1、(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截得的三角形與原三角形相似;考點三十五：圖形的相似聚焦考點溫習理解1、比和比例的有關概念:表示兩個比相等的式子叫作比例式，簡稱比例ac第四比例項：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例項.bdab比例中項：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中項.bc黃金分割：把一條線段(AB)分割成兩條線段，使其中較長線段(AC)是原線段AB與較短線段(BC)的比例線段，就叫作把這條斤_1線段黃金分割.即AC2=AB-BCAC=AB：0.618AB;一條線段的黃金分2割點有兩個.2.比例的基本性質(zhì)及定理ac(1)ad=bcbd(2

2、)ca_bc_d=一T=dbdc=|l(=m(bd|n=0)dnac|l(mbd11(n3.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.4.相似三角形.相似三角形的定義：對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的對應邊的比，叫做兩個相似三角形的相似比.5.相似三角形的判定兩角

3、對應相等，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；三邊對應成比例，兩三角形相似；兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似；直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似.相似三角形性質(zhì)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應高、對應中線、對應角平分線的比都等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形對應角相等，對應邊成比例.相似多邊形周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.8位似圖形概念：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，這樣的圖形叫做位似圖形這個點叫做位似中心.性質(zhì)：位似圖形上任意一對

4、對應點到位似中心的距離之比等于位似比.名師點睛典例分類考點典例一、比例的基本性質(zhì)、黃金分割【例1】已知b=，則色辿的值是()a13abA239r4A.一B.C.D.3249【答案】D.【解析】試題分析：先設出b=5k，得出a=13k，再把a,b的值代入即可求出答案.試題解析：令a,b分別等于13k和5k,.a-b13k-5k4.ab13k5k9故選D.考點：比例的性質(zhì).【點睛】此題考查了比例的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形.【舉一反三】若4y-3x=0，則【答案】7.3【解析】試題分折:先用v表示出X,然后代入比例式進行計算即可得解.試題解析S/4y-3x-=0j

5、（2）如圖2,已知/【答案】考點：比例的性質(zhì).考點典例二、三角形相似的性質(zhì)及判定【例2】（2015.山東威海，第23題）（1）如圖1，已知/ACB2DCE=90,AC=BC=6CD=CEAE=3,/CAE=45,求AD的長.ACB=zDCE=90，/ABC玄CED2CAE=3C,AC=3AE=8,求AD的長.【解析】試題分析：（1）連接證明A3笑BCE,得到AD=BEj在RtABAE中，AB二沁，肛二4求出BE，得到答案（2）連接眄證明/UCDs眈E,得到坐坐遲求出盹的長/得到AD的長.BEBC3試題解析：（1）如圖G連接BE扌.，ZACB=ZDCE=90,/.ZACB+ZACE=ZDCE+Z

6、AjCE,即ZBCE=ZACD7又TAC二egDC=ECJfAC=BC在ACD和ZkECE中，ZBCE=ZACD,/,AiCDABCE,?.AD=BEJ:圧-BC=6,DC二EGtAB=gV2,ZBAC=ZCAE=45&3?.Z0E=9O&,在RtABAE中，ABP伍，AE二3,.BE=9,J.AD=9BC3beBC，（2）如圖2,連接BE,在RtACB中，/ABC=CED=30,tan30/ACB玄DCE=90,/BCENACDACDABCE/BAC=60，/CAE=30/BAE=90，又AB=6,AE=8,?BE=10,AD=考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理3

7、【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力.【舉一反三】如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉90得到線段MN在CD邊上取點P使CP=BM連接NRBP.求證：四邊形BMNR是平行四邊形；線段MN與CD交于點Q連接AQ若厶MCAAMQ貝UBM與MC存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由.D【答案】(1)證明見解析;(2)BM=MC【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC/ABC=ZB,然后利用“邊角邊”證明BCP全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=BPZBAMMC

