1、第一章 函數(shù)與極限函數(shù)微積分的研究對(duì)象極限的概念無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 極限的性質(zhì)兩個(gè)重要極限函數(shù)的連續(xù)性1 函數(shù) -變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一、 函數(shù)的概念例 圓的面積 依賴于圓的半徑 ,關(guān)系為 （映射說(shuō)）設(shè) 是一個(gè)數(shù)集， 是一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于 中的任意一個(gè)元素 ，通過(guò) 都有唯一的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 為 到 內(nèi)的函數(shù)，稱 為 在 處的函數(shù)值。 稱為自變量； 稱為因變量； 稱為該函數(shù)的定義域； 該函數(shù)的值域?yàn)槎x幾點(diǎn)注意:1.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域2.三要素中 關(guān)鍵是對(duì)應(yīng)規(guī)則是相同的函數(shù)3.自然定義域二、特殊函數(shù):分段函數(shù)例5 （符號(hào)函數(shù)）例4 （絕對(duì)值函數(shù)）三、函數(shù)的性質(zhì)1.

2、 奇偶性(1). 對(duì)稱區(qū)間(2). 圖形特征(3). 運(yùn)算奇函數(shù)偶函數(shù)例：(4). 函數(shù)的整體性質(zhì)。2. 單調(diào)性小的仍然小-單增小的反而大-單減(1).與區(qū)間有關(guān)同一函數(shù)在不同區(qū)間單調(diào)性未必相同(2). 高等數(shù)學(xué)中將利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性例：不減不增1、復(fù)合函數(shù)四 復(fù)合函數(shù)已知例如 已知函數(shù) 的值域 屬于函數(shù) 的定義域，則函數(shù) 就稱為函數(shù) 與 的復(fù)合函數(shù)，其中 稱為中間變量。定義3注意（1） 中間變量 作為自變量的定義域與作為因變量的值域必須相交，否則沒(méi)有意義。例如函數(shù) 沒(méi)有意義。（2） 復(fù)合函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的最重要的基礎(chǔ)概念。（3） 一般地， 。例7函數(shù) 的定義域?yàn)?，求函數(shù)的定義域。解：

3、所以思考：已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，求函數(shù) 的定義域。由題可知例8已知求 和解：例9已知函數(shù) ，求 及（變量替換法）因此令 ，則解：所以例10分解下列函數(shù)：解：或所以基本初等函數(shù)(五大類)：2、初等函數(shù)-微積分的主要研究對(duì)象冪函數(shù) yx (R是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù) ya x(a0且a1); 對(duì)數(shù)函數(shù) yloga x (a0且a1), 三角函數(shù) ysin x, ycos x反三角函數(shù) yarcsin x, yarccos x初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和/或復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)。非初等函數(shù)：分段函數(shù)、隱函數(shù)、積分上限函數(shù)。 極限 -高等數(shù)學(xué)的重要概念 數(shù)列極限 函數(shù)極限數(shù)列的定義：按照一定順序排列的可列個(gè)數(shù)：成為數(shù)列，記做 。一、數(shù)列極限示例例1例4例3例2數(shù)列極限的定性描述 二、數(shù)列極限的定義 給定數(shù)列 , 當(dāng)自變量(下標(biāo)) 無(wú)限增大時(shí), 通項(xiàng) 無(wú)限趨近于常數(shù) 則稱常數(shù) 為數(shù)列 的極限 , 即或定義1數(shù)列極限的定量描述 （數(shù)列極限）給定數(shù)列 ，對(duì)任意的正數(shù) ，存在正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，有 則稱常數(shù) 為數(shù)列 的極限, 或數(shù)列 收斂于 即定義2例6例5常數(shù)列的極限仍是該常數(shù) 例7當(dāng) 時(shí) ，有定理1 （數(shù)列極限的四則運(yùn)算）如果 ，則三、數(shù)