1、2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知向量，且，則（）ABCDD【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列方程求即可.【詳解】向量，且， ，解得.故選：D.2已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，再確定所在復(fù)平面的象限.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A85B85.5C86D98.5C【分析】按照求解百分位數(shù)的流程，先計(jì)算

2、出，故選取第8個(gè)數(shù)作為第75百分位數(shù).【詳解】，故從小到大排列后，35，53，54，58，72，80，85，86，111，125， 取第8個(gè)數(shù)作為第75百分位數(shù)，第8個(gè)數(shù)是86，故選：C4如圖，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論正確的是（）A點(diǎn)平面B直線(xiàn)平面C直線(xiàn)與直線(xiàn)是相交直線(xiàn)D直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)D【分析】根據(jù)給定圖形，利用點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系判斷作答.【詳解】在長(zhǎng)方體中，直線(xiàn)平面，點(diǎn)，且不重合，即點(diǎn)平面，A不正確；點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，即直線(xiàn)平面，B不正確；直線(xiàn)平面，則與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線(xiàn)平面，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，C不正確；直線(xiàn)平面，即直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，又，直線(xiàn)，

3、即直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，因此直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，D正確.故選：D5拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)不大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于5”；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；“點(diǎn)數(shù)為i”，其中.下列結(jié)論正確的是（）ABC與互斥D與互為對(duì)立B【分析】利用事件的關(guān)系與運(yùn)算判斷A，B；利用互斥事件與對(duì)立事件的意義判斷C，D作答.【詳解】因事件含有“點(diǎn)數(shù)為2”的基本事件，而事件不含這個(gè)基本事件，A不正確；事件含有3個(gè)基本事件：“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為3”， “點(diǎn)數(shù)為5”，即，B正確；事件與都含有“點(diǎn)數(shù)為6”的基本事件， 與不互斥，C不正確；事件與不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，與不對(duì)立，D不正確.故選：B6

4、一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有1個(gè)白色球，3個(gè)黑色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩個(gè)球都是黑色球的概率是（）ABCDC【分析】給4個(gè)球編號(hào)，利用古典概率公式借助列舉法計(jì)算作答.【詳解】記1個(gè)白色球?yàn)锳，3個(gè)黑色球?yàn)閎，c，d，依題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球的概率問(wèn)題，相當(dāng)于隨機(jī)摸出兩個(gè)球的概率問(wèn)題，從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球的試驗(yàn)的不同結(jié)果是：Ab，Ac，Ad，bc，bd，cd，共有6個(gè)，兩個(gè)球都是黑色球的事件含有的結(jié)果為：bc，bd，cd，共有3個(gè)，所以?xún)蓚€(gè)球都是黑色球的概率是.故選：C7已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A若，則B

5、若，則C若，則D若，則B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系即可逐一判斷.【詳解】若,則可能平行，可能異面，故A錯(cuò)誤；根據(jù)平行線(xiàn)中的一條平行于平面，則另一條也平行于平面，故B正確，則或，故C錯(cuò)誤，不一定垂直于，故D 錯(cuò)誤，故選：B8如圖，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論：直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為；直線(xiàn)與平面所成的角為；平面與平面所成的二面角為；平面與平面所成的二面角為直二面角.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4C【分析】對(duì)于，由，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角與直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角相等，即，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可；對(duì)于，由平面，得到直線(xiàn)與平面所成的角為，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可； 對(duì)于，知平面，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)

6、得 ，從而得到平面與平面所成的二面角為，計(jì)算即可； 對(duì)于，知平面，由面面垂直的判定定理得到 平面平面，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于，由題意得，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角與直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角相等，即，在長(zhǎng)方體中，所以，因?yàn)?，所以，即直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，故正確；對(duì)于，在長(zhǎng)方體中，平面，所以直線(xiàn)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，則直線(xiàn)與平面所成的角為，故正確；對(duì)于，在長(zhǎng)方體中，平面，平面，平面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面與平面所成的二面角為，由得，則平面與平面所成的二面角為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，在長(zhǎng)方體中，平面，平面，所以平面平面，則平面與平面所成的二面角為直二面角，故正確；故選：C.9如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中

