1、第一講：如何做幾何證明題【知識(shí)梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種根本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：1綜合法由因?qū)Ч?，從條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；2分析法執(zhí)果索因從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到事實(shí)為止；3兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比擬起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易

2、于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后到達(dá)證明目的。3、掌握構(gòu)造根本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由根本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成根本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造根本圖形，在構(gòu)造根本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以到達(dá)集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！纠}精講】【專題一】證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最根本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到?！纠?】：如下圖，中，

3、。 求證：DEDF【穩(wěn)固】如下圖，為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED【例2】：如下圖，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF【專題二】證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一來(lái)證?！纠?】如下圖，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC【例4】：如下圖，ABAC，。 求證：FDED【專

4、題三】證明線段和的問(wèn)題一在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余局部等于另一較短線段。截長(zhǎng)法【例5】如圖，四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)B60，ABBC，且DEC60；求證：BCADAE【穩(wěn)固】：如圖，在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD二延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)局部等于另一較短線段，那么兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。補(bǔ)短法【例6】 ：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF【專題四】證明幾何不等式：【例7】：如下圖，在中，AD平分BAC，。 求證：【拓展】中，于D，求證：第二講：

5、平行四邊形一【知識(shí)梳理】1、平行四邊形：平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)根本性質(zhì)：1平行四邊形對(duì)角相等；2平行四邊形對(duì)邊相等；3平行四邊形對(duì)角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；4一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、特殊平行四邊形：一、矩形1有一角是直角的平行四邊形是矩形2矩形的四個(gè)角都是直角；3矩形的對(duì)角線相等。4矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形5矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 二、菱形1把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做

6、菱形.2定理1:菱形的四條邊都相等3菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.4菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以25菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形6菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。三、正方形1有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形2性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，四條邊相等 對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角3判定：一組鄰邊相等的矩形是正方形 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：平行四邊形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： 在以下特征中，四條邊都相等對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等對(duì)角線互相垂

7、直四個(gè)角都是直角每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)邊相等且平行鄰角互補(bǔ)【穩(wěn)固】1、以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B.四條邊相等的四邊形是正方形 C.對(duì)角線相等的菱形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是 A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、上，且，以下四種說(shuō)法： 四邊形是平

8、行四邊形；如果，那么四邊形是矩形；如果平分，那么四邊形是菱形；如果且，那么四邊形是菱形.其中，正確的有 .只填寫(xiě)序號(hào)【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).求證：四邊形BFDE是平行四邊形.AEDCFB【穩(wěn)固】，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AFCE，DFBE，DFBE四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【例3】如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于點(diǎn)E求證：四邊形AECD是菱形【例4】如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊ADE1求CAE的度數(shù)；2取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊

9、形AFCE是矩形【穩(wěn)固】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD1試判斷四邊形OCED的形狀，并說(shuō)明理由；2假設(shè)AB6，BC8，求四邊形OCED的面積【例5】如下圖，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE1求證：四邊形DAEF是平行四邊形； 2探究以下問(wèn)題：只填滿足的條件，不需證明當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在. 第三講：平行四邊形二【知識(shí)梳理】由平行四邊形的構(gòu)造知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，

10、并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具?！纠}精講】【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為，且滿足，那么這個(gè)四邊形是 A.平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形， 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F. (1) 求證：DEBF EF(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由 (3) 假設(shè)點(diǎn)G為CB

11、延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系不需要證明【穩(wěn)固】如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，.1求的值；2延長(zhǎng)交正方形外角平分線如圖132，試判斷的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；3在圖2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1ADCBE圖2BCEDAFPF【例3】如圖，在矩形ABCD中，AD12，AB5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PEBD于E，PFAC于F，求PEPF的值?！纠?】如圖，在ABC中，BAC90，ADBC，BE、AF分別是ABC、DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GFA

12、C?！纠?】如下圖，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F。求證：AECF。【穩(wěn)固】如圖，在平行四邊形ABCD中，B，D的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、H。求證：AHCG。第四講：梯 形【知識(shí)梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。通過(guò)作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問(wèn)題的根本思路，常用的輔助線的作法是：平移腰：過(guò)一

13、頂點(diǎn)作一腰的平行線；平移對(duì)角線：過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；過(guò)底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下根本圖形、根本結(jié)論：【例題精講】中位線概念： (1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 (2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。【例題精講】【例1】如下圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB8，DC6，B45，BC10，求梯形上底AD的長(zhǎng). 【例2】如下圖，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17.

