1、二次函數(shù)與代數(shù)綜合中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求二次函數(shù)能結(jié)合實際問題情境了解二次函數(shù)的意義；會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象能通過分析實際問題的情境確定二次函數(shù)的表達式；能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；會根據(jù)二次函數(shù)的解析式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，會確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸；會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識綜結(jié)合的有關(guān)問題重難點理解二次函數(shù)圖象與軸的交點與一元二次方程的關(guān)系；理解二次函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系與一元二次方程解的情況的聯(lián)系；會利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程的根的個數(shù)；會根據(jù)拋物線與軸的位置關(guān)系求字母系數(shù)

2、；會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握拋物線與軸的交點與一元二次方程兩根之間的聯(lián)系，靈活運用相關(guān)的概念解題；掌握并運用二次函數(shù)解題；理解二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系；會用函數(shù)的觀點去看方程和會用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題；理解二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)之間的關(guān)系。會將二次函數(shù)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用。課前預(yù)習(xí)你知道“函數(shù)”的發(fā)展史嗎？你知道“函數(shù)”是怎樣發(fā)展來的嗎？讓我們一起回顧一下函數(shù)概念的發(fā)展史吧。函數(shù)（function）這一名詞，是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨17世紀(jì)首先采用的與萊布尼茨幾乎同時，瑞士數(shù)學(xué)家雅克柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義1718年，雅克柏努意的弟弟約翰柏努意給出

3、了函數(shù)的如下定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù)換句話說定義為：由和常量所構(gòu)成的任一式子都可稱之為關(guān)于的函數(shù)約翰柏努意的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，把約翰柏努意關(guān)于函數(shù)的定義又推進了一步，使之更加明朗化為了適應(yīng)當(dāng)時所出現(xiàn)的各種情況，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，法國數(shù)學(xué)家柯西引入了新的函數(shù)定義。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞德國數(shù)學(xué)家黎曼引入了新的定義：“對于的每一個值，總有完全確定了的值與之對應(yīng)，而不拘建立，之間的對應(yīng)方法如何，均將稱為的函數(shù)”1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進一步提出函數(shù)的定義，這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個關(guān)系以求出每一個的對應(yīng)值183

4、7年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立與之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以重新定義，這個抓住了概念的本質(zhì)屬性，曾被比較長期的使用著上面我們對函數(shù)概念的歷史發(fā)展作了概述，我們看到，“函數(shù)”這個重要概念發(fā)展到近代，經(jīng)過了一段如此漫長的道路，從某種意義上來說，它反映了人類對事物逐漸精確化的認(rèn)識過程數(shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用例題精講模塊一 二次函數(shù)與一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，就是令，求中的值的問題。此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程的根的個數(shù)決定了拋物線與軸的交點的個數(shù)。當(dāng)中的時，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點；當(dāng)中的時，二次函數(shù)的

5、圖象與軸有一個交點；當(dāng)中的時，二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點； 拋物線與軸的兩個交點之間的距離公式（2005 廣東）求二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)？【難度】1星【解析】求二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)，也就是令，解一元二次方程即可?！敬鸢浮繉τ?令，則 解得， 二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)為，【鞏固】已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是方程的兩個根，且拋物線經(jīng)過點，求二次函數(shù)的解析式【難度】1星【解析】通過交點確定函數(shù)的解析式，可以采用雙根式。【答案】 ， 交點坐標(biāo)為， 設(shè)拋物線的解析式為 將點代入得 解得 二次函數(shù)的解析式為已知拋物線，求： （1）為何值時，拋物線與軸相交于兩點，僅相交于一點、不想交？ （2）為何值時

6、，拋物線與軸的兩個交點，分別在原點的兩側(cè)？【難度】2星【解析】判斷拋物線與軸的交點情況，主要判斷；兩交點是否在原點兩側(cè)，要由根與系數(shù)的關(guān)系來推斷。【答案】（1） 當(dāng)，且 即當(dāng)且時，拋物線與軸交于兩點 當(dāng)，且 即當(dāng)時，拋物線與軸交于一點當(dāng)，且 即當(dāng)時，拋物線與軸無交點 （2）設(shè)拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、 拋物線與軸的兩個交點分別在原點的兩側(cè)，則 ，且 又， 解得 當(dāng)時，拋物線與軸的兩個交點分別在原點的兩側(cè)【鞏固】（2006 武漢）已知拋物線與軸有兩個交點，且這兩個交點分別在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是？【難度】2星【解析】本題要求兩個交點分別在直線的兩側(cè)，則兩根中一根大于1，另一根小于1

