1、 冪函數練習例、函數f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數，且當x(0，)時，f(x)是增函數， 求f(x)的解析式分析解答本題可嚴格根據冪函數的定義形式列方程求出m，再由單調性確定m.解 根據冪函數定義得 m2m11，解得m2或m1， 當m2時，f(x)x3在(0，)上是增函數； 當m1時，f(x)x3在(0，)上是減函數，不符合要求故f(x)x3.點評冪函數yx (R)，其中為常數， 其本質特征是以冪的底x為自變量，指數為常數(也可以為0) 這是判斷一個函數是否為冪函數的重要依據和唯一標準 對本例來說，還要根據單調性驗根，以免增根例3、如圖是冪函數yxm與yxn在第一象限內的圖象，則()A

2、-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1解析在(0,1)內取同一值x0，作直線xx0，與各圖象有交點，則“點低指數大” 如圖，0m1，nxeq f(1,3)，求x的取值范圍錯解由于x20，xeq f(1,3)R，則由x2xeq f(1,3)，可得xR.錯因分析上述錯解原因是沒有掌握冪函數的圖象特征， 尤其是yx在1和01兩種情況下圖象的分布正解作出函數y=x2和y=的圖象(如右圖所示)，易得x1.分析：底數分別不同而指數相同，可以看作是和。兩個冪函數，利用冪函數的單調性質去理解。解：(1)(0,+)是遞增的又1.11.4 利用冪函數的性質比較數的大小。例3比較的大小。分析：三個量比較大小，

3、先考慮取值的符號。啟示：當直接比較大小難以進行時，可以考慮借助一些中間量特殊值，如0，1或其他數來解決。例6、比較下列各組中兩個數的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查冪函數y的單調性，在第一象限內函數單調遞增， 1.51.7，（2）考查冪函數y的單調性，同理0.71.50.61.5（3）先將負指數冪化為正指數冪可知它是偶函數，又，將下列各組數用小于號從小到大排列：（1） （2） （3）解：（1） （2）（3）【例1】(1)已知,當時,有,則的大小關系是 A. B. C. D.【捕捉題情】(1)在同一坐標系中畫出兩個遞增的指數函圖象； (2)由添畫一條直線

4、,出現兩個交點； (3)由確認與的位置,并確認與的圖象,判斷的大小. xyy=2Ox2x1f(x)g(x)(1)解:在同一坐標系中畫出兩個遞增的指數函圖象,畫上直線,由與知在右邊的圖象為的圖象,于是由的圖象在軸右邊的增加速度較快,得,選C. (2)函數的圖象如圖,其中為常數,則下列結論正確的是A. B.C. D.(2)解:的圖象由的圖象向左平移個單位得到,可知,的圖象與軸的交點在的下方,有,即,當時,函數遞減,于是,選A.例1已知函數為偶函數，且，求m的值， 并確定的解析式分析：函數為偶函數，已限定了必為偶數，且， ，只要根據條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數，應為偶數又

5、，即，整理，得，又，或1當m=0時，為奇數（舍去）；當時，為偶數故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時，要充分挖掘已知條件中的每一個信息， 做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅實的基礎例2已知函數，設函數， 問是否存在實數，使得在區(qū)間是減函數， 且在區(qū)間上是增函數？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數的單調性時，可以利用定義，也可結合函數的圖象與性質進行判斷， 但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設存在實數，使得滿足題設條件，設，則 若，易知，要使在上是減函數， 則應有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數， 則應有恒成立，而

6、，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實數，使得在上是減函數，且在上是增函數評注：本題是一道綜合性較強的題目，是冪函數性質的綜合應用 判斷函數的單調性時，可從定義入手，也可根據函數圖象和性質進行判斷， 但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時要注意有針對性的訓練分類討論的思想例1已知函數的圖象與兩坐標軸都無公共點，且其圖象關于y軸對稱，求n的值，并畫出函數的圖象解：因為圖象與y軸無公共點，故， 又圖象關于y軸對稱，則為偶數， 由，得，又因為，所以 當時，不是偶數； 當時，為偶數； 當時，為偶數； 當時，不是偶數； 當時，為偶數； 所以n為，1或3此時，冪函數的解析為或，其圖象如圖所示例3

