1、課后習(xí)題解答第一章緒論習(xí)題一1.設(shè)x,x*的相對誤差為5,求f(x)=nx的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有珥疋)=1斶氓疋)氐咔就IwI心已知x*的相對誤差占滿足菁,而|x-x+|工*|一占理）Ax)=In爲(wèi)f(x)=丄J|x-x*|(5(x*)=z.lx+l，故IIlUl|l即2.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對誤差限。x；=1.1021啟;二0.031?x；=560.40解：直接根據(jù)定義和式(122)(123)則得云有5位有效數(shù)字，其誤差限霸匯討曠,相對誤差限餉X)弓K1L珂有2位有效

2、數(shù)字，*)斗140；)牛1心有5位有效數(shù)字，3.下列公式如何才比較準(zhǔn)確？(1)廠嚴(yán)心押1+x2)必=缺tan(N十l)_arctanN2)解：要使計算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。近似數(shù)x*=0.0310,是3位有數(shù)數(shù)字。_1一_計算九龐一1嚴(yán)取后利用：式計算誤差最小。(3+2忑丫?四個選項第二、三章插值與函數(shù)逼近習(xí)題二、三1.給定于図=lnx的數(shù)值表X0.40.50.60.7Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675用線性插值與二次插值計算lno.54的近似值并估計誤差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Nfewton

3、插值f并應(yīng)用誤差估計(5.8)。線性插值時，用0.5及0.6兩點，用Nbwton插值In024衛(wèi)=$31470540Hlo-sgsRR遍藥SIA+M2O(1O0_藥)-IAX4XOO4XOO6HOOO4CCIHssaQ50L60.7川iDr奈H埒183InP54建00.20219+jo5o6o.7p5)o54=)11S02G+(艇CCI50)x004冥(000h026co392申4叭漢4iBHirSI博ms聚h八a11sl+si(5.8)；H2nmsH%煎Ljsys貞庶里UJ1得33若弘）=H張+1，求嚇/和和住2,外解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系加內(nèi),“5討丹/=+%+1J0）=7!J0）=0于是川公

4、=律婦!=1丁鞏2】,-H4若燉=任-心）任-巧）任-心）,再=o丄屈互異，求孑礎(chǔ)川”衛(wèi)閑的值，這里2n+1.解:了仗）=%+O（看）=0Q=0h用），由均差對稱性血內(nèi)，宀_刁田;+；可知當(dāng)左*有恥旳,心=而當(dāng)P=n+1時于是得P0：Z.00 x00：E0 xl00|feE0)轡|EEIEEOO?y(EXO)也農(nóng)衛(wèi)叫他5叫=|(S0)y|鬱世&1切拓圏譯申0乙乙電乙10局1紇9”割鯽申佗X)-x)fc-0-x)50frlX(ZX)-x)X9E80UHL9001=供)8M輦鯽聽嗣嗨觸爭：搦齋曲牌事飄卿御宙廿5WM硏紐BJK441幽剎囑糞阱g珂|卑三陽*OllO莎HEPKioro000000E00

5、尊超呼平=(叫鋁9v-Kv=o/v-W+-+c_HAv-t_hv+i_W-k=o-/L.(v-T+v)Z=EvZ-a一況給定f(x)=cosx的函數(shù)表Xi00.10.20.30.40.50.631.000000.P95000.980070.P55340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式計算cos0.048及cos0.566的近似值并估計誤差解：先構(gòu)造差分表f（kJAW）a2z（v7）A3（v7）A4（v7）a5z（v7）1.00000-0.005000.99500-0.00993-0.014930.000130.98007-0.009800.00012-0.02

6、4730.00025-0.000020.95534-0.009550.00010-0.034280.00035-0.000010.92106-0.009200.00009-0.043480.00044-0.00876-0.052240.85234計算心0皿20臨“空2=04，用n=4得Newton前插公式N4可二朋)=兀+4/?+字述1)+警妝1)&2)+字垃1)(72兀3)=1.00000+0.48-0.00500-0.520.000130624誤差估計由公式(5.17)得|K4（0.048）11.5845xl0-T其中隨i二血0牛0.565計算時用Newton后插公式5.18)-0.008

