1、2021-2022學(xué)年北京市平谷區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知向量， 且，那么的值為（）ABCDA【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因為， 且，所以，所以，解得.故選：A2的值等于（）ABCDB【分析】由余弦的差角公式求解即可【詳解】故選：B3如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，那么該四棱柱的體積為（）ABCDC【分析】該四棱柱的體積為，由此能求出結(jié)果【詳解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，該四棱柱的體積為故選：C4已知一個正方體的八個頂點都在一個球的表面上，若此正方體的棱長為1，那么這個球的表面積是（）ABCDD【分析】正方體外接球的直徑就

2、是正方體的體對角線，由勾股定理求出直徑，再用球的表面積公式求解即可【詳解】因為一個正方體的八個頂點都在一個球的表面上，所以正方體外接球的直徑就是正方體的體對角線，由勾股定理可得體對角線為，所以球的半徑是,所以這個球的表面積是，故選：D5將函數(shù)的圖像向左平移個單位后 ，所得圖像的解析式是()ABCDA【詳解】由三角函數(shù)平移的性質(zhì)和結(jié)論可知，將函數(shù)的圖像向左平移個單位后 ，所得圖像的解析式是:.本題選擇A選項.6已知向量、在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示，則（）ABCDC【分析】建立平面直角坐標系，寫出、的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】建立如下圖所示的平面直角坐標系，則，則，

3、因此，.故選：C.7如圖，設(shè)，兩點在河的兩岸，在點所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，后，就可以計算出，兩點的距離為（）（其中，精確到）ABCDC【分析】由正弦定理求解即可【詳解】由題意可知，由正弦定理可知，即，解得，故選：C8已知平面，則 “”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件A【分析】若以“”作為條件，先證明l垂直于，進而證明“”；若以“”作為條件，結(jié)合正方體即可判斷.【詳解】如圖1，設(shè)，在內(nèi)作直線m，使得，而，所以.在內(nèi)作直線n，使得，而，所以.于是，又因為，所以，而，所以，故.如圖2，過直線l作平面與平面交于r，若，則以，而，故.如圖3，在

4、正方體，記平面，平面，平面ABCD，平面分別為，容易判斷，但.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9已知關(guān)于的方程在內(nèi)有解，那么實數(shù)的取值范圍（）ABCDC【分析】可得在內(nèi)有解，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，令，則，所以，解得.故選：C.10在正方體中，是正方體的底面（包括邊界）內(nèi)的一動點，（不與重合），是底面內(nèi)一動點，線段與線段相交且互相平分，則使得四邊形面積最大的點是（）A個B個C個D無數(shù)個C【詳解】線段與線段相交且互相平分，四邊形是平行四邊形，因的長為定值，為了使四邊形面積最大，只須到的距離為最大即可，由正方體的特征可以知道，當點位于，時，平行四

5、邊形面積相等，且最大，則使得四邊形面積最大的點有個故選點睛:立體幾何中最值問題,主要解決方法為立體問題平面化，即將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化到某個平面上線面關(guān)系，結(jié)合平面幾何或解析幾何知識進行轉(zhuǎn)化解決.二、填空題11已知，則的值為_.【分析】由二倍角公式計算即可.【詳解】.故12已知復(fù)數(shù)z=1+3i，則_.【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運算即可求得答案.【詳解】由題意，.故10.13已知平面向量滿足，且與的夾角為，則_【分析】直接由結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因為平面向量滿足，且與的夾角為，所以，故14在中，則_.【分析】由余弦定理建立方程求解即可.【詳解】因為，所以由余弦定理可得，即，解得或（舍

6、）故615關(guān)于函數(shù)，有下面四個結(jié)論：是偶函數(shù)；無論取何值時，恒成立；的最大值是；的最小值是.其中正確的結(jié)論是_. 【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷；通過代特值可以判斷；將函數(shù)化為，進而結(jié)合函數(shù)的有界性判斷；容易判斷當x=0時，同時取到最小值0和-1，進而判斷.【詳解】對，則函數(shù)為偶函數(shù)，正確；對，錯誤；對，而，則，又，于是，錯誤；對，當x=0時，同時取到最小值0和-1，則的最小值是，正確.故.三、解答題16已知向量，(1)當時，求x的值；(2)當x=-1時，求向量與的夾角的余弦值；(3)當時，求(1)；(2)；(3).【分析】（1）由平面向量平行坐標表示即可求得答案；（2）由平面向量數(shù)量積的坐標運

7、算和夾角公式即可求得答案；（3）由平面向量垂直的坐標運算求出參數(shù)，進而求出向量的模.【詳解】(1)，即(2)，向量與向量的夾角的余弦值為(3)依題意 ，即，17如圖，在三棱錐中，底面，分別為，的中點.設(shè)平面與平面交于直線(1)求證：平面；(2)求證：.(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）先證明，然后結(jié)合線面垂直的判定定理證明問題；（2）先證明平面，然后結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證明問題.【詳解】(1)因為 平面， 平面， 所以 .因為 ， 所以 平面.(2)在中，因為 ，分別為，的中點，所以 .因為 平面，平面，所以 平面.因為平面與平面交于直線，所以.18已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最大

8、值，并求出函數(shù)取得最大值時的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程(1)最大值是，；(2)單調(diào)遞減區(qū)間：對稱軸方程：【分析】（1）先通過輔助角公式將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，進而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得答案；（2）結(jié)合（1），通過正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸求得答案即可.【詳解】(1)因為，所以當，即時，有最大值是.所以函數(shù)的最大值是，取得最大值時的值是.(2)由，所以所以的單調(diào)遞減區(qū)間是由，所以的對稱軸方程是19已知，且為第二象限角.(1)求， ，的值；(2)求的值.(1)，(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式求解即可；（2）由余弦的差角公式結(jié)合（1）的計算結(jié)果求解即可【詳解】(1

9、)由，且為第二象限角，可得， ， ；(2)20如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點. 為上的點且.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積.(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得，再由線面垂直的判定定理證明即可；（2）取中點，取BC中點連接，由平行的傳遞性與線面平行的判定定理證明即可；（3）由等積法求解即可【詳解】(1)在直三棱柱中，底面，所以，又因為，所以平面.(2)取中點，取BC中點連接，因為為的中點，為上的點且，所以為的中點，所以因為，分別是、的中點，所以，且=，因為，且=，所以，且=，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，又因為平面，平面，所以平面.(3)因為，所以=，所以三棱錐體積等于三棱錐的體積為：=.21在ABC中，(1)求的大小；(2)若， 求，并計算的面積；從， 這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)；(2)若選：，；若選：，.【分析】（1）由條件結(jié)合正弦定