1、本科生自主學(xué)習(xí)報(bào)告誤差理論與數(shù)據(jù)處理學(xué)生姓名 TOC o 1-5 h z 專業(yè)學(xué)號(hào)學(xué)院二。一九年五月y = b0 + b式中，為和b為回歸方程的回歸系數(shù)。實(shí)際測(cè)得值先與這個(gè)回歸值之差就是剩余誤差% =兒一?=兒一壇 一 bxt，t = 12 ，N應(yīng)用最小二乘法求解回歸系數(shù)，就是在使剩余誤差平方和為最小的條件下求 解回歸系數(shù)為和b,這種方法我們?cè)诘谖逭轮幸呀?jīng)熟悉了，用矩陣形式，令那么誤差方程的矩陣形式為Y-Xb = V對(duì)照= 又，設(shè)測(cè)得值%的精度相等，那么有b =（xTxy1xTY計(jì)算上式的以下矩陣A = XTX = N維t=lN 、 % t=lN t蛭c = 4T =- %oi(l,N 2),

2、回歸在0. 01的水平上高度顯著。0.05(LN - 2)F Fo,oi(LN - 2),回歸在 0. 05 的水平上顯著。%io(l,N 2)F %o5(LN 2),回歸在0. 1的水平上顯著。F1 kAnp Anp :八夕1 %zf122 匕 l 17版 匕I n匕 li211 X X . W22iMX2iW不I )為 XkipolB=慶A-X f Y = 2乂1生即(X X)8 = x Y由于x，x滿秩，故有6 = (X X)TX Y將上述過程用矩陣表示如下19尋找一組參數(shù)估計(jì)值，使得殘差平方和最小nQ = Wee =(y-x6)(y-x6)i=l即求解方程組：U人,人瓦(y-X0)(丫

3、-xs)= 0/ / / / / / / /瓦(y Y - B x Y-Y X6 + 6 X x6) = 0等(y y - 2yx6 + 6xx6)= ox y + x x6 = o得至U：x，y = x，xg于是6 = (X X)_ Y正規(guī)方程組的另一種寫法：對(duì)于正規(guī)方程組X，Y = X，X8將Y = xB + e帶入得:X , XR + X e = x XB于是X/e = 0寸2 G = 0= O j = 12，k上面兩個(gè)式子是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法。二、回歸方程的顯著性和精度來源平方和臼由度方差F回 歸 殘 余M U=W(RP)2=2型小 t) = 1MU/MU/M a2

4、Q =一%)2 =lyyutN-M-1 = QN-M-1總C / J - LyyN-120三、每個(gè)自變量在多元回歸中所起的作用問題：一個(gè)回歸方程顯著，并不意味著每個(gè)自變量對(duì)因變量y的影響都是重 要的，有些重要，有些次要，如何確定？解決方法：考察偏回歸平方和外的F統(tǒng)計(jì)量衡量每個(gè)自變量為在回歸中所起 的作用。偏回歸平方和/ b/R = U U / =QiU-M個(gè)變量%1，%2,M所引起的回歸平方和；U去除勺后的M-1個(gè)變量。用剩余平方和Q對(duì)它進(jìn)行F檢驗(yàn)：:PJ1當(dāng)代 七(LN - M 一 1)時(shí)，那么認(rèn)為變量修對(duì)y的影響在a水平上顯著。21第五章線性測(cè)量的參數(shù)最小二乘法處理測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度

5、t的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。t/151821242730F/N43.6143. 6343. 6843.7143. 7443. 78設(shè)t無誤差，F(xiàn)值隨t的變化呈線性關(guān)系F = kO + kt,試給出線性方程中系 數(shù)左。和k的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。A解：利用正規(guī)方程的矩陣形式求解，誤差方程丫 = L - AX可寫成W r1，21，3%15-18自左 一14 7 02 2 2 31111V2%刀6.%力6-43.61-43.6343.6843.7143.7443.781 1A= 1 1 1 -115-1821242730-可得夕=附 =L屋L = (AtA)-1AtL-K -式中c, 二 (A

6、/A)76135以19453195-135-i35ir i6 J1543.6143.63111111 43.6818 21 24 27 30J 43.7143.7443.7843.43240.01152A 將最正確估計(jì)值代入誤差方程P = L AX,得43.43240.011520.0048-0.009760.005680.00112-0.003440.002為求出估計(jì)量的，k的精度，首先需要給出直接測(cè)量所得測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。測(cè)量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差。來表示。因?yàn)闊o法求得。的真值，因而只能依據(jù)有限 次的測(cè)量結(jié)果給出。的估計(jì)值6,所謂給出精度估計(jì)，實(shí)際上是求出估計(jì)值6。一

