時支付法的計算步驟是 :求出時刻 t 時生命年金的給付數(shù)額 ;確定時刻 t

3、時給付數(shù)額的精算現(xiàn)值 ; 對給付年金的精算現(xiàn)值按所有可能的給付時間進(jìn)行相加或積分。7/25/20223總額支付法的計算步驟是 : 求出從開始支付至死亡或停止支付這段時間 t 內(nèi)所有年金給付額的現(xiàn)值 , 這一現(xiàn)值僅與利率有關(guān) ;將求出的現(xiàn)值乘以相應(yīng)的死亡概率或概率密度 ;對第二步得到的結(jié)果按所有可能的死亡時間 t 進(jìn)行相加或積分. 精算現(xiàn)值的兩種計算方法是等價的。7/25/20224 3.1 連續(xù)型生命年金連續(xù)型生命年金是指每時每刻連續(xù)不斷地進(jìn)行支付的生命年金。這類生命年金一般地 分為定期生命年金、終身生命年金、延期定期生命年金和延期終身生命年金等以終身生命年金為例 , 考察定額終身生命年金的精

4、算現(xiàn)值。假設(shè) (x) 按連續(xù)方式 支付年金額為 1 元的終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號表示(x) 未來壽命 T= T(x),則 T=T(x)的密度函數(shù)是7/25/202257/25/20226為衡量支付連續(xù)型的終身生命年金的風(fēng)險 , 我們可以考慮支付終身生命年金現(xiàn)值的方差。7/25/20227 例1 設(shè)死力是常值=0.04, 利力=0.06,在此假設(shè)條件下 , 求 : (1) 終身生命年金的精算現(xiàn)值(2) 終身生命年金現(xiàn)值的標(biāo)準(zhǔn)差 ;(3)終身生命年金現(xiàn)值超過其精算現(xiàn)值的概率(所收取的躉繳純保費將小于支付實際給付年金額為 1 元的終身生命年金的概率 )。解: 7/25/202287/25/

5、20229類似地 , 對于 (x) 按連續(xù)方式領(lǐng)取的年金額為 1 元的 n 年定期生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號 表示. 利用現(xiàn)時支付法 , 則7/25/2022107/25/2022117/25/2022127/25/2022137/25/2022143.1.3 延期生命年金 考慮(x)的延期n年的終身生命年金，這種年金在(x)活過x+n歲的情況下，從x+n歲開始，直到(x)死亡時為止一直以年率1進(jìn)行支付 7/25/202215比較“延期n年的終身生命年金”、“終身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以發(fā)現(xiàn)：“終身生命年金”=“延期n年的終身生命年金”+“n年期定期生命年金”例3-3已知死

6、亡概率在（0.100）上均勻分布，i=4%。年齡為40歲的人購買每年給付額為3000元的連續(xù)給付型生命年金，求下列各種生命年金的精算現(xiàn)值。（1）終身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的終身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金7/25/2022167/25/2022173.1.4 n年確定期生命年金 n年確定期生命年金是一種保證在前n年一定有支付的終身生命年金。該年金支付的現(xiàn)值隨機(jī)變量為：7/25/202218例3-5 某人x歲，購買了一份10年確定期生命年金，以連續(xù)方式給付，每年給付金額為1，已知死亡在（0，30）內(nèi)均勻分布且=x+30， 。求該年金精算現(xiàn)值。7/25/2

7、022193.1.5 變額年金考慮支付率隨時間發(fā)生變化的年金。假設(shè)連續(xù)型生命年金在t時的支付率為g(t)，年金的支付期限為時間區(qū)間a，b，那么，由支付模式，知這種年金的精算現(xiàn)值為: （1）如果g(t)1，a=0，b=n時，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)1，a=0，b=時，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的終身生命年金；（3）如果g(t)1，a=n，b=時，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=t+1，a=0，b=時，上述一般年金就變成了年度遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。 7/25/202220（5）如果g(t)t

8、，a=0，b=時，上述一般年金就變成了連續(xù)遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。這種年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量 7/25/202221（6）如果g(t)=n-t，a=0，b=n時，上述一般年金就變成了年度遞減的連續(xù)支付型n年期定期生命年金。 7/25/202222將上述的有關(guān)連續(xù)型生命年金的討論小結(jié)如下： 7/25/2022237/25/202224 3.2 離散型生命年金離散型生命年金是指年金的領(lǐng)取人每次領(lǐng)取年金的時間間隔是離散的 , 如按每年、每 半年、每季度、每月來進(jìn)行的。離散型生命年金還分為 “ 期初付 ” 和 “ 期末付 ” 兩種情 形。其中 , 期初付生命年金在個人壽險中得以廣泛應(yīng)用 , 大多數(shù)個

