1、4/4第3講非線性回歸問題通過變量間的相關(guān)關(guān)系對兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析是數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用其中非線性回歸問題具有十分重要的現(xiàn)實意義例二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A型號二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價y201286.44.43zln y3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)某輛A型號二手車使用年數(shù)為9年時售價約為多少；(eq o(b,sup6()，eq o(a,sup6()小數(shù)點(diǎn)后保留

2、兩位有效數(shù)字)(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7 118元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年參考公式：eq o(b,sup6()eq f(isu(i1,n, )xixto(x)yixto(y),isu(i1,n, )xixto(x)2)eq f(isu(i1,n,x)iyinxto(x) xto(y),isu(i1,n,x)oal(2,i)nxto(x)2)，eq o(a,sup6()eq xto(y)eq o(b,sup6()eq xto(x)，req f(isu(i1,n, )xixto(x)yixto(y),r(isu(i1,

3、n, )xixto(x)2isu(i1,n, )yixto(y)2).參考數(shù)據(jù)：eq isu(i1,6,x)iyi187.4，eq isu(i1,6,x)izi47.64，eq isu(i1,6,x)eq oal(2,i)139，eq r(isu(i1,6, )xixto(x)2)4.18，eq r(isu(i1,6, )yixto(y)2)13.96，eq r(isu(i1,6, )zixto(z)2)1.53，ln 1.460.38，ln 0.711 80.34.解(1)由題意，知eq xto(x)eq f(1,6)(234567)4.5，eq xto(z)eq f(1,6)(32.482

4、.081.861.481.10)2，又eq isu(i1,6,x)izi47.64，eq r(isu(i1,6, )xixto(x)2)4.18，eq r(isu(i1,6, )zixto(z)2)1.53，req f(47.6464.52,4.181.53)eq f(6.36,6.395 4)0.99，z與x的相關(guān)系數(shù)大約為0.99，說明z與x的線性相關(guān)程度很高(2)eq o(b,sup6()eq f(47.6464.52,13964.52)eq f(6.36,17.5)0.36，eq o(a,sup6()eq xto(z)eq o(b,sup6() eq xto(x)20.364.53.6

5、2，z與x的線性回歸方程是eq o(z,sup6()0.36x3.62，又zln y，y關(guān)于x的回歸方程是eq o(y,sup6()e0.36x3.62.令x9，得eq o(y,sup6()e0.3693.62e0.38，ln 1.460.38，eq o(y,sup6()1.46.即預(yù)測當(dāng)某輛A型號二手車使用年數(shù)為9年時售價約為1.46萬元(3)當(dāng)eq o(y,sup6()0.711 8，即e0.36x3.620.711 8eln 0.711 8e0.34時，則有0.36x3.620.34，解得x11，因此，預(yù)測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11年非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始

6、數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，于是對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值eq xto(x)eq xto(y)eq xto(w)eq isu(i1,8, )(xieq xto(x)2eq isu(i1,8, )(wieq xto(w)2eq isu(i1,8, )(xieq

7、 xto(x)(yieq xto(y)eq isu(i1,8, )(wieq xto(w)(yieq xto(y)46.65636.8289.81.61 469108.8注：表中wieq r(xi)，eq xto(w)eq f(1,8)eq isu(i1,8,w)i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，eq o(y,sup6()eq o(a,sup6()eq o(b,sup6()x與eq o(y,sup6()eq o(c,sup6()eq o(d,sup6() eq r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x

8、的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y之間的關(guān)系為eq o(z,sup6()0.2yx，根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題當(dāng)年宣傳費(fèi)x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，eq o(y,sup6()eq o(c,sup6()eq o(d,sup6() eq r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程模型(2)令weq r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于eq o(d,sup6()eq f(isu(i1,8, )wixto(w)yixto(y),isu(i1,8, )wixto(w)2)eq f(108.8,1.6)68，eq o(c,sup6()eq xto(y)eq o(d,sup6()eq xto(w)563686.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq o(y,sup6()100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq o(y,sup6()100.668eq r(x).(3)由(2)知，當(dāng)x49時，年銷售量y的預(yù)報值為eq o(y,sup6()100.668eq r(49)576.6，年利潤z的預(yù)報值為eq o(z,sup6()576.60.24966.32.根據(jù)(2)的