8、BP再求出AMLBP,從而得到MNBP,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；(2)根據(jù)同角的余角相等求出/BAMMCMQ然后求出厶ABMFHAMCQ相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例ABamabam可得=，再求出厶AMQAABM根據(jù)，相似三角形對應邊成比例可得=，從而得到MCMQBMMQABAB口,zl=t.，即可得解.MCBM試題解析：(1)證明：在正方形ABCD中,AB=BCMABCMB,在厶ABMDABCP中，AB=BCABC=C,CP=BMABNmBCP(SAS,AM=BPMBAMMCBP/BAMMAMB=90,MCBP+MAMB=90,AMLBP,/AM并將線段AM

9、繞M順時針旋轉90得到線段MNAMLMN且AM=MNMN/BP,四邊形BMNP是平行四邊形;理宙如下：,ZAMB-ZCX【Q=9O”，.ZBAM=ZCNJQ?又?ZABC=ZC=90,二ABMsUCQ.AB_AM疋一龐T/AMCQAAMQ,/.AAMQAABXb麗-邁”AB_ABJic麗Z.BM=MC.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).考點典例三、相似三角形綜合問題【例3】如圖，已知AB是OO的直徑，BC是OO的弦，弦ED丄AB于點F,交BC于點G,過點C的直線與ED的延長線交于點P,PC=PG.(1)求證：PC是OO的切線；當點C在劣弧AD上運動時，其他條件

10、不變，若BG2=BF-B0求證：點G是BC的中點在滿足(2)的條件下，AB=10,ED=4.6，求BG的長.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)25.【解析】試題分析：(1連0C,由ED丄得到ZFBG-ZFGB=90%又PC=PD,則而Z2=ZFGB,Z4-ZFBG,即可得到Zl-Z4=90根據(jù)切線的判走定理即可得到結論；2)連0G,由BBF-30,即3G;B0-3F:BG,根據(jù)三角形相似的判定定理得到BGOcoABFG,由苴性mJZOGB=ZBFG=90然后根據(jù)垂徑定理即二得到點G是BC的中點；連0三，由ED丄AB,根iS垂徑罡理得到FE=FD,而AB*10,ED=4缶,得到z

11、F=2a/60E=5,在RtAOEF中利用勾股定理可計算出OF,從而得到3F,燃后根據(jù)3G-BF-30即可求出BG.試題解析：(1)證明：連0C如圖，/EDAB,/FBG+ZFGB=90,又PC=PG/仁/2,而/2=ZFGB/4=/FBG/1+/4=90,即卩OCLPC,PC是OO的切線；(2)證明：連OG如圖，g-B/B&=BF?BQ即BGBO=BFBQ而/FBG=ZGBO/OGBMBFG=90,即OGLBGBG=CG即點G是BC的中點；解：連OE如圖，/ED丄AB,FE=FD而AB=10,ED=4.6,EF=2花,OE=5在RtOEF中，OF=.OE2EF2=,52-(2.6)2=1,B

12、F=5-1=4,/B=BF?BOB=BF?BO=4X5,BG=2、5考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).【點睛】本題考查了切線的判定、垂徑定理、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用.【舉一反三】課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC它的邊BC=120mm高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少毫米？小穎解得此題的答案為48mm小穎善于反思，她又提出了如下的問題.如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖，此時，這個矩形零

13、件的兩條邊長又分別為多少毫米？請你計算.如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.2404802【答案】這個矩形零件的兩條邊長分別為mmmmS的最大值為2400mm,此時PN=60mmPQ=40mm77【解析】試題分析：(1)設PN=2y(mr)i，貝UPQ=y(mr)i，然后根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出即可；(2)設PN=x用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答