9、人壽險的保險費就是按 期初付生命年金的方式分期繳納保險費的。3.2.1按年付的定額生命年金 按年付生命年金是以年為時間間隔 , 每年支付一次 , 每次支付的金額均相等的生命年金 7/25/202225以期初付的定額的終身生命年金為例 , 考慮其生命年金的精算現(xiàn)值:設(shè)年齡為x歲的生存者在每個年度初領(lǐng)取年金額為 1 個單位的終身生命年金 ( 即期初付終身生命年金 ) 的精算現(xiàn)值 7/25/202226上式表明 : 年齡為 x 歲的 lx個生存者 , 若每人繳納 元建立一筆基金 ( 基金總 額為 元 ), 并按預(yù)定年利率 i 計息積存 , 則可使該群體中生存到x+k 歲的 lx+k個人 , 每人獲得

10、 1 元的金額(k=0,1,2,.)若利用總額支付法 , 則期初付年金額為 1 個單位的終身生命年金支付的現(xiàn)值:7/25/202227交換求和的順序 , 則上式可轉(zhuǎn)化為這表明現(xiàn)時支付法與總額支付法計算精算現(xiàn)值的結(jié)果是相同的。若在引入換算函數(shù) , 則可以得 7/25/202228現(xiàn)在 , 我們來考察期初付年金額為 1 個單位的終身生命年金現(xiàn)值 的方差根據(jù)方差的性質(zhì)，則 7/25/202229下面 , 我們考察精算現(xiàn)值與躉繳純保費之間的關(guān)系式 7/25/202230上式表明 : 年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期初付的年金額為 d 元的終身

11、生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1 元的死亡保險金. 若從一般的投資角度來解釋 , 即(x)現(xiàn)在投資資金 1元 , 在年利率 i 的條件下 , 可在 (x) 生存時 , 其每年的年初均可獲得回報 d 元 , 而 (x) 一旦死亡 , 則在其死亡的年度末償 還其投資的本金 1 元 7/25/202231 例 1 一份金額為 1 元的期初付終生生命年金從 90 歲開始給付 , 其生存模型為 x90919293lx100723907/25/2022327/25/2022333.2.1 期初付生命年金7/25/2022342. 期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年

12、金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為7/25/2022357/25/2022363. 期初付延期終身生命年金期初付n年延期終身生命年金為：在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，從x+n歲開始，每年初支付1的年金。 7/25/2022374. 期初付確定期生命年金n年期期初付確定期生命年金是一種保證至少有n年支付的生命年金。 其現(xiàn)值隨機(jī)變量為7/25/2022383.2.2 期末付生命年金1. 期末付終身生命年金這種年金在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，每年末支付1 該年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為其精算現(xiàn)值為 表明年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期末付的年金額為 i元的終

13、身生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1+i元的死亡保險金7/25/2022393.2.2 期末付生命年金7/25/2022407/25/2022412. 期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為其精算現(xiàn)值為7/25/202242事實上，因為對于n年期末付定期生命年金，其現(xiàn)值隨機(jī)變量為 7/25/2022437/25/202244 例2 一份于 60 歲簽發(fā)的年給付額為 1 元并且延期 10 年給付的生命年金 , 已 知死亡率服從 de moivre 分布且 =100 、 i =0, 試計算該年金給付總額超過該年金精算現(xiàn)值 的概率。7/25/20

14、2245解 : 由于死亡率服從 de moivre 分布且 =100, 得到lx= -x=100-x7/25/2022467/25/2022473.2.3 變額生命年金一般地，假設(shè)年金的支付期間為c，d，在k時年金的支付金額為h(k)，k=c，c+1，d，相應(yīng)年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為Y，則（1）如果h(k)1，c=0，d=n時，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果h(k)1，c=0，d=時，上述一般年金就變成了離散型等額支付的終身生命年金；（3）如果h(k)1，c=n，d=時，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果h(k)k，c=0，d=時，

15、上述一般年金就變成了離散型期末付年度遞增終身生命年金。7/25/2022487/25/2022497/25/2022507/25/202251t支付px+t020.80130.75240.5假設(shè)v=0.9，求該生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值和方差。7/25/2022527/25/2022533.3 每年 m 次支付的生命年金每年分 m 次支付的生命年金 在實際上，大多數(shù)個人生命年金通常是按月或按季或按每半年等方式來支付的。因此 , 討論每年分 m 次支付的定額生命年金有重要的現(xiàn)實意義 下面 , 我們以每年分 m 次支付 , 每次支付額為 1/m 元的期初付終身生命年金為例 , 求其精算現(xiàn)值，且根據(jù)

