1、 . . 34/9 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 第四章 理想流體動(dòng)力學(xué)和平面勢流答案41設(shè)有一理想流體的恒定有壓管流，如圖所示。已知管徑，過流斷面1-1處壓強(qiáng)p1大氣壓強(qiáng)pa。試按大致比例定性繪出過流斷面1-1、2-2間的總水頭線和測壓管水頭線。解：總水頭線、測壓管水頭線，分別如圖中實(shí)線、虛線所示。42設(shè)用一附有液體壓差

2、計(jì)的皮托管測定某風(fēng)管中的空氣流速，如圖所示。已知壓差計(jì)的讀數(shù)h150mmH2O，空氣的密度a =1.20kg/m3，水的密度 =1000kg/m3。若不計(jì)能量損失，即皮托管校正系數(shù)c=1，試求空氣流速u0。解：由伯努利方程得 （1） 式中為駐點(diǎn)壓強(qiáng)。由壓差計(jì)得 （2）聯(lián)立解（1）（2）兩式得43 設(shè)用一裝有液體（密度s=820kg/m3）的壓差計(jì)測定寬渠道水流中A點(diǎn)和B點(diǎn)的流速，如圖所示。已知h1 =1m，h2 =0.6m，不計(jì)能量損失，試求A點(diǎn)流速uA和B點(diǎn)流速uB。水的密度=1000kg/m3。解：（1）（2）由伯努利方程可得（1）（2）式中、和、分別為A點(diǎn)和B點(diǎn)處的水深和駐點(diǎn)壓強(qiáng)。由（1

3、）、（2）式可得 （3）由壓差計(jì)得，所以 (4)由（3）式、（4）式得。44 設(shè)有一附有空氣水倒U形壓差計(jì)裝置的皮托管，來測定管流過流斷面上若干點(diǎn)的流速，如圖所示，已知管徑d=0.2m，各測點(diǎn)距管壁的距離y與其相應(yīng)的壓差計(jì)讀數(shù)h分別為：y=0.025m，h=0.05m；y=0.05m，h=0.08m；y=0.10m，h=0.10m。皮托管校正系數(shù)c=1.0，試求各測點(diǎn)流速，并繪出過流斷面上流速分布圖。解：因，所以過流斷面上的流速分布如圖所示。45 已知試求該流動(dòng)的速度勢函數(shù)，并檢查速度勢函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程。解：(1)在習(xí)題319中，已判別該流動(dòng)為有勢流，所以存在速度勢函數(shù)。積分上式可得（

4、2）滿足拉普拉斯方程。46 已知，試求該流動(dòng)的流函數(shù)和流線方程、跡線方程。解：(1)在習(xí)題38中，已判別該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，所以存在流函數(shù)。等流函數(shù)線方程即為流線方程。， 積分上式可得（2）跡線方程，積分上式可得47 已知ux=ky，uy=kx，uz =0，試求該流動(dòng)的流函數(shù)和流線方程、跡線方程與其形狀（k是不為零的常數(shù)）。解：流函數(shù)和流線方程：積分上式可得跡線方程:，由上式可知，流線為平行于Oxy平面的同心圓族，由于恒定流的流線與流線上液體質(zhì)點(diǎn)的跡線相重合，所以跡線亦是同心圓族，液體質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。48 已知ux =4x，uy =4y，試求該流動(dòng)的速度勢函數(shù)和流函數(shù)，并繪出流動(dòng)圖形。解：由

5、習(xí)題38和319，可知該流動(dòng)存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)。，積分上式可得：，積分上式可得流動(dòng)圖形如題416圖所示。49 已知=a（x2y2），式中a為實(shí)數(shù)且大于零。試求該流動(dòng)的流函數(shù)。解：，積分上式可得410 已知速度勢函數(shù)，式中M是不為零的常數(shù)。試求該流動(dòng)的流函數(shù)，并繪出流動(dòng)圖形。解：，對(duì)積分可得題4-10圖上式對(duì)取偏導(dǎo)數(shù)，則又由上兩式可得，即常數(shù)。因此可得上述流動(dòng)即為偶極流。流動(dòng)圖形可參照題410圖。411 已知流函數(shù) =3x2yy3，試判別是有勢流還是有渦流。證明任一點(diǎn)的流速大小僅取決于它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。解：，所以是有勢流。，所以任一點(diǎn)的流速大小僅取決于它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。4-12設(shè)水平面流

6、場中的速度分布為，k是不為零的常數(shù)，如圖所示。試求流場中壓強(qiáng)p的分布。設(shè)=，=0處的壓強(qiáng)為p；水的密度為F。解：由例3-6（如題4-12圖所示）知，該流體運(yùn)動(dòng)除原點(diǎn)（=0）外，是有勢流。因是有勢流，理想流體恒定流伯努利方程式適用于整個(gè)有勢流；又因在同一水平面，所以流場中除原點(diǎn)（=0，u=）外，因此 。由上式可知，壓強(qiáng)p隨半徑的減小而降低。題4-12圖4-13水桶中的水從桶底中心小孔流出時(shí)，常在孔口上面形成旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，水面成一漏斗形，如圖a所示。流速場在平面，如圖b所示，可表示為，u=0，k是不為零的常數(shù)。試求自由水面曲線的方程式。解：該流體流動(dòng)除原點(diǎn)（=0）外，是有勢流。因是有勢流，理想流體恒定