7、已知冪函數（）的圖象與軸、軸都無交點，且關于原點對稱，求的值分析：冪函數圖象與軸、軸都無交點，則指數小于或等于零；圖象關于原點對稱，則函數為奇函數結合，便可逐步確定的值解：冪函數（）的圖象與軸、軸都無交點，；，又函數圖象關于原點對稱，是奇數，或數形結合的思想例2已知點在冪函數的圖象上，點，在冪函數的圖象上問當x為何值時有：（）；（）；（）分析：由冪函數的定義，先求出與的解析式，再利用圖象判斷即可解：設，則由題意，得，即再令，則由題意，得，即在同一坐標系中作出與的圖象，如圖2所示由圖象可知：（1）當或時，；（2）當時，；（3）當且時，小結：數形結合在討論不等式時有著重要的應用，注意本題中的隱含條

8、件轉化的數學思想例3函數的定義域是全體實數，則實數m的取值范圍是（）解析：要使函數的定義域是全體實數，可轉化為對一切實數都成立，即且解得故選（）例：已知冪函數f(x)xm22m3(mN*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函數，求滿足(a1)(32a)的a的范圍類型一：求參數的取值范圍已知函數為偶函數，且，求m的值，并確定的解析式分析：函數為偶函數，已限定了必為偶數，且，只要根據條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數，應為偶數又，即，整理，得，又，或1當m=0時，為奇數（舍去）；當時，為偶數故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時，要充分挖掘已知條件中的每一個信息，做到

9、不重不漏，才可為正確解題奠定堅實的基礎類型二：求解存在性問題已知函數，設函數，問是否存在實數，使得在區(qū)間是減函數，且在區(qū)間上是增函數？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數的單調性時，可以利用定義，也可結合函數的圖象與性質進行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設存在實數，使得滿足題設條件，設，則若，易知，要使在上是減函數，則應有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數，則應有恒成立，而，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實數，使得在上是減函數，且在上是增函數評注：本題是一道綜合性較強的題目，是冪函數性質的綜合應用判斷函數的

10、單調性時，可從定義入手，也可根據函數圖象和性質進行判斷，但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時要注意有針對性的訓練類型三：類比冪函數性質，討論函數值的變化情況例3討論函數在時隨著x的增大其函數值的變化情況分析：首先應判定函數是否為常數函數，再看冪指數，并參照冪函數的性質討論解：（1）當，即或時，為常函數；（2）當時，或，此時函數為常函數；（3）即時，函數為減函數，函數值隨x的增大而減??；（4）當即或時，函數為增函數，函數值隨x的增大而增大；（5）當即時，函數為增函數，函數值隨x的增大而增大；（6）當，即時，函數為減函數，函數值隨x的增大而減小評注：含參數系數問題，可以說是解題中的一個致

11、命殺手，是導致錯誤的一個重要因素這應引起我們的高度警覺冪函數這一知識點，表面上看內容少而且容易，實質上則不然它蘊涵了數形結合、分類討論、轉化等數學思想，是培養(yǎng)同學們數學思維能力的良好載體下面通過一題多變的方法探究冪函數性質的應用例1若，試求實數m的取值范圍錯解（數形結合）：由圖可知 解得，且剖析：函數雖然在區(qū)間和上分別具有單調性，但在區(qū)間上不具有單調性，因而運用單調性解答是錯誤的正解（分類討論）：（1）解得；（2）此時無解；（3）， 解得綜上可得現在把例1中的指數換成3看看結果如何例2若，試求實數m的取值范圍錯解（分類討論）：由圖2知，（1）1， 解得；（2）此時無解；（3）， 解得綜上可得剖

12、析：很明顯，此解法機械地模仿例的正確解法，而忽視了函數間定義域的不同由此，使我們感受到了冪函數的定義域在解題中的重要作用正解（利用單調性）：由于函數在上單調遞增，所以，解得例2正確解法深化了對冪函數單調性的理解，激活了同學們的思維下面再對和兩個問題與解法進行探究例3若，試求實數m的取值范圍解：由圖3，解得例4若，試求實數m的取值范圍解析：作出冪函數的圖象如圖4由圖象知此函數在上不具有單調性，若分類討論步驟較繁，把問題轉化到一個單調區(qū)間上是關鍵考慮時，于是有，即又冪函數在上單調遞增， 解得，或m4上述解法意識到冪函數在第一象限的遞增性，于是巧妙運用轉化思想解題，從而避免了分類討論，使同學們的思維又一次得到深化與發(fā)展解題點悟：通過以上探究，我們對冪函數的定義域、單調性、奇偶性及圖象又有了較深刻的認識，同時對于形如（是常數）型的不等式的解法有了以下體