7、心，則下面結(jié)論正確的是（）ABCD向量與能構(gòu)成一組基底A【分析】由正六邊形性質(zhì)及向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算可判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)，由正六邊形的性質(zhì)可知，所以，故A正確；對(duì)于B，由正六邊形的性質(zhì)可知，從而可知與不可能共線(xiàn)，故B不正確；對(duì)于C，故C不正確；對(duì)于D，由正六邊形的性質(zhì)可知與平行，故向量與不能構(gòu)成一組基底，故D不正確.故選：A10在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，則（）ABCDD【分析】利用三角形面積相等，即可求解.【詳解】解：如圖所示，,即即，故選：D.二、填空題11某單位共有職工人，其中高級(jí)職稱(chēng)人，中級(jí)職稱(chēng)人，初級(jí)職稱(chēng)人.現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為的樣

8、本，則從高級(jí)職稱(chēng)中抽取的人數(shù)為_(kāi).【分析】利用分層抽樣可計(jì)算得出從高級(jí)職稱(chēng)中抽取的人數(shù).【詳解】設(shè)高級(jí)職稱(chēng)中抽取的人數(shù)為，則，解得.故答案為.12小李同學(xué)一周的總開(kāi)支分布如下表所示，一周的食品開(kāi)支如下圖所示，則小李同學(xué)一周的蔬菜開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比約為_(kāi).占比日常娛樂(lè)食品通信儲(chǔ)蓄其他20%【分析】利用條形圖求出蔬菜開(kāi)支占食品開(kāi)支的比例，再結(jié)合數(shù)表即可求解作答.【詳解】由條形圖知，小李同學(xué)一周的蔬菜開(kāi)支占食品開(kāi)支的比例是：，而一周的食品開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比60%，所以小李同學(xué)一周的蔬菜開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為.故20%13如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為正方體棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件直線(xiàn)平面的點(diǎn)F的

9、個(gè)數(shù)是_.【分析】為了得到直線(xiàn)平面，只需求得平面平面，即平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都與平面平行，進(jìn)而求得點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都與平面平行，則滿(mǎn)足條件直線(xiàn)平面的點(diǎn)可以是的任何一個(gè)， 點(diǎn)F的個(gè)數(shù)是個(gè).故答案為.三、雙空題14已知（其中i為虛數(shù)單位），則_；_. 2 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的模，即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故2；.15如圖，在正方體中，則四棱錐的表面積為_(kāi)；若該正方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為_(kāi). 【分析】由四棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出各個(gè)面的面積

10、作答，求出正方體外接球半徑即可計(jì)算得解.【詳解】在正方體中，平面，平面，平面，因此，在四棱錐中，而，所以四棱錐的表面積；正方體外接球O的直徑是正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，則球O的半徑，所以球O的體積為.故；四、解答題16拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀(guān)察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率；“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.(1)，是古典概型；(2)；.【分析】（1）確定試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)的構(gòu)成，寫(xiě)出樣本空間，再判斷樣本空間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)及是否等可能作答.（2）用列舉法分別寫(xiě)出事件A，B所

11、含樣本點(diǎn)，再由古典概率公式計(jì)算作答.【詳解】(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，一號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都與二號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果，用數(shù)字表示一號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，用數(shù)字表示二號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則數(shù)組表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，所以這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：，樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn)，由于骰子的質(zhì)地均勻，因此各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.(2)由（1）知，事件A所含樣本點(diǎn)為：，共4個(gè)，所以；事件B所含樣本點(diǎn)為： ，共15個(gè)，所以.17如圖，在正方體中，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線(xiàn)和平面所成的角.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

