1、2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1不等式的解集是（）ABCDC【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可【詳解】解：解得.故選：C.2設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）ABCDD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，即，所以；故選：D3若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）ABCD1B【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)再求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)滿足，所以，所以的虛部為-1，故選：B4是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則D【分析】利用空間直線和平面的位置關(guān)系可以判斷選項ABC錯誤，選項

2、D正確.【詳解】解：A. 若，則或或與斜交，所以該選項錯誤；B. 若，則或異面，所以該選項錯誤；C. 若，則或與斜交，所以該選項錯誤；D. 若，則，所以該選項正確.故選：D5已知中，點M是線段的中點，則（）ABCDA【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，畫出圖形，再進行分析即可【詳解】解：已知中，點是線段的中點，作圖，如圖所示：則，故選：A6已知向量滿足，且，則與夾角的余弦值為（）ABCDB【分析】根據(jù)向量模的坐標運算可得，結(jié)合數(shù)量積的運算律可得，代入夾角公式運算求解【詳解】根據(jù)題意可得：，則故選：B7如圖：已知正四面體中E在棱上，G為的重心，則異面直線與所成角為（）ABCDA【分析】由三角形重心特

3、點可知，取AB中點F，則，則可以找到直線的平行線，按照異面直線所成角定義求解即可.【詳解】解：取AB中點F，連接FC，F(xiàn)D，如圖所示：為的重心，F(xiàn)為AB中點又中，則異面直線與所成角為或其補角由題可知，為正三角形異面直線與所成角為.故選：A.8平面四邊形中，則最小值（）ABCDA【分析】由題意，求得BC及的大小，分析可得P、A、B、C四點共圓，如圖建系，求得各點坐標，即可得坐標，根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】因為，所以，所以，則，又，所以點P在以BC為直徑的圓的劣弧AC上，分別以AB、AC為x，y軸正方向建系，取BC中點E，如圖所示所以，則圓E的方程為，設(shè)點，其中，則，所以，

4、即最小值為-2，故選：A二、多選題9下列結(jié)論正確的是（）A某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學(xué)進行體有健康測試，則應(yīng)抽取男生6人B某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正而朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面朝上的概率為0.6C一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位數(shù)為2D某學(xué)員射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4則命中環(huán)數(shù)的標準差為2AD【分析】根據(jù)分層抽樣、概率、百分位數(shù)及標準差的定義一一判斷即可；【詳解】解：對于A：男生應(yīng)抽取人，故A正確；對于B：某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，

5、則正面朝上的頻率為，但是無論擲硬幣多少次，再一次擲硬幣，硬幣正面朝上的概率均，故B錯誤；對于C：這組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為：、，因為，所以分位數(shù)為，故C錯誤；對于D：命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：，命中環(huán)數(shù)的方差為：，所以命中環(huán)數(shù)的標準差為，故D正確故選：AD10下列結(jié)論正確的是（）A已知向量，則與垂直的單位向量為或B已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為C已知i為虛數(shù)單位，若是實系數(shù)一元二次方程的一個根，則D已知，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則BC【分析】結(jié)合向量垂直、投影向量、一元二次方程的根、純虛數(shù)等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，所以A選項錯誤.B選項，兩邊平方得，所以

6、在方向上的投影向量為，B選項正確.C選項，是實系數(shù)一元二次方程的一個根，則是實系數(shù)一元二次方程的另一個根，所以，則，C選項正確.D選項，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，解得，D選項錯誤.故選：BC11已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B若，則函數(shù)的最大值為C若，則D若，則的最小值為ACD【分析】根據(jù)輔組角公式可得，對于A：代入運算可得為的零點，即為的對稱中心；對于B：根據(jù)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得；對于C：根據(jù)題意整理可得，利用倍角公式可得；對于D：根據(jù)題意可得同為最大值點或同為最小值點，則的最小值為的最小正周期【詳解】，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，A正確；，則，則，B錯誤；，則又，則，C正確；若