14、求CD的長(zhǎng). 【例3】如下圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD，BD6cm. 求梯形ABCD的面積. 【例4】如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 【穩(wěn)固】1、如下圖，等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng). 2、如下圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長(zhǎng). 3、如下圖，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的長(zhǎng). 【例5】：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中點(diǎn)，且AEBE.求證：ADBCAB【穩(wěn)固】如下圖，梯

15、形ABCD中，ADBC，E是CD的中點(diǎn)，且ADBCAB求證：DEAE?！纠?】如圖，在梯形ABCD 中，ADBC ， E、F 分別是AD 、BC 的中點(diǎn)，假設(shè)BC90.AD 7 ，BC 15 ，求EF 第五講：中位線及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推

16、論，一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。【例題精講】【例1】ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，AECD于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明BD=2EF?！痉€(wěn)固】在ABC中，B=2C，ADBC于D，M為BC的中點(diǎn).求證：【例2】E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的

17、中點(diǎn)那么四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)AC和BD_時(shí)，四邊形EFGH是正方形?！痉€(wěn)固】如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。1求證：四邊形MENF是菱形；2假設(shè)四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！纠?】梯形ABCD中，ABCD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證：MNABCD【穩(wěn)固】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)。求證：EF【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，假設(shè)

18、EF，問(wèn)：四邊形ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。 【例4】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA、CD的延長(zhǎng)線交HG的延長(zhǎng)線于E、F。求證：BEH=CFH.【例5】如圖，ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB14，BC16，AC26，P為A的平分線AD上一點(diǎn)，且BPAD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)?！痉€(wěn)固】：ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PMPN第六講：一元二次方程的解法【知識(shí)梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的根本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)

19、涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它答復(fù)了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等根本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠谈最}： 1x2 2x=0 2 x2 9=0 3(13x)21；4t2t10 5x28x267 8 9 10 11 1213xx62 142x1232x1 1516 17 18 19 20； 【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖韵玛P(guān)于的方程提高題：1； 2；3； 4；5?！痉€(wěn)固】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖韵玛P(guān)于的方程：1； 2；3。 4。【拓展】解方程：； 【例3】解方程：。【穩(wěn)固】解方程：1； 2?！纠?】解關(guān)于的方程：。【穩(wěn)固】解關(guān)于

20、的方程：?！纠?】方程與有公共根。1求的值；2求二方程的所有公共根和所有相異根?！痉€(wěn)固】是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。第七講：一元二次方程的判別式【知識(shí)梳理】一、一元二次方程根的情況：令。1、假設(shè)，那么方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；2、假設(shè)，那么方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；3、假設(shè)，那么方程無(wú)實(shí)根不代表沒(méi)有解。二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過(guò)判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模

21、型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題?！纠}精講】【例1】方程；那么當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【穩(wěn)固】1、關(guān)于的方程。求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；2、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍?！就卣埂筷P(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)的值?！纠?】關(guān)于的方程。1求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；2假設(shè)等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)。【穩(wěn)固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，那么_。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分

22、別為，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)。【拓展】對(duì)于正數(shù)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：以長(zhǎng)的線段為邊能組成一個(gè)三角形?！纠?】設(shè)方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根。【穩(wěn)固】關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_?！纠?】設(shè)，證明在方程中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理設(shè)方程的兩個(gè)根，那么。韋達(dá)定理用途比擬廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作以下變形：1；2；3；4；5。【例題精講】【例1】求以下方程的兩根之和，兩根之積。1x22x10； 2x29x100；解：_， 解：_，32x29x50；

23、 44x27x10；解：_， 解：_，52x25x0； 6x210解：_， 解：_，【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2+4x3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：1x1+1x2+1=_； 2x12x2+x1x22=_； 3=_4x1+x22=_； 5x1x22=_； 6x13+x23=_【例3】解答以下問(wèn)題：1設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，問(wèn)是否存在的情況？2：是關(guān)于的方程的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值?！痉€(wěn)固】1、關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，那么_。2、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式的值為_(kāi)。【例4】關(guān)于的方程：。1求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；2假設(shè)這個(gè)方程

24、的兩個(gè)實(shí)根滿足，求的值及相應(yīng)的?！痉€(wěn)固】關(guān)于的方程。1當(dāng)為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；2假設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值?！纠?】CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，那么ABC的面積是多少？【穩(wěn)固】ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5。1為何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；2為何值時(shí)，ABC是等腰三角形，并求ABC的周長(zhǎng)。第九講：一元二次方程的應(yīng)用【知識(shí)梳理】方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一

