1、關(guān)注公眾號(hào)“品數(shù)學(xué)”獲取更多干貨!數(shù)列與解析幾何交匯題型總結(jié)一、數(shù)列”與直線(xiàn)”交匯例題1.取直角坐標(biāo)系內(nèi)P(Xi,yi),P2(X2 ,y2)兩點(diǎn)，使1,Xi, 7依次成等差數(shù)列，1,yi,y2,8依次成等比數(shù)列，若P, P2兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程為()A - x y 1 0 B . x y 1 0C. x y 7 0 D. 2xy50【解析】Q1 ,得，x2 , 7依次成等差數(shù)列，x 3, “ 5Q1 , %, y2 , 8依次成等比數(shù)列，%2, y2 4,P(3,2) , P2 (5,4)QP, P2兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，PP2兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率是土N 15 3直線(xiàn)l的斜率是1 ,直

2、線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(4,3)直線(xiàn)l的方程是y 31(x 4),即直線(xiàn)l的方程是x y 7 0 ,故選C .【小結(jié)】本題根據(jù)所給的兩個(gè)數(shù)列，寫(xiě)出數(shù)列中出現(xiàn)的字母，即得到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)要求的直線(xiàn)與這兩個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)垂直，求出直線(xiàn)l的斜率，又根據(jù)直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.例題2.已知數(shù)歹13,定直線(xiàn)l :(m 3)x (2m4)y m 9 0 ,若(n)在直線(xiàn)l上，則數(shù)列1的前13項(xiàng)和為()A. 10B. 21C.39D. 78【分析】由點(diǎn)(n , an)(n N)在直線(xiàn)l:(m 3)x(2m 4)y m 9 0上,可得an黑n黑,即可得到數(shù)列an的前13項(xiàng)和.數(shù)列”與圓”交匯例題3.已知曲線(xiàn)

3、G的方程為x2 y2 1 ,過(guò)平面上一點(diǎn)P作G的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A, Bi且滿(mǎn)足 APBi 60 ,記P的軌跡為C2,過(guò)一點(diǎn)P2作C2的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A , B2且滿(mǎn)足AF2B 60 ,記P2的軌跡為C3,按上述規(guī)律一直進(jìn)行下去，設(shè)點(diǎn)An與An 1之間距離的最小值為an,且Sn為數(shù)列 的前n項(xiàng) an和，則滿(mǎn)足|Sn 2|工的最小的n為100A. 5B. 6C. 74.同理可得P2的方程C3為：x2 y2 16 .設(shè)D. 8【分析】設(shè)P(x, y),則|OP | 2|OA | 2 ,可得方程C2：x2 y2A (cos ,sin ) , A2 (2cos ,2sin ),可得|AA|

4、/(Cos2cos )2 (sin 2sin )2,5 4cos(),3 1 2,同理可得：an | AnAn 1 |max 2n 1 2n.可得. an可得數(shù)列1的前n項(xiàng)和Sn ,代入| a 2|X , an33 2100由此能求出n .【解析】設(shè)P(x,y),則|OR | 2|OA | 2 ,可得方程C2：x2 y2 4.同理可得P2的方程C3為：x2 y2 16.設(shè) A (cos ,sin ) , A2 (2cos ,2sin )| A1A, | J(cos2cos )2 (sin 2sin )2，5 4cos(), 3 12,同理可得：an |AnAn1|max 2n 1 2n.an數(shù)

5、列 的前n項(xiàng)和Snan1112I。則滿(mǎn)足 |l i焉，解得n”.故選C.例題4,在圓x2 y210 x 2y 1 0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（2,1）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)al ，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為an,若公差d （憐，那么n的取值集合為【分析】先由圓的幾何性質(zhì)，最短時(shí)該點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)與所在直線(xiàn)垂直，最長(zhǎng)時(shí)則該直線(xiàn)過(guò)圓心，即圓的直徑.從而求得首項(xiàng)和末尾項(xiàng)，再由公差的范圍求解.【解析】圓x2 y2 10 x 2y 1。即為（x5）2 （y 1）2 25,圓心為（5,1）,半徑為5,則最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為直徑,即 an 10 ,最短弦長(zhǎng)為2舊32 8 ,即a1anal1 1121Q A 差 d （一,一）

6、,- -3 53 n 1 5n12-9, 10,n為8, 9, 10,故n的取值集合為8最長(zhǎng)弦與最短弦的求法，還考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及不等式問(wèn)題，體現(xiàn)了知識(shí)間的滲透，應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想.三、數(shù)列”與橢圓”交匯22例題5.橢圓亍,1上有n個(gè)不同的點(diǎn)P,P2,P3,Pn,橢圓右焦點(diǎn)F,數(shù)列1PnF1是公差大于焉的等差數(shù)列，則n的最大值為(A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039【分析】由橢圓方程求出a、b、e的值，再求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)、右準(zhǔn)線(xiàn)的方程，設(shè)P(Xn, %),根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義、題意，列出X、xn的不等式，再利用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，解之即可得到n的取值范圍，從而得出n