7、、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)1、等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)對(duì)兒進(jìn)行n次等精度測(cè)量，給出。2的估計(jì)量?？梢宰C明QX1巧2)2是自由度 可一血的42變量。因而由此可知，去殘差誤差平方的平均值作為。2的估計(jì)量存2,那么所得戶將對(duì)有系 統(tǒng)偏移，即將不是M無偏估計(jì)量。因?yàn)閕n)所以，可取八2(J作為。2的無偏估計(jì)量。因此測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為一般寫成2、不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)不等精度測(cè)量的精度估計(jì)與等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)相似，只是公式中的 剩余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的剩余誤差平方和，那么2 EJUp”/=n t故測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為(J =二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)最小二乘法所確定的估計(jì)量%1，%2,

8、，打的精度取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線 性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系。對(duì)給定的線性方程組，假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)h。，品 的精度，就可以求最小二乘法估計(jì)值的精度。對(duì)于等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)，設(shè)有正規(guī)方程W ail 卜=W ailail X1 + W QQi2 + , + W 五 Xti=lni=lni=lni=lnai2ail X1 + ai2ai2 %2 + l ai2ait xti=li=li=li=l2 ait k = W。江心1 X1 + E aitai2 x2 +f- W Q比Q比 Xti=li=li=li=l(*4)T =dn21利用上述不定乘數(shù)，可求得X1 =Ji + 2% + + n

9、ln其中:41 = dii0ii + di2a12 HF dltalt/=1121 + %2a22 + + 源田2t JL乙g4n = llanl + di2%i2 dltant由于，1/2,八為等精度。的相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，那么222+2 + +4力)2 二 JL JL乙JL / L同理可得xi2 =狐。2。= 12*)那么相應(yīng)的最小二乘估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差為GX1 = 00 xt = o如)式中，。為測(cè)量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于不等精度測(cè)量的精度估計(jì)，經(jīng)過推導(dǎo)可得:ffxt = 0Vdtt J式中，。為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。各不定乘數(shù)du，d22f，“由(*P/)T求得:(*PA)T =dii21di2

10、422ditd2t那么根據(jù)上面的推導(dǎo)，可得:dn41n222-3195945 L-135 135-63195= qa r = 3.380956d22 = 0.00635可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為(jko = 0.00647,3.38095 = 0.00119(jkl =(t722 = 0.0 0 6 47V0.00635 = 0.000516第六章回歸分析一、函數(shù)與相關(guān)人們通過實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系可分為兩種類型.函數(shù)關(guān)系確定性現(xiàn)象之間的關(guān)系常常表現(xiàn)為函數(shù)關(guān)系，即一種現(xiàn)象的數(shù)量確定以后 另一種現(xiàn)象的數(shù)量也隨之完全確定，表現(xiàn)為一種嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)一個(gè)或幾個(gè) 變量取一定的值時(shí)，另一個(gè)變量有確定值與之

11、對(duì)應(yīng)，那么稱這種關(guān)系為確定性的函 數(shù)關(guān)系，記為y=f(x),其中x稱為自變量，y稱為因變量。一只股票的成交額與該股票的成交量之間的關(guān)系，保持成交價(jià)格P不變的情 況下，當(dāng)股票的成交量X確定后，其成交額丫也隨之確定，三者之間的關(guān)系是： Y=PXO.相關(guān)關(guān)系事物或現(xiàn)象之間的關(guān)系是錯(cuò)綜復(fù)雜的，但大致可以分為三種情況。第一種是 因果關(guān)系，這種關(guān)系說明的是事物之間相互依存，互為因果的關(guān)系，是事物之間 存在的一種必然關(guān)系，即一種引起與被引起的關(guān)系，因在前果在后的順序是不能 顛倒的。第二種是共變關(guān)系，例如夏天冷飲的銷量和中暑人數(shù)的關(guān)系。當(dāng)天氣炎 熱時(shí)，兩者都會(huì)增加，但通常我們不認(rèn)為它們之間有什么因果關(guān)系。但事