7、流伯努利方程式適用于整個(gè)有勢流，流動(dòng)剖面如圖所示。當(dāng)時(shí)，水面高程為h；另取自由表面上任意點(diǎn)M，對(duì)上述兩點(diǎn)寫伯努利方程，可得, , 該式即為自由表面方程式。414 直角（）彎頭中的流動(dòng)，設(shè)為平面勢流，如圖所示。已知彎頭、外側(cè)壁的曲率半徑r1、r2分別為0.4m和1.4m，直段中均勻來流的流速為10m/s，流體密度為1.2kg/m3。試求彎頭外側(cè)壁處的流速和外側(cè)壁的壓強(qiáng)差。題4-14圖解：由例46（如題4-14圖所示）知彎段的流速分布為，式中是不為零的常數(shù)。值可由連續(xù)性方程決定，即外壁處流速，壁處流速外壁處的壓強(qiáng)差（注：外側(cè)壓強(qiáng)大）415 已知（1），k是不為零的常數(shù)；（2）,為常數(shù)。試求上述兩流

8、場中半徑為1和2的兩條流線間流量的表示式。解：（1），（2），416 直角流動(dòng)。已知平面流動(dòng)的速度勢=a(x2y2)，流函數(shù)=2axy，式中為實(shí)數(shù)且大于零。等流函數(shù)、等勢線，如圖所示；當(dāng)=0時(shí)的流線稱零流線，與兩軸線重合。如果將x、y軸的正軸部分，用固體壁面來替換，即得直角流動(dòng)。試分析該流動(dòng)沿壁面流動(dòng)時(shí)，壁面上的壓強(qiáng)分布。設(shè)靜止處（坐標(biāo)原點(diǎn)）的相對(duì)壓強(qiáng)為零，流體密度為F。解:，沿壁面流動(dòng)時(shí)，分兩種情況：當(dāng)沿x軸流動(dòng)時(shí)，當(dāng)沿y軸流動(dòng)時(shí)，可得上述兩種情況說明，負(fù)壓隨距轉(zhuǎn)角點(diǎn)距離的平方成正比地增大。417蘭金（Rankine）橢圓。均勻直線流沿x軸方向的速度為u；源流強(qiáng)度與匯流強(qiáng)度均為q，匯點(diǎn)置于x

9、軸上，位于源點(diǎn)的右邊，他們與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離均為a。如果將上述組合成的復(fù)合勢流的流函數(shù)=0時(shí)的流線方程，用固體邊界來代替，這個(gè)輪廓線稱蘭金橢圓，如圖所示。試求該橢圓長半軸l、短半軸b的方程。解：題述流動(dòng)組合成的復(fù)合勢流的流函數(shù)為速度分布為因?yàn)轳v點(diǎn)速度為零，即，解上兩式可得駐點(diǎn)位置，或，為，。=l（即為橢圓長半軸），。通過駐點(diǎn)的流線的流函數(shù)，對(duì)于，則由上述復(fù)合勢流的流函數(shù)表示式可得。所以的流線方程即為。如果用固體邊界來代替上式所表達(dá)的流線，這個(gè)物體的輪廓線即為蘭金橢圓，它的短半軸b，可將，代入上式，由試算求得。實(shí)際流體繞經(jīng)上述物體時(shí)，在其后尾部將形成渦流（在第八章中要介紹），與上述流動(dòng)的情況不同

10、，所以不能按上述方法求解。但是，在物體的前端部，由于邊界層（在第八章中要介紹）很薄，且流動(dòng)處于加速區(qū)，按上述理論推算與實(shí)測結(jié)果很相符合。418 源流和匯流的強(qiáng)度q均為60m2/s，分別位于x軸上的（a，0）、（a，0）點(diǎn)，a為3m。計(jì)算通過（0，4）點(diǎn)的流線的流函數(shù)值，并求該點(diǎn)的流速。解：通過（0，4）點(diǎn)的流線的流函數(shù)值為通過（0，4）點(diǎn)的流速為419 向右的水平均勻直線流和順時(shí)針的環(huán)流與源流（均在原點(diǎn)）相疊加，如圖所示。試求用直角坐標(biāo)形式來表示的流速分量和駐點(diǎn)位置。解：駐點(diǎn)的，所以，y（駐點(diǎn)坐標(biāo)）420 設(shè)一均勻直線流繞經(jīng)一圓柱體，如圖所示。已知圓柱體中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），半徑為r0=1m；均勻直線流速度u =3m/s。試求x =2m，y =1.5m點(diǎn)處的速度分量（u，）和（ux，uy）。解