7、的最大值.22【解析】由橢圓-L 1得，a43所以右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率設(shè)P(Xn, yn) , P到右準(zhǔn)線(xiàn)X4的距離為dn 4Xn ,根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義得,|PnF |dn11所以 1PnF1 2(4 xn) 2 -xn因?yàn)閿?shù)列| rf|是公差大于差數(shù)列,所以 |PnF| |PF | 201P 可得 2X1 化簡(jiǎn)得普，1n 1 xn ，22019結(jié)合橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，得X1 Xn 2a 4 ,所以磊4，解得n 4039，得n的最大值為4038,故選C四、數(shù)列”與 拋物線(xiàn)”交匯例題6.對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n ,拋物線(xiàn)y (n2 n)x2 (2n 1)x 1與x軸交于A, Bn兩點(diǎn)，以

8、|ABn|表示該兩點(diǎn)間的距離，則lABi II A2B2IA015B2015I 的值是()A.等2015C.2014B.D.2016201520152016【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，拋物線(xiàn)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù) X軸上兩點(diǎn)間的距離公式，得|AnBn| 1 ,再代入計(jì)算即可.n n 1【解析】Q拋物線(xiàn)的解析式為y (n2 n)x2 (2n 1)x 1, TOC o 1-5 h z 拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0) , ( , 0), nn 1，“-11| AnBn | 一 , n n 1|AB| | A2B2IIA2015B2015I111111 ,2232015 2016.12015120

9、16 2016故選D .【小結(jié)】本題是一道找規(guī)律的題目，考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，令y 0,方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根正好是拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).五、數(shù)列”與雙曲線(xiàn)”交匯例題7.已知一簇雙曲線(xiàn)En：x2 y2 ()2(n N*,n, 2020),設(shè)雙曲線(xiàn)巳的左、右焦點(diǎn)分別為七、7, R 2020是雙曲線(xiàn)En右支上一動(dòng)點(diǎn)，三角形 RFn1Fn2的內(nèi)切圓Gn與x軸切于點(diǎn)兒( , 0),則a 8282020 .【解析】如圖所示，設(shè)RFm, R、與圓Gn分別切于點(diǎn)B。，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：|PnBn | |PnAn| , | BnFn111An | , | An2 | |& | ,lAnFn AF 就

10、又點(diǎn)Pn是雙曲線(xiàn)En右支上一動(dòng)點(diǎn),1Pl Fn1 | |Fn2Pn | 232020 元而8n ( Cn )就.可得:n8n2020可得：31a2a20202020 202120202故答案為:20212例題8.已知數(shù)列a。的首項(xiàng)為2, Sn為其前n項(xiàng)和，且Si qS02(q 0,n N*)(1)若a4, a5, a4生成等差數(shù)列，求數(shù)列a。的通項(xiàng)公式；2(2)設(shè)雙曲線(xiàn)x2匕1的離心率為en,且e2 3, an2222本 e 2e2 3e3nen .【解析】(1)通過(guò)Sni qSn 2, 02 qSn 1 2,兩式相減得到an 2 qani, n-1 .說(shuō)明數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為q的等比數(shù)

11、列.通過(guò)a4，a5, a4 a5成等差數(shù)列，求出q 2 .然后求解通項(xiàng)公式.2 (2)求出雙曲線(xiàn)x2 1的離心率en廣葺 J1 4q2(n1).然后利用錯(cuò)位相減法，轉(zhuǎn)化求解思念的和 an即可.【解答】解：(1)由已知，S.1qSn2 ,Sn2qSn1 2,兩式相減得到an 2 qan 1 , nT .又由S2qS2得至a2qa1,故an1qan對(duì)所有nT都成立.所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為q的等比數(shù)列.由a4, a5 , a4 a5成等差數(shù)列，可得 2a5 a ad a5,所以a5 2a4,故q 2 .所以 an 2 (n N ).(2)由(1)可知，an 2qn1,2 所以雙曲線(xiàn)x241

12、的離心率en7 J1 4q2(n1). an所以一2屋3e322一 、 2、ng(1 4) 2(1 4q )2( n 1)n(1 4q )2q22(n 1)、nq )，記 Tn 1 2q 3q22(n 1) /nq CL2-一 2q Tn q 2q(n2(n 1) 2n 國(guó)1)q nq S2n得(1q2)Tn2( n 1) q2nnq2nnq2n所以Tn(mY2n / 2nnq 1 q(TT2)(1 q )2nnq(1 q2)1 2n ng2n(n1)2n 1 .所以屋2e222ngenn 2(n 1)2n(n 1)2【小試牛刀】變式1 .已知直線(xiàn)l : ax by c 0 ,若a , b ,