7、，則同為最大值點或同為最小值點的最小值為的最小正周期，D正確；故選：ACD12如圖，四棱錐的底面為菱形，底面，P是上任意一點（不含端點），則下列結(jié)論中正確的是（）A若平面，則BB到平面的距離為C當(dāng)P為中點時，過P、A、B的截面為直角梯形D當(dāng)P為中點時，有最小值A(chǔ)BC【分析】對于A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明判斷；對于B：利用等體積法求D到平面的距離；對于C：根據(jù)三角形中位線先證，則過P、A、B的截面為，再利用長度結(jié)合勾股定理證；對于D：借助于側(cè)面展開圖分析判斷【詳解】平面，平面，平面平面，A正確；設(shè)B到平面的距離為，則有，即，則，B正確；當(dāng)P為中點時，如圖1，取的中點，連接則，則過P、A、B的

8、截面為，則，則，即為直角梯形，C正確；借助于側(cè)面展開圖，如圖2，連接交于點，此時為最小值若P為中點時，則，這與題意相矛盾，D錯誤；故選：ABC三、填空題13已知，若A、C、D三點共線，則_【分析】由共線列方程，化簡求得的值.【詳解】，由于三點共線，所以共線，所以.故14某同學(xué)從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個球類項目中任選兩項報名參加比賽，則籃球被選中的概率為_【分析】利用列舉法列出所以可能結(jié)果，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：記籃球、足球、羽毛球、乒乓球分別為、，則從中任選兩項有、共種情況；滿足選中籃球的有、共種情況；所以籃球被選中的概率為；故15已知S為圓錐的頂點，O為底面圓心

9、，若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的體積為_【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，根據(jù)底面周長與側(cè)面展開圖的弧長相等得到，再由勾股定理求出，最后由體積公式計算可得；【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，依題意，即，又，所以，所以圓錐的體積；故16某校高一級學(xué)生進行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體挖去正四棱臺后所得的幾何體，其中，為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為_【分析】根題意計算該幾何體的表面積，再求得質(zhì)量即可【詳解】由題意，該幾何體側(cè)面4個面的面積和為，底面積，正方形面積.考慮梯形，高為，故正四棱

10、臺的側(cè)面積為，故該模型表面積為，故所需金屬膜的質(zhì)量為故四、解答題17在，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題在中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且_(1)求角B的大小；(2)若，的面積為，求周長(1)(2)【分析】（1）若選，則由正弦定理將已知條件統(tǒng)一成角的形式，從而可求出，從而可求出角B的大?。蝗暨x，由正弦定理將已知條件統(tǒng)一成邊的形式，再利用余弦定理可求出角B的大??；若選由三角形的面積公式和數(shù)量積的定義對已知條化簡可得，從而可求出角B的大小；（2）由的面積為，可得，然后利用余弦定理可求出的值，從而可求出周長【詳解】(1)若選，因為，所以由正弦定理得,因為，所以，因為

11、，所以，因為，所以，若選，因為，所以由正弦定理得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以，若選，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，(2)因為的面積為，所以，得，因為，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以周長為18為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團知識競賽活動，為了解全市參賽者成績的情況，從所有參賽者中隨機抽樣抽取100名，將其成績整理后分為6組，畫出頻率分布直方圖如圖所示（最低90分，最高150分），但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知道第二組的頻率是第一組的2倍(1)求第一組、第二組的頻率各是多少？并補齊頻率分布直方圖；(2)現(xiàn)劃定成績大于或等于上四分位數(shù)即第75

12、百分位數(shù)為“良好”以上等級，根據(jù)直方圖，估計全市“良好”以上等級的成績范圍（保留1位小數(shù)）；(3)現(xiàn)知道直方圖中成績在內(nèi)的平均數(shù)為136，方差為8，在內(nèi)的平均數(shù)為144，方差為4，求成績在內(nèi)的平均數(shù)和方差(1)第一組的頻率為，則第二組的頻率為，頻率分布直方圖見解析；(2)(3)平均數(shù)為，方差為【分析】（1）設(shè)第一組的頻率為，則第二組的頻率為，根據(jù)所有的頻率之和為得到方程，即可求出，即可補全頻率分布直方圖；（2）按照百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（3）按照平均數(shù)、方差公式計算可得；【詳解】(1)解：設(shè)第一組的頻率為，則第二組的頻率為，依題意，解得，所以第一組的頻率為，則第二組的頻率為，補全頻率分布直

