1、流體力學的動量積分關系式邊界層的動量積分方程是對邊界層內流動的再簡化。其推導過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內直 接應用動量守恒原理。下面的推導采用第二種方法。在這一節(jié)里，將利用邊界層流動的特點如流體的粘度大小、速度與溫度梯度大和邊界層的厚度與物體的特征長度相比為一小量等對N-S方程進行簡化從而導出層流邊界層微分方程。在簡化過程中，假定流動為二維不可壓定常流，不考慮質量力，則流動的控制方程N-S方程為： （8-27）二維流動無量綱方程組為忽略第二方程最后一項、第三方程除壓強項的其他項 。設 ,在邊界層內式中111可得普朗特邊界層方程組第三式表明邊界層內y

2、方向壓強梯度為零，表明外部壓強可穿透邊界層直接作用在平板上。外部壓強由勢流決定第二式得到簡化（x方向二階偏導數消失），有利于數值計算。利用該式可計算壁切應力和流動阻力。說明：將上述方程組無量綱化。為此考慮如圖所示的一半無窮繞流平板，假定無窮遠來流 的速度 ，流動繞過平板時在平板附近形成邊界層，其厚度為 ，平板前緣至某點的距離為 。取 和 為特征量，可定義如下的無量綱量： / / / / /（ ）代入方程組（827），整理后得： （8-28）式中雷諾數 與 相比較是很小的 ，即 或 / 1，同時注意到， 與 、 與 、 與 具有同一數量級，于是 、 、 和 的量級均為1，并可以得到： 1 1 1

3、 為了估計其他各量的數量級，由連續(xù)性方程可得： 1因此 ，于是又得到： 1 通過分析方程組（828）各項的數量級，方程組（828）中第二式中各慣性項可以忽略掉 ，同時可以略 去 、 、 。于是在方程組（828）的粘性 項中只剩第一式中的一項 。 如果僅保留數量級為1的項，而將數量級比1小的各項全部略去，再恢復到有量綱的形式，便可以得到層流邊界層的微分方程組為： （8-29） 沿邊界層上緣由伯努利可知： 常數 上式對 求導，得： 這樣，層流邊界層的微分方程又可寫為： （8-30） 方程組（830） 即為在物體壁面為平面的假設下得到的邊界層微分方程 。 對平板邊界層前部取控制體OABC, AB為一

4、條流線，壓強梯度為零，壁面上粘性切應力合力為FD為動量厚度。對 FD求導可得由動量方程由連續(xù)性方程邊界層動量積分方程或稱為卡門動量積分方程，適用于無壓強梯度的平板定常層流和湍流邊界層流動。用壁面摩擦系數表示當有壓強梯度存在時，方程形式為為位移厚度, U=U (x)為外流速度 動量積分方程的特點是建立了阻力與動量厚度（及位移厚度）的關系。由于動量厚度是速度的二次表達式 的積分，對速度廓線形狀不很敏感，可用近似的速度廓線代替準確的速度廓線，使計算大為簡化。邊界層動量積分方程的推導如圖所示為不可壓縮流體的定常二維邊界層流動 ，設物體表面型線的曲率很小。 取一個單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC

5、 。用動量定理來建立該控制體內的流體在單位時間內沿x方向的動量變化和外力之間的關系。 邊界層動量積分方程的推導設壁面上的摩擦應力為 根據邊界層的控制方程組，邊界層內的壓強僅近似地依賴于 而與 無關，設AB面上的壓強為 ，DC上的壓強為 控制面AC為邊界層的外邊界 其外部為理想流體的勢流 ，只有與之垂直的壓力 ，設AC上的壓強為A，C兩點壓強的平均值 。作用在控制體上的表面力沿方向的合力為： 邊界層動量積分方程的推導式中為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關系可知： ，上式經整理并略去高階小量，得：單位時間內沿方向經過AB流入控制體的質量和動量分別為：經過CD面流出的質量和動量分別為：定常流動條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為：由此引起流入的動量為： 邊界層動量積分方程的推導式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣可得單位時間內該控制體內沿x方向的動量 變化為根據動量定理， ，則可得邊界層的動量積分方程為： 上式也稱為卡門動量積分關系式。該式是針對邊界層流動在二維定常流動條件下導出的，并沒有涉及邊界層的流態(tài)，所以其對層流和紊流邊界層都能適用。 積分方程的求解實際上可以把 、 和 看作已知數，而未知數只有 、 和 三個。 再補充兩個關系式： 一、沿邊界層厚度的速度分布 = (y) 二、切向應力與邊界層厚度的關系式 一般在應用邊界層的動量