7、?！敬鸢浮繏佄锞€與軸有兩個交點，且在直線的兩側(cè) 即 解得【鞏固】為何值時，拋物線與軸沒有交點？【難度】1星【解析】判斷函數(shù)圖象與軸的交點情況要通過判斷來決定?！敬鸢浮?圖象與軸沒有交點 所以當(dāng)時，函數(shù)與軸沒有交點已知二次函數(shù)的圖象與軸交與、兩點，與軸交于點，求的面積【難度】2星【解析】本題的關(guān)鍵是求線段的長【答案】依題意知 模塊二 二次函數(shù)與一元二次不等式二次函數(shù)與一元二次不等式及之間的關(guān)系如下：（其中 ）判別式情況拋物線與軸的交點不等式的解集不等式的解集有兩個交點或有一個交點或無解無交點全體實數(shù)無解判別式情況拋物線與軸的交點不等式的解集不等式的解集有兩個交點或有一個交點無解或無交點無解全體實

8、數(shù)已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量取時，其相應(yīng)的函數(shù)值小于，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）A的函數(shù)值小于B的函數(shù)值大于C的函數(shù)值等于D的函數(shù)值與的大小關(guān)系不確定【難度】2星【解析】由題意得：此二次函數(shù)與軸有兩交點，兩交點橫坐標(biāo)為，兩交點的距離為，當(dāng)取時，函數(shù)值小于，當(dāng)取時，函數(shù)值大于【答案】B【鞏固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代數(shù)式的值的情況他們作了如下分工：小明負(fù)責(zé)找值為時的值，小亮負(fù)責(zé)找值為0時的值，小梅負(fù)責(zé)找最小值，小花負(fù)責(zé)找最大值幾分鐘后，各自通報探究的結(jié)論，其中錯誤的是（ ）A小明認(rèn)為只有當(dāng)時，的值為.B小亮認(rèn)為找不到實數(shù)，使的值為.C小梅發(fā)現(xiàn)的值隨的變化而變化，因此認(rèn)為沒有最小值D小花

9、發(fā)現(xiàn)當(dāng)取大于的實數(shù)時，的值隨的增大而增大，因此認(rèn)為沒有最大值.【難度】2星【解析】當(dāng)時，解得，故A正確當(dāng)時，故B正確，當(dāng)時，有最小值1，但沒有最大值.故C錯D正確.【答案】D（2009 北京中考）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合.【答案】（1）由題

10、意得，為正整數(shù)，（2）當(dāng)時，方程有一根為零；當(dāng)時，方程無整數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移個單位得到的圖象的解析式為（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，則，依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得由圖象可知，符合題意的的取值范圍為閱讀材料，解答問題。例：用圖象法解一元二次不等式：設(shè)，則是的二次函數(shù)拋物線開口向上又當(dāng)時，解得，的解集為或（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式?！倦y度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合.【答案】（1） （2）設(shè)，則是

11、的二次函數(shù) 拋物線開口向上 又當(dāng)時，解得，的解集為或模塊三 二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：（1）方程組有兩組不同的解時與有兩個交點；（2）方程組只有一組解時與只有一個交點；（3）方程組無解時與沒有交點.（2011 蕪湖）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ） A B C D【難度】2星【解析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下可知，再由函數(shù)圖象經(jīng)過原點可知，利用排除法即可得出正確答案【答案】D【鞏固】（2006 日照）已知，兩點關(guān)于軸對稱，且點在反比例函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上，設(shè)點的

12、坐標(biāo)為，則二次函數(shù)（ ）A有最小值，且最小值是B有最大值，且最大值是C有最大值，且最大值是D有最小值，且最小值是【難度】1星【解析】先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點求出其最值即可【答案】D（2009 南充）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點，求的值和這個一次函數(shù)的解析式；（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、，求過、三點的二次函數(shù)的解析式；（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使四邊形的面積與四邊形的面積滿足：？若存在，求點E的坐