13、方圖如下：(2)解：由，設(shè)上四分位數(shù)為，則，所以，解得，所以全市“良好”以上等級的成績范圍；(3)解：由頻率分布直方圖可知中有人，設(shè)為，則， 則中有人，設(shè)為，則，則所以成績在內(nèi)的平均數(shù)為；所以所以方差為19如圖，在正三棱柱中，已知，且D為的中點(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的余弦值(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，即可得到，從而得證；（2）取的中點，連接、，即可證明平面，則為直線與平面所成角，再由勾股定理求出、，再由銳角三角函數(shù)計算可得；【詳解】(1)證明：連接，設(shè)，連接，在正三棱柱中，四邊形為矩形，則為的中點，又為的中點，所以，平面，平面，所以平面(2)解：取的中點

14、，連接、，在正三棱柱中，平面，平面，所以，又為等邊三角形，所以，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為，所以，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為；202021年12月8日召開的中央經(jīng)濟工作會議，總結(jié)了2021年經(jīng)濟工作，分析了當(dāng)前經(jīng)濟形勢，并對2022年經(jīng)濟工作做出部署，其中強調(diào)加大對科技創(chuàng)新等領(lǐng)域的支持現(xiàn)國家支持甲、乙、丙三家公司同時對某一科技產(chǎn)品進行攻堅研發(fā)，已知每一輪研發(fā)中滿足：甲公司研發(fā)成功的概率為，甲、乙兩公可都研發(fā)成功的概率為，乙、丙兩家公司都研發(fā)不成功的概率為，各公司是否研發(fā)成功互不影響(1)求乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率；(2)若至少有一家公司研發(fā)成功，則稱作實現(xiàn)了

15、“取得重大突破”的目標，如果沒有實現(xiàn)目標，則三家公司都進行第二輪研發(fā)，求不超過兩輪研發(fā)就能實現(xiàn)“取得重大突破”目標的概率(1)乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率分別為；(2).【分析】（1）利用相互獨立事件概率的乘法公式計算即可；（2）利用對立事件的定義計算一輪研發(fā)“取得重大突破”的事件概率，再結(jié)合互斥事件與相互獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】(1)解：設(shè)甲、乙、丙公司研發(fā)成功分別為事件A，B，C則，由于各公司是否研發(fā)成功互不影響，事件A，B，C相互獨立，故乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率分別為.(2)解：設(shè)一輪研發(fā)“取得重大突破”的目標為事件M設(shè)實現(xiàn)“取得重大突破”目標為事件N，所以實現(xiàn)“

16、取得重大突破”目標的概率為.21如圖，在平面四邊形中，(1)若，求的面積；(2)若，求(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所給條件，可得AC的值，由余弦定理，可得，進而可得的值，代入面積公式，即可得答案.（2）在中，根據(jù)正弦定理，可得，在中，可得，兩式聯(lián)立，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得答案.【詳解】(1)因為，由余弦定理得，即，由余弦定理得，所以，所以的面積(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，聯(lián)立可得，因為，所以22如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，O是的中點(1)求證：平面平面；(2)點M在棱上，滿足，且三棱錐的體積為，求的值及二面角的正切值(1)證明見解析(2)，二面角的正切值為【分析】（1）連接，則可得四邊形為正方形，得，由已知條件結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，則由線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論；（2）設(shè)點到平面的距離分別為，由可求出，由三棱錐的體積為，可求出，再由可求出的值，取靠近點的四等份點，連接，過點作于，連接，則可得為二面角的平面角，然后在中可求得結(jié)果【詳解】(1)連接，因為底面中，所以四邊形為正方形，所以，因為側(cè)面為等邊三