12、(3)【分析】（1）由線(xiàn)面平行的判定可證明；（2）先證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，從而可得線(xiàn)面垂直；（3）由（2）可得即為所求的角，再解三角形即可.【詳解】(1)證明：因?yàn)樵谡襟w中，可知,而平面，平面，所以平面.(2)證明：因?yàn)樵谡襟w中，可知平面，且平面，所以，又因?yàn)?、是正方形的?duì)角形，因此，又，且平面，所以平面.(3)設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，由（2）可知直線(xiàn)和平面所成的角為,且為直角三角形，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，可得，所以，因此直線(xiàn)和平面所成的角為.18如圖，在三棱維中，平面平面.(1)求證：；(2)求證：平面.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.（2）在平面內(nèi)過(guò)

13、點(diǎn)A作于，利用面面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定推理作答.【詳解】(1)在三棱維中，因，平面，于是得平面，而平面，所以.(2)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作于，如圖，因平面平面，平面平面，則有平面，而平面，于是得，由（1）知，平面，所以平面.19已知點(diǎn).(1)求；(2)若點(diǎn)M滿(mǎn)足，求M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N滿(mǎn)足，且，求的值.(1)16(2)(3)當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解.(2) 根據(jù)向量的坐標(biāo)加減法，即可求解.(3)根據(jù)向量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】(1)解：(2)解：設(shè)，即,得.(3)解：設(shè),得，解得或，當(dāng)時(shí)，得，解得當(dāng)時(shí)，得，解得20如圖，在四棱錐中，底面

14、為正方形，底面，過(guò)點(diǎn)A的平面與棱分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G（E，F(xiàn)，G三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處）.(1)求證：平面平面；(2)若平面，（i）求的值；（ii）求三棱錐的體積.(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）先用線(xiàn)面垂直的判定證明平面，可得平面平面（2）（i）由題意可得，再得是的中點(diǎn)，所以 （ii）根據(jù)平面，可得，進(jìn)一步可得，再求得到平面的距離從而可得體積【詳解】(1)因?yàn)槠矫?，且平面，所以因?yàn)闉檎叫?，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平?2)（i）連接因?yàn)?平面，所以 由，及為正方形，可得，因此，所以 是的中點(diǎn)所以 （ii）由題意，可得，從而可知為直角三角形，且，又因?yàn)槠?/p>

15、面，可得，因此可得，所以，即，所以.設(shè)到平面的距離為，根據(jù)底面，從而有，所以21小明同學(xué)與甲、乙二位同學(xué)進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽，每局兩人比賽，沒(méi)有平局，一局決出勝負(fù).已知每局比賽小明勝甲的概率為，小明勝乙的概率為，甲勝乙的概率為，比賽勝負(fù)間互不影響.規(guī)定先由其中2人進(jìn)行第一局比賽，后每局勝者再與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為這次比賽的獲勝者，比賽結(jié)束.因?yàn)樾∶魇侨酥兴阶钊醯?，所以讓小明決定第一局的兩個(gè)比賽者（小明可以選定自己比賽，也可以選定甲乙比賽）.(1)若小明選定第一局由甲、乙比賽，求“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的概率；(2)請(qǐng)幫助小明進(jìn)行第一局的決策，

16、使得小明最終成為獲勝者的概率最大，說(shuō)明理由.(1)；(2)小明與乙比賽，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）把“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的事件分拆成兩個(gè)互斥事件的和，再求出每個(gè)事件的概率即可計(jì)算作答.（2）按第一局比賽雙方分成3種情況，分別計(jì)算出小明最終成為獲勝者的概率，再比較大小作答.【詳解】(1)第一局由甲、乙比賽，“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的事件A，第一局甲勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，第一局乙勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，事件與互斥，,，則有，所以“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的概率是.(2)第一局小明與甲比賽，小明最終成為獲勝者的事件，是以下3個(gè)互斥事件的和：小明勝甲，小明勝乙的事件；小明勝甲，乙勝小明，甲勝乙，小明勝甲