7、76r1216244!=0.82534-0.34xV2fA3fA4fcosO.566+捕)二血+砒/+1)+1)&+2)+瑕+1)Q+2)(f+3)=0.84405誤差估計由公式(5.19)得|7?4(0.566)|蘭眷雌+Df+郭+4)|閉1.7064xlO-7這里仍為0.565求一個次數(shù)不高于四次的多項式p(x),使它滿足p(D)=p)=D,p(l)=p=1衛(wèi)=1解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡單為宜。此處可先造使它滿足鬥(0*5少“，顯燃，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是令耳(力=沙爲(wèi)1(竹/2Q，稱為第二類Chebyshev多項式試求

8、的表達式，并證明是-1,1上帶權(quán)的正交多項式序列。gg皇年嚴(yán)15卬克00+站09亞&0二水K0000=?S09況&0童|虐M51SE69E=旺的LULL+LZ憶1仗二牝乙5+巧iTOC o 1-5 h z0-?I：r?IE69=?Z=?i35XW積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量公式所具有的代數(shù)精確度.母0）+琢叼+31）a.1l/W+A/（o）+A/WU用求積公式精確度定義，則可突出求積公式皿兒二十).I;厶廃gfge、7+(7)rw+(0)、7及專Q)r一LLCLiwf、丁91皐上言寸T1vo+十HO+?十Ho+T奇no+旳+戸卑枷0maw帶wnsOH舀+戛|馳S8X4-“/(巴0上晉

9、龍口叮H+Tm(寓.!%+*()9LrK廠，0H+ToH筆+妄)十尋;Tq+陶2=0衛(wèi)苑=42+0+0，相互矛盾，故A不能分解,但，若A中1行與2行交換，則可分解為LU11B=2100-1_31J|_O0h2_2_對B，顯然屮片，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯C=216315.用追趕法解三對角方程組Ax=b,其中2-100o-12-10000-12-10,i-000-12-10000-120解：用解對三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和（3.1.3）計算得6.用平方根法解方程組解：用分解直接算得由G=b及化=7求得尹=（126）衛(wèi)=（工斗7.設(shè)甘，證明IkI

10、LM解：就二嗓忖HI.即啊/帆，另一方面&設(shè)范數(shù)計算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和20.60.50.10.30.370.330.330.34()=0.68534才衛(wèi)二故國2=J0.68534=0.827859.設(shè)快為封上任一種范數(shù)，化嚴(yán)是非奇異的，定義H=IH，證明処訕叫證明：根據(jù)矩陣算子定義和|L定義，得P非奇異，故X與y為一對一，于是114弋二|円鬥求下面兩個方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計罟.240-179壽;:=：,即240-179.5即（占+砂0+&）=鳥解：記240-319A-1792400-0.58A=-0.50則Ax=b的解兀二4,站，而僅+傾x+和的解(工+岳)=(&跌故兇

11、LTI釧4而12404991793197Cand240=626.211=01_1111=0-56012由（3.12）的誤差估計得IML&IL忖LA-Cod（A圖L幻刃4肚10表明估計幘IL=4略大，是符合實際的。是非題(若是在末尾()填+不是填-):題目中其=(、g口丫已疋=(、%)已若A對稱正定，応加則嘰=(血孟嚴(yán)是史上的一種向量范數(shù)()xeTOC o 1-5 h z定義岡打=唱藍幅是一種范數(shù)矩陣()定義=(含瀘是一種范數(shù)矩陣()只要“，則A總可分解為A=LU其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣()只賈就唇o則總可用列主元消去法求得方程組加”的解()若A對稱正定,則A可分解為=山，其中L為

12、對角元2素為正的下三角陣()對任何朕護都有I觀羽II*K()若A為正交矩陣，則如(業(yè)=1()答案:(1)(+)(2)()(3)(+)(4)()(5)()(6)()(7)()(8)()第六章解線性方程組的迭代法習(xí)題六證明對于任意的矩陣AJ序列I*討討討收斂于零矩陣解：由于陞卜制麗吒心故肚討=。方程組卩巧+2x2+x3=-12-x1+4x2+2x3=202x1-3x2+10 x3=3(1)考查用Jacob法和GS法解此方程組的收斂性.寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以嘰(0附計蜩|嚴(yán)-叫計為止42-310A=An解：因為具有嚴(yán)格對角占優(yōu)，故J法與GS法均收斂(2)J法得迭代公式是L3魚gw