13、 c成等差數(shù)列,則當(dāng)點(diǎn)P(2,1)到直線(xiàn)l的距離最大時(shí),直線(xiàn)l的斜率是.【解析】a, b, c成等差數(shù)列，可得a c 2b,即 a 2b c 0,由直線(xiàn)l :ax by c 0 ,可得直線(xiàn)l包過(guò)定點(diǎn)M (1, 2),當(dāng)點(diǎn)P(2,1)到直線(xiàn)l的距離最大時(shí)，可得直線(xiàn)l垂直于直線(xiàn)PM ,由直線(xiàn)PM的斜率為L(zhǎng)2 3, 2 1則直線(xiàn)l的斜率為1. 3故答案為：1. 3變式2.已知點(diǎn)(sin, an4一)在直線(xiàn)l:yV2x當(dāng)一2皎上，則數(shù)列的前30項(xiàng)的和為【解析】 點(diǎn)(sin, an 2二)在直線(xiàn)l:y24上,244an 2g2 M2sin n ,sinn2的最小正周期為4,取值是1, 0,1, 0的循環(huán)

14、，數(shù)列4的前30項(xiàng)和:S3030 2 衣 727(10 1 0) 1 059& .故答案為：59位.變式3.橢圓的焦點(diǎn)是Fi( 3, 0)F2(3,0) , P為橢圓上一點(diǎn)，且IF1F2I是|PF1|與IPF2I的等差中項(xiàng),則橢圓的方程為.【解析】Q橢圓的焦點(diǎn)是Fi( 3, 0)F2(3,0),P為橢圓上一點(diǎn),且|訐2 |是|PFi |與|PF2|的等差中項(xiàng),| PF1 | |PF2| 2| F2 | 12 , 2a 12 , 2c 6,即 a 6, c 322b2 36 9 27,橢圓的方程為上 L 1.36 27變式4.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，點(diǎn)列(n,J)(n N )在直線(xiàn)y x上

15、.n(1)求數(shù)歹Ian的通項(xiàng)a(2)求數(shù)歹1一的前n項(xiàng)和Tn.anan 1【解析】解：(1)依題意有Sn n即Sn1時(shí)時(shí)，a1S 1,當(dāng)n-2時(shí)，aSn2n 11時(shí)時(shí)上式也成立，an 2n 1 ,(2)Tn1anan 1111,1一(2n 1)(2 n 1) 2 2n 1一(1 一)(一 一)(2335 2n 1 2n 11)2(1變式5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為s , a1 2,1 ) n2n 1 2n 1S 1 3Sn 2 , n N *(1)證明：數(shù)列Sn 1為等比數(shù)列；(2)已知曲線(xiàn)Cn:x2 (19 an)y2 1,若Cn為橢圓，求n的值;(3)若bn (y)哈(等)，求數(shù)列bn的前

16、n項(xiàng)和Tn .【解析】(1)證明：Q Sn13Sn2 ,Sn1 1 3Sn 33(&1),Sn 1是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)歹1J.(2)解：由(1)可知 與 1 3n，即與 3n 1 ,當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn 1 3n3n12gpi顯然當(dāng)n 1時(shí)，上式也成立，故ann 12g3Q 曲線(xiàn) Cn：x2 (19 an)y21表示橢圓,19 an0 且 19 a2$2$19 ,又 n18(3)解:n 1bn3 glog3 3n 1ng30Tn 1g322g3 3g334c3nng3兩邊同乘3可得:3Tn1g32g323g33 4g34ng3n ，可得:1 3 32333n 1nng31 n

17、(-n)g3Tn2n 1 n g3n4變式6.已知數(shù)列a。的首項(xiàng)為1, &為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn 1qSn 1 0 ,其中 q 0(1)若a2, a3, 2 4a2成等差數(shù)列，求4的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)雙曲線(xiàn)y22 x2 an1的漸近線(xiàn)斜率的絕對(duì)值為bn ,若b23,i 1 (b 1)(b 1 1)【解答】解：(1)QSn1 qSn 1, Sn qSn 1 1幻，an 1 qan(n2) , Q & q 1 ,a1 a2 qa1 1 ,Q 口 1 ,a2 qa1 ,Q an 1 qan(n N ) , q 0 ,an為公比是q的等比數(shù)列，即 an qn1,Q a2 , a3 , 2 4a2成

18、等差數(shù)列，2a3 a2 2 4a2 , 2q2 2 3q(2q 1)(q 2) 0q 2 (舍)，q ；,1 n 1 TOC o 1-5 h z an (2).(2) Q bn , bn (-)n 1 , anq_n 1Q 3,bn 3 .nninbi 13311._i1777177二 (trs1-Tj7T)，i 1 (b1)(bi1 1)i 1 (31)(31)2i 1 (31)(31)i 1 (bi1)(bi 11)3/1111二 (TOTiTi_ 22 301 311311 3213 1133一(一)n22314 20213n 1 12變式7.設(shè)雙曲線(xiàn)時(shí)：x2上31,正項(xiàng)數(shù)列xn滿(mǎn)足X 1,對(duì)任意的n-2,n N* ,都有(xn, V3xn 1)是 上的點(diǎn).(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;、一 11(2)記 Snx1 x2 x