14、.試題解析：(1)設矩形的邊長PN=2y(irn),則PQw(皿由條件可得APHSUC,.PN_AE1CAD12080解得y=7答：這個矩形零件的兩條邊長分別為2407rnm?4S0(2)設PN=x(mm,矩形PQMN勺面積為S(mm2,由條件可得APNAABCPNAE剛x80-PQ二,即BCAD120802解得PQ=80-x.3S=PN?PQ=x(80-x)=-x2+80 x=-(x-60)2+2400,3332S的最大值為2400mm,此時PN=60mmPQ=80 x60=40(mm.3考點：相似三角形的應用；二次函數(shù)的最值.考點典例四、相似多邊形與位似圖形【例4】如圖，在邊長為1個單位長

15、度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出AiBiCi和厶A2B2C2;(1)把厶ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到AiBG;(2)以圖中的0為位似中心，將AiBC作位似變換且放大到原來的兩倍，得到AB2C2.【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析.【解析】試題分析：(1)把AB、C三點先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到A,B,C,順次連接得至U的各點即可；(2)延長0A到A,使0A=20A1，同法得到其余各點，順次連接即可.試題解析：考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換.【點睛】本題考查了平移、位似的作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵.【舉一反三】

16、(2015遼寧營口)如圖，ABE和厶CDE是以點E為位似中心的位似圖形，已知點A(3,4)，點C(2,2)，點D(3,1)，則點D的對應點B的坐標是().kAA0第題割(5,2)D.(5,1)A.(4,2)B(4,1)C【答案】C.【解析】試題分析：分別過GD,屯做盂軸的垂線垂足分另1展巧比氏因為&D的橫坐標相同，所以D在AH上，ECEF1E(IjO),C氛2)A(3,4,D(3.1)、二EQ1,FH二“TCFAH”B&；.=-,/CDAEEH2h*ECED1.tEHDHED1+.+.血=-,/DH/BK,=-,EH=27DH=1,.E1M,BK=2j/.0K=5J二AEEB2EKBKEB2B

17、(5；2)故選C考點：1.位似性質(zhì)；2.平行線分線段成比例定理.課時作業(yè)能力提升一、選擇題（2015成都）如圖，在ABC中,DEEBCAD=6，B=3，AE=4,貝UEC的長為（）【解析】ADAE64試題分析：根據(jù)平行線段的比例關系，爛二竺，即6,EC=2，故選B.DBEC3EC考點：平行線分線段成比例.（2015黑龍江哈爾濱）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，連接EF,分別交ADCD于點GH,則下列結論錯誤的是()(A)EAEGEGAGABBCFHCF(B)-:_GD(C)-CF(D)BEEFGHAEEHAD【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)平行四邊

18、形的性質(zhì)可得AE3ABEF,ADGHTAAGECHFAAGE從而可以得出AB、D三個選項是正確的，只有C選項是錯誤的.考點：三角形相似的應用(2015湖北武漢，6題，3分)如圖，在直角坐標系中，有兩點A(6,3)、B(6,0).以原點O為位似中心，相似比為丄，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD則點C的坐標為()3A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)C*4a0DB【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)位似團形的性質(zhì)可得:點C的橫坐標為6X1=2,點C的縱坐標為3X1=1,則點C的坐標為(31)，考點：位似圖形的性質(zhì)(2015.山東淄博，第8題，4分)如圖，在四邊形ABCD中,

19、DC/ABCBLABAB=ADCDAB,點E、F2分別為ABAD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為(A.-B.C.D.【答案】C.【解析】試題分析：如團連接D瓦根抿三角形的中位線求出E片Zed,EF/BD,推出AEFS21ABD得出學些丄,考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理.（2014?泰安）在厶AB6HAA1B1C中，下列四個命題：若AB=A1B1,AC=AiCi,ZA=Z人，則厶ABCAABC;若AB=A1B1,AC=AiCi,ZB=ZB1,則ABCAABC;若/A=ZA,ZC=Z6,則厶ABCAABC;若AC:AiCi=CB:CiBi,ZC=Z6,則厶ABCAAiBCi.其中真命題的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】試題分析：分別利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理進行判斷即可得到正確的選項.試題解