13、FIi&SSE.S6666OJV28寸)u亙暮H(L點+LXI)于lx疔fLX+&十“荔(判+亍)丁1肚so幵2煮手0羽訂十云邑*啟6診醫(yī)舊黨啟7H飛VoiTO聖+吉42j*r7fxHLK(VJ7T+O十hlk(亍耳；)手亙總斂gooer:S(12邁T區(qū)熄葢13lasaoxsslHef+IqH+hlj(0H品空二)skEan而Gauss-Seide迭代法為其迭代矩陣由于心二成，故Jacob迭代法與Ghuss-Seidel法同時收斂或同時發(fā)散。下列兩個方程組Ax=b,若分別用J法及GS法求解，是否收斂?12-2A=111221解：Jacob法的迭代矩陣是_022兄2-2B=DL+U)=-101,

14、d亡tM-B)=21=0_22oj222即妣駆-毋二左二a，故n，J法收斂GS法的迭代矩陣為00_-1_0-22_0-22G=9-Z尸11000-102-3_221_000_0022-2det(Zf-G)=0A-23=A(A-2)2=。局=。池2=3200幾2故口仝沁，解此方程組的GS法不收斂。10a0k=b10b設(shè)o&JcfetAe0，用,b表示解方程組Arf的J法及GS法收斂的充分必要條件.解J法迭代矩陣為0a0_a0_ioTob0b-5)=b2b101010100a00a2_55如=4P代矩陣為故J法收斂的充要條件是礙戰(zhàn)罟。GS法迭_1000_0-a0G=b10000-b05_000_1

15、得GS法收斂得充要條件是引?0由=而W3用SOR方法解方程組（分別取3=.033=13=1.1）14疋1-x2=1一心+4也一乃=4_也+4毛=-3精確解宀&1護，要求當(dāng)卜T6時迭代終止,并對每一個3值確定迭代次數(shù)解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為嚴(yán)=（1一少）申+中（1+皆）NN4(4)aGS臂Msarp2:匸s醬3訓(xùn)和()嚨：(1)亙A1sJR(M)H(lrL%(M)HlnpcclHp22w3Jiis.0GS常盍稱韌甩亙Agilf和一旦A1*w習(xí)題七1.用二分法求方程_1=0的正根，使誤差小于a05解使用二分法先要確定有根區(qū)間。本題f(X)=2-x-1=ft因f(1)=-1,f(2)=

16、l,故區(qū)間1,2為有根區(qū)間。另一根在-1,0內(nèi)，故正根在1,2內(nèi)。用二分法計算各次迭代值如表。2.求方程-=o在礎(chǔ)=.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)迭代公式.土，迭代公式昭】=j宀i+丹迭代公式再rd卅.31，迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似根解:(1)取區(qū)間UR問旗舟1?且w=-AA在1.3,1.6且，在1.3,1.6中0.488|(p(x)|0.911，則L，滿足收斂定理條件，故迭代收斂。(2)評二菊1+X，在1.3,1.旬中即兀)e13L6,且松)耳(1嶺在甘垃中有曲)日任故迭代收斂r、11-(3)(識冇恥)一產(chǎn)7

17、，在坯附近伙初決，故迭代法發(fā)散。在迭代(1)及(2)中，因為(2)的迭代因子L較小，故它比(1)收斂快。用(2)迭代，取=5,則礎(chǔ)=1.48124&吃二1.472706,x3=1.468817?x4=1.467048=1.466243;x6=1.465877,x7=1.465710,兀=1.465634眄=1.465599,x10=1.465583,xn=1.465577,x12=1.465574x13=1.465572,x14=1.4655723設(shè)方程12-強+2匚如=0的迭代法%+i=4十|cos(1)證明對VqeR，均有鶯耳=注其中嚴(yán)為方程的根取坯=求此迭代法的近似根，使誤差不超過心并列

18、出各次迭代值(3)此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論2解：(1)迭代函數(shù)0=4+才如，對V坯有3-IJ-|7IJ-懿申，I、|叱|尬1|昶二了価1|7W,|&)金必亠廉輕理丫嚴(yán))ra-wwa*0=w/sw0rom3n鞏5(廟B舊仙砂永廨一爾為I超爾PJWW沁m丄二3的hf妙w0I9WM1比護刊i7At?=CKK=妝1小匸=工8t?=IK=0S6=吐它內(nèi)匚匸二燈翌站裏uo珂I宙，子寧鈿卿=-嚴(yán)昌皇：2V輙翊昨華E愿関睞甜辺*10=嚴(yán)昌皇壬翌U0珂I宙砂L也&0y曲1E0=LE0=LIMEO=C689EO=11=毀令m“叫(3).-.I.I44d+朋-吒-y-z=WJiz-z=(Xi；通1訂代0二畑龍牡克0=SlHCCO二噸住空L=5価?二咗通(I一沁%.-L-LI-%-