12、實(shí)上兩 者皆起因于天氣炎熱的因素，它們之間并沒有直接的關(guān)系。第三種是相關(guān)關(guān)系， 即兩類現(xiàn)象在開展變化的方向與大小方面存在一定的聯(lián)系，但不是前面兩種關(guān)系。具有相關(guān)關(guān)系的兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系是比擬復(fù)雜的，甚至可能包含有暫時(shí)甚 至可能包含有暫時(shí)尚未認(rèn)識(shí)的因果關(guān)系以及共變關(guān)系在內(nèi)。例如，同一組學(xué)生的 數(shù)學(xué)成績(jī)和語文成績(jī)的關(guān)系。事物或現(xiàn)象的相關(guān)種類可以從方向、形態(tài)及變量個(gè)數(shù)諸多方面劃分。1、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和零相關(guān)正相關(guān)是指兩列變量變動(dòng)方向相同，一列變量由大到小或由小到大變化時(shí)， 另一列變量亦由大到小或由小到大變化。如身高與體重，身高越長(zhǎng),體重就越重。負(fù)相關(guān)是指兩列變量變動(dòng)方向相反，一列變量由大到小或由小到

13、大變化時(shí), 另一列變量反而由小到大或由大到小變化。例如隨著計(jì)算練習(xí)次數(shù)增加或練習(xí)時(shí) 間加長(zhǎng)，計(jì)算錯(cuò)誤就越少等等。零相關(guān)是指兩列變量之間沒有關(guān)系，即一列變量變動(dòng)時(shí)，另一列變量作無規(guī) 律的變動(dòng)，又稱為無相關(guān)。如相貌與人的行為等現(xiàn)象之間的關(guān)系，都屬于零相關(guān)。2、直線相關(guān)和曲線相關(guān)直線相關(guān)是指兩列變量中的一列變量在增加（或減少）時(shí)，而另一列變量隨 之而增加（或減少），或這一列變量在增加時(shí)，而另一列變量那么相應(yīng)地減少。它 們之間存在一種直線關(guān)系,或線性相關(guān)。直線相關(guān)可用直線擬合。曲線相關(guān)是指兩列伴隨相變化的變量，未能形成直線關(guān)系。曲線相關(guān)有很多 種，不能用曲線擬合。3、完全相關(guān)、強(qiáng)相關(guān)和弱相關(guān)完全相關(guān)是

14、指兩列變量的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)，完全確立的關(guān)系。在坐標(biāo)軸上描 繪兩列變量時(shí)會(huì)形成一條直線。強(qiáng)相關(guān)又稱高度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相應(yīng)的另一列變量增大（或 減少）的可能性非常大。在坐標(biāo)圖上那么表現(xiàn)為散點(diǎn)圖較為集中在某條直線的周圍O弱相關(guān)又稱低度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一列變量增大 （或減少）的可能性較小。亦即兩列變量之間雖然有一定的聯(lián)系，但聯(lián)系的緊密 程度較低。在坐標(biāo)涂上表現(xiàn)出散點(diǎn)比擬分散地分布在某條直線的周圍，如圖lo二、回歸分析的主要內(nèi)容從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定某些變量之間的定量關(guān)系式，即建立數(shù)學(xué)模型并估 計(jì)其中的未知參數(shù)。估計(jì)參數(shù)的常用方法是最小二乘法。對(duì)這些關(guān)系式的可信程度

15、進(jìn)行檢驗(yàn)。在許多自變量共同影響著一個(gè)因變量的關(guān)系中，判斷哪個(gè)（或哪些）自變 量的影響是顯著的，哪些自變量的影響是不顯著的，將影響顯著的自變量加入模 型中，而剔除影響不顯著的變量，通常用逐步回歸、向前回歸和向后回歸等方法。6利用所求的關(guān)系式對(duì)某一生產(chǎn)過程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制。三、回歸分析與最小二乘法的區(qū)別最小二乘法是基于既定模型對(duì)未知參數(shù)的一種估計(jì)方法，以函數(shù)殘差和最小 的條件對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)?；貧w分析包括：建立帶有參數(shù)的函數(shù)模型（即經(jīng)驗(yàn)公式），通過最小二乘法、 最大似然估計(jì)法等方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)；討論有關(guān)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假 設(shè)檢驗(yàn)等問題；通過函數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等內(nèi)容?？偠灾?，回歸分析屬于統(tǒng)計(jì)推斷問題，最小二乘法是一種參數(shù)估計(jì)方法,在回歸分析的模型建立階段，可選擇最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。四、一元線性回歸確定某段導(dǎo)線的電阻與溫度之間的關(guān)系：x/19.025.030.036.040.047.050.0Y/Q76. 4578. 0079. 9081.0082. 3083. 9985. 35是找出它們之間的關(guān)系，并分析誤差。1、回歸方程為了研究電阻y與溫度x之間的關(guān)系，把數(shù)據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)紙上，這種圖叫