25、次方程解應(yīng)用題的一般步驟根本一樣，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次方程模型解決問(wèn)題?！纠}精講】【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m。1求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？2題中墻的長(zhǎng)度m對(duì)題目的解起著怎樣的作用？票價(jià)元人數(shù)人20151057000600050004000300020001000【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門(mén)票收入，因此

26、博物館采用了漲浮門(mén)票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如下圖的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門(mén)票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門(mén)票價(jià)格應(yīng)是多少元？【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B，假設(shè)讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，那么甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比。【例5】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)1200米，在

27、行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵承受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加?！痉€(wěn)固】1、在青島市開(kāi)展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻墻長(zhǎng)15m的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠

28、墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成如下圖，假設(shè)設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為m，花園的面積為m2。1求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；BCDA2滿足條件的花園面積能到達(dá)200m2嗎？假設(shè)能，求出此時(shí)的值；假設(shè)不能，說(shuō)明理由；3當(dāng)取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，假設(shè)每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處

29、，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問(wèn)河有多寬？4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵承受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤(pán)，記分方法是勝一盤(pán)得1分，和一盤(pán)各得分，負(fù)一盤(pán)得0分，其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？第十講：專題復(fù)習(xí)：因式分解、分式和根式【知識(shí)

30、梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：； ； ； ；立方和差公式：； ；2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：；。二、分式：1、分式的意義形如為整式，其中B中含有字母的式子叫分式。當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)分式的根本性質(zhì)： 其中M是不為零的整式。分式的符號(hào)法那么：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。倒數(shù)的性質(zhì)：；假設(shè)，那么，是整數(shù)；。3、分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法那么有：；是正整數(shù)。4、分式的變形分式的根本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法

31、有：設(shè)參法主要用于連比式或連等式，拆項(xiàng)法即別離變形，因式分解法，分組通分法和換元法等。三、二次根式：1、當(dāng)時(shí)，稱為二次根式，顯然。2、二次根式具有如下性質(zhì)：1； 23； 4。3、二次根式的運(yùn)算法那么如下：1；2。4、設(shè)，且不是完全平方數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，?！纠}精講】【例1】分解因式：【穩(wěn)固】分解因式：1、； 2、；【例2】是一個(gè)三角形的三邊，那么的值是 A.恒正 B.恒負(fù) C.可正可負(fù) D.非負(fù)3、為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積？【例3】是實(shí)數(shù)，且，問(wèn)之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、，求的值為_(kāi)；2、多項(xiàng)式的一個(gè)因式是，試確定的值為_(kāi)；3、設(shè)，求的值。4、假設(shè)，且設(shè)，那么

32、_5、，那么_；6、，且，那么_7、當(dāng)變化時(shí)，分式的最小值為_(kāi)8、設(shè)，那么_；9、實(shí)數(shù)滿足，那么_；10、化簡(jiǎn)_；11、，那么_12、設(shè)的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，那么_；13、設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中兩兩不同，那么_；14、使等式成立的整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為_(kāi)；15、設(shè)正整數(shù)滿足，那么這樣的的取值有_組；16、求和：17、，化簡(jiǎn)。18、假設(shè)，計(jì)算的值。19、計(jì)算：20、設(shè)，它的小數(shù)局部為P，求的值。第十一講：專題復(fù)習(xí)：代數(shù)式的恒等變形【知識(shí)梳理】1、恒等式的意義兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，那么稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒

33、等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。3、根本思路1由繁到簡(jiǎn)，即從比擬復(fù)雜的一邊入手進(jìn)展恒等變形推到另一邊；2兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；3證明：，或，此時(shí)。4、根本方法在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比擬法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】，求證：。思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊?！痉€(wěn)固】為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，求證：。【拓展】假設(shè)，求證：。【例2】證明：。思路點(diǎn)撥：此題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)展證明?！痉€(wěn)固】1、求證。2、求證：?！就卣埂壳?/p>

34、證：【例3】，求證：思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。【穩(wěn)固】，求證：。【拓展】實(shí)數(shù)滿足，求證：，其中是正整數(shù)。【例4】，且，求證：?！痉€(wěn)固】1、，求證：2、設(shè)。求證：【拓展】設(shè)，且，求證：?！纠?】正數(shù)滿足，求證：。思路點(diǎn)撥：此題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開(kāi)場(chǎng)進(jìn)展推理，一步一步地推到我們所要證明的結(jié)論，就是我們平時(shí)說(shuō)的“正面突破。第十二講：專題復(fù)習(xí)：相似三角形【知識(shí)梳理】1、比例線段的有關(guān)概念：b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果bc，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。2、平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1l2l3。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所