16、現(xiàn)時支付法 , 則 7/25/202254將按上述方式給付年金的現(xiàn)值記作 7/25/2022557/25/2022567/25/202257上式在高利率與低死亡率的特殊情況下常被采用 ,而在一般情況下 , 通常采用精算現(xiàn)值的傳統(tǒng)近似計算公式：下面 , 我們介紹一下式 (*) 的來歷 7/25/2022587/25/202259 例3 試根據(jù)附錄 I(C) 的生命表和預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計算到 60 歲時起退休者每月領(lǐng)取1000元的期初付終身生命年金的精算現(xiàn)值。解，由于年利率 i =6%, 則年貼現(xiàn)率d=i/(1+i)=0.0566從而 , 月利率和月貼現(xiàn)

17、率分別可以得到7/25/2022607/25/202261對于每年分m次支付，每次支付金額相等的年金額為1元的期末付終身生命年金，其精算現(xiàn)值用符號表示為7/25/202262對于每年分 m 次支付、每次等額支付金額為 1 元的延期h年的期初付終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號表示為 , 則7/25/202263對于每年分 m 次支付 , 每次等額支付的年金額為 1 元的期初付n年定期生命年金 ,其精算現(xiàn)值用符號表示為 , 根據(jù)現(xiàn)時支付法， 則有7/25/202264例4試根據(jù)附錄 I(C) 生命表與預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計算生存者在 45 歲時每月領(lǐng)取 8

18、00 元的期初付 25 年定期生命年金的精算現(xiàn)值.解 : 依題意 , 知 7/25/2022657/25/202266 根據(jù)現(xiàn)時支付法 , 則 7/25/2022673.3.2 每年分 m 次支付的變額定期生命年金考慮每年分 m 次支付 , 年金額按年變動的期初付的 n 年定期生命年金的估值問題。 設(shè)生存者自x歲開始 , 終止于x+n 歲 , 領(lǐng)取的年金順序列為bx,bx+1, , by+n-1. 每年分 m 次等額期初支付 , 則在 y 歲與 y +1 歲之間的 m 次支付在 y 歲的精算現(xiàn)值是而該項生命年金在x歲時的精算現(xiàn)值記作(apv)x, 則7/25/202268又設(shè)生存者在每一個年齡

19、中死亡是均勻分布的 , 則 7/25/202269 若該項變額年金改為期末支付 , 并假設(shè)生存者在每個年齡中死亡是均勻分布的 , 記 7/25/202270 3.4 完全期末年金與比例期初年金在連續(xù)生存年金場合 , 連續(xù)直至死亡 , 不存在調(diào)整最后支付問題。對于離散型生存 年金 , 尤其是按年支付的生存年金 , 會提出根據(jù)死亡日期按比例調(diào)整的問題。譬如期末按 年提供支付額為 5000 元的生存年金 , 當(dāng)年金的領(lǐng)取者在支付日前 1 個月死亡時 , 可從上 次領(lǐng)取日算起 , 對其活著的 11 個月按比例加付最后一次不滿 5000 元的零頭數(shù)額.又譬 如 , 按生存年金方式支付保費 1000 元來

20、購買人壽保險 , 當(dāng)被保險人在周年繳費日 1 個月后死亡時 , 可退還該年度剩下 11 個月的已繳保費。那么 , 前者屬于完全期末年金類型 , 后者屬于比例期初年金類型。7/25/202271完全期末年金每年 1 單位按 1/m 年期末支付 , 再加上根據(jù)從上個 1/m 年期末到死亡日這段時間調(diào) 整的零數(shù)支付 , 這種完全生存年金的精算現(xiàn)值記為 因 1/m 年期末 1/m 等價于按年 支付額它可以作為死亡發(fā)生在時刻 t 情況下的調(diào)整支付額 7/25/202272根據(jù)這一調(diào)整支付定義 , 完全期末生存年金恰好等價于年支付額為的連續(xù)型生存年金換句話說 , 在任何一個 1/m年中 , 如果 (x) 始終活著 , 那么連續(xù)生存年金提供的支付在該 1/m 年末的值為如果(x)在該 l/m 年內(nèi)死亡 , 那么連續(xù)生存年金所提供的支付在死亡時的值等價于它與完全期末生存年金的調(diào)整支付相當(dāng). 7/25/202273因此我們有包含利息因素的上式導(dǎo)致更為簡單的結(jié)論 7/25/202274對上