13、標(biāo)；若不存在，請說明理由【難度】4星【解析】此題將初中所學(xué)三個主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強，難度適中【答案】：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為因為的圖象過點所以，解得這個正比例函數(shù)的解析式為設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（ 因為的圖象過點，所以解得 這個反比例函數(shù)的解析式為（2）因為點在的圖象上，所以 則點 設(shè)一次函數(shù)解析式為（） 因為的圖象是由平移得到的，所以，即又因為的圖象過點所以 解得 一次函數(shù)的解析式為 （3）因為的圖象交軸于點，所以的坐標(biāo)為設(shè)二次函數(shù)的解析式為（）因為的圖象過點

14、， 所以 ，解得 ，這個二次函數(shù)的解析式為 （4）交軸于點，點的坐標(biāo)是如圖所示，假設(shè)存在點，使四邊形的頂點只能在軸上方，S 在二次函數(shù)的圖象上， 解得或 當(dāng)時，點與點重合，這時不是四邊形，故舍去，點的坐標(biāo)為課堂檢測二次函的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ） A B C D【難度】2星【解析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)的關(guān)系【答案】D已知方程的兩個實根一個小于，一個大于，求的取值范圍【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】設(shè)，因為方程的兩個實數(shù)根一個小于，一個大于，所以有即，解得所以已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點（1，0）

15、，（-3，0），（0，）。（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這個函數(shù)的圖象；（2）若反比例函數(shù)圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點，落在兩個相鄰的正整數(shù)之間。請你觀察圖象，寫出這兩個相鄰的正整數(shù)；（3）若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點為A，點A的橫坐標(biāo)為滿足，試求實數(shù)的取值范圍?！倦y度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】（1）設(shè)拋物線解析式為將（代入，解得拋物線解析式為（2）正確的畫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象（略）由圖象可知，交點的橫坐標(biāo)落在1和2之間，從而得出這兩個相鄰的正整數(shù)為1與2。（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時，對,隨著x增

16、大而增大，對，隨著的增大而減小。因為為二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點，所心當(dāng)時，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得，即，解得 同理，當(dāng)時，由二次函數(shù)數(shù)圖象在反比例上方得，即，解得所以的取值范圍為若二次方程在區(qū)間內(nèi)僅有較大實根，另一根不等于，求的取值范圍【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】原方程可化為，因為方程較大實根在內(nèi)，且另一根小于，所以有即解得所以，故當(dāng)時，方程在內(nèi)僅有較大實數(shù)根，且另一根不等于如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點、，它的頂點為，又正比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)相交于兩點、，且是線段的中點（1）求該二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)頂點的坐標(biāo)；（2） 已知點，且二次函

17、數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量的取值范圍；（3）當(dāng)時，求四邊形的面積的最小值【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點、，解得，二次函數(shù)的解析式為又，頂點的坐標(biāo)為 在正比例函數(shù)的圖象上，即，正比例函數(shù)解析式為，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得，得，代入，點的坐標(biāo)為，則當(dāng)二次函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，根據(jù)函數(shù)圖象可知：自變量的取值范圍為 聯(lián)立正比例函數(shù)與二次函數(shù)解析式，消得：，時正比例函數(shù)與二次函數(shù)的交點，點是線段的中點，則點坐標(biāo)為，即連結(jié)，而 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值總結(jié)復(fù)習(xí)1通過本堂課你學(xué)會了 2掌握的不太好的部分 3老師點評： 課后作

18、業(yè)（2010 東營）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（） A B C D【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】B若的二次方程，因為方程的解都位于的范圍中，求正整數(shù)的值【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】設(shè)，因為方程的兩個解都位于中，所以，滿足條件由得，符合條件的值為由得把各值代入，得，把各值代入，得，符合條件的，的值是，實數(shù)在什么范圍內(nèi)取值時，關(guān)于的方程的一個根大于而小于，另一個根大于而小于？【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合本題中，通過四個不等式即可將拋物線的“位置”確定，從而解不等式組求出的范圍一般地，在討論一元二次方程根的情形時，要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，即先根據(jù)條件“定”出圖象位置，由所給條件畫出滿足條件的圖象，再由圖象列出不等式(組)，最后解不等式(組)求解【答案】設(shè)，由題設(shè)及其示意圖知拋物線與軸的兩交點分別落在和內(nèi)的充要條件是即解得滿足條件的的取值范圍是如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點A，B，C，它的頂點為M，又正比例函數(shù)的圖象于二次函數(shù)相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點。（1）該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點M